Algebra lineare importante!
compitoo di questa mattina, mi preme sapere se una risposta del genere è passabile 
1. Definire la matrice di un'applicazione lineare $f:V->W$ rispetto alle basi $bbB$ e $bbD$ con m dimensione di V e n dimensione di m
2. Dimostrare che la corrispondenza appena descritta definisce un isomorfismo tra $Hom(V,W)$ e lo spazio delle matrici nxm
risposta:
1. sia $M_(bbD)^(bbB)(f)$ la matrice associata a f nelle due basi, quindi per definizione abbiamo che $M_(bbD)^(bbB)(f)=[M_(bbD)(f(v_1),...,M_(bbD)(f(v_m)]$ dove $M_(bbD)(f(v_j)$ è la colonna delle coordinate rispetto alla base di arrivo dell'immagine di f.
2. $e_(ij)$ è la base dell'$Hom(V,W)$ e $E_(ij)$ la base delle matrici.
quindi essendo che i due spazi hanno dimensione uguale (è facile dimostrare la dimensione dell'Hom e delle matrici nn sto a scriverlo) allora l'applicazione che porta $e_(ij)->E_(ij)$ definisce una corrispondenza biunivoca tra i due spazi e quindi essendo che hanno la stessa dimensione questo definisce un isomorfismo.
cosa ne pensate?
1. Definire la matrice di un'applicazione lineare $f:V->W$ rispetto alle basi $bbB$ e $bbD$ con m dimensione di V e n dimensione di m
2. Dimostrare che la corrispondenza appena descritta definisce un isomorfismo tra $Hom(V,W)$ e lo spazio delle matrici nxm
risposta:
1. sia $M_(bbD)^(bbB)(f)$ la matrice associata a f nelle due basi, quindi per definizione abbiamo che $M_(bbD)^(bbB)(f)=[M_(bbD)(f(v_1),...,M_(bbD)(f(v_m)]$ dove $M_(bbD)(f(v_j)$ è la colonna delle coordinate rispetto alla base di arrivo dell'immagine di f.
2. $e_(ij)$ è la base dell'$Hom(V,W)$ e $E_(ij)$ la base delle matrici.
quindi essendo che i due spazi hanno dimensione uguale (è facile dimostrare la dimensione dell'Hom e delle matrici nn sto a scriverlo) allora l'applicazione che porta $e_(ij)->E_(ij)$ definisce una corrispondenza biunivoca tra i due spazi e quindi essendo che hanno la stessa dimensione questo definisce un isomorfismo.
cosa ne pensate?
Risposte
Io avrei risposto:
Definisco $M_D^B(f):=[M_D(f(v_1)),...,M_D(f(v_m))]$ dove $M_D(f(v_j))$ è la colonna delle coordinate rispetto alla base di arrivo di $f(v_j)$. (Occhio alle parentesi
) Poichè un'applicazione lineare è univocamente determinata dall'immagine di una base dello spazio di partenza la matrice definita indentifica (bi)univocamente la funzione ad essa associata.
Più o meno ci siamo.
Nota: cosa intendi con $e_(ij)$? La base "canonica" di Hom(V,W) si costruisce sulle basi canoniche di V e W cioè:
siano ${e_1,...,e_m}$ base di V e ${h_1,...,h_m}$ base di W, allora una base di Hom(V,W) ${f_(ij): f_(ij)(e_i)=h_j}$ che corrisponde in modo naturale alla base canonica delle matrici.
Definisco $M_D^B(f):=[M_D(f(v_1)),...,M_D(f(v_m))]$ dove $M_D(f(v_j))$ è la colonna delle coordinate rispetto alla base di arrivo di $f(v_j)$. (Occhio alle parentesi
) Poichè un'applicazione lineare è univocamente determinata dall'immagine di una base dello spazio di partenza la matrice definita indentifica (bi)univocamente la funzione ad essa associata.Più o meno ci siamo.
Nota: cosa intendi con $e_(ij)$? La base "canonica" di Hom(V,W) si costruisce sulle basi canoniche di V e W cioè:
siano ${e_1,...,e_m}$ base di V e ${h_1,...,h_m}$ base di W, allora una base di Hom(V,W) ${f_(ij): f_(ij)(e_i)=h_j}$ che corrisponde in modo naturale alla base canonica delle matrici.
"Megan00b":
Io avrei risposto:
Definisco $M_D^B(f):=[M_D(f(v_1)),...,M_D(f(v_m))]$ dove $M_D(f(v_j))$ è la colonna delle coordinate rispetto alla base di arrivo di $f(v_j)$. (Occhio alle parentesi
Più o meno ci siamo.
Nota: cosa intendi con $e_(ij)$? La base "canonica" di Hom(V,W) si costruisce sulle basi canoniche di V e W cioè:
siano ${e_1,...,e_m}$ base di V e ${h_1,...,h_m}$ base di W, allora una base di Hom(V,W) ${f_(ij): f_(ij)(e_i)=h_j}$ che corrisponde in modo naturale alla base canonica delle matrici.
mmm non è troppo diversa dalla mia di dimostrazione.. solo un pò più chiara
(o la mia la bocceresti?)comunque con $e_(ij)$ definisco l'applicazione lineare tale per cui $e_(ij)(v_i)=delta_(ij)w_j$ con $delta_(ij)$ è una funzione che assegna 1 se i=j e zero altrimenti.
questo intendo per base dell'Hom... mentre per base delle matrice $E_(ij)$ intendo la matrice che ha l'intrata $ij=1$ e le altre uguali a zero.
quindi basta denotare che c'è un'applicazione tra la base dell'hom e delle matrici e visto che hanno le stesse dimensioni, questo è un isomorfismo...giusto?
grazei della risposta per ora
"fu^2":
quindi essendo che i due spazi hanno dimensione uguale (è facile dimostrare la dimensione dell'Hom e delle matrici nn sto a scriverlo) allora l'applicazione che porta $e_(ij)->E_(ij)$ definisce una corrispondenza biunivoca tra i due spazi e quindi essendo che hanno la stessa dimensione questo definisce un isomorfismo.
Nota grammaticale: Essendo che non è corretto; avresti potuto dire "visto che", "dato che", "poiché"...
"gugo82":
[quote="fu^2"]
quindi essendo che i due spazi hanno dimensione uguale (è facile dimostrare la dimensione dell'Hom e delle matrici nn sto a scriverlo) allora l'applicazione che porta $e_(ij)->E_(ij)$ definisce una corrispondenza biunivoca tra i due spazi e quindi essendo che hanno la stessa dimensione questo definisce un isomorfismo.
Nota grammaticale: Essendo che non è corretto; avresti potuto dire "visto che", "dato che", "poiché"...[/quote]
piccole distrazioni... non è vero... son io ignorante 
suona tanto bene essendo che (un pò come fioravanti... chi ha orecchie per intendere intenda
)invece per l'esercizio in se che dite? tornando in topic ...
La base che costruisci è la stessa che ti ho detto io detta in maniera diversa. Cmq VISTO CHE (gugo controlla) avevi chiesto se la risposta fosse passabile ti facevo notare che se l'hai scritta come nel primo messaggio non credo vada bene (forma=sostanza), se hai dato spiegazioni dettagliate sì.
A parte una piccola cosa: per dimostrare che è un isomorfismo oltre che bigettiva devi verificare che è lineare la corrispondenza.
---
Note alla nota grammaticale:
1) Facciamo i pignoli, eh?
2) L'uso di "essendo che" è corretto, al limite un po' desueto. Si potrebbe considerare un latinismo o un'espressione un po' barocca. Il verbo essere sottende il significato di "esistere", "essere vero" "essere in una certa forma".
A parte una piccola cosa: per dimostrare che è un isomorfismo oltre che bigettiva devi verificare che è lineare la corrispondenza.
---
Note alla nota grammaticale:
1) Facciamo i pignoli, eh?
2) L'uso di "essendo che" è corretto, al limite un po' desueto. Si potrebbe considerare un latinismo o un'espressione un po' barocca. Il verbo essere sottende il significato di "esistere", "essere vero" "essere in una certa forma".
un filo meglio nella forma, ma il contenuto era quello... nella fretta mi son dimenticato di dimostrare che è lineare.... caxxo! son un pirla a volte 
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