Algebra lineare e geometria I
Ciao a tutti,
questo file http://digilander.libero.it/ottavioserra0/Esercizi/ALG/Appelli/AlgDicembre07%20D.pdf
contiene un appello di esame che a breve dovrò fare. Chiedo una mano a risolvere i punti E F G del primo esercizio dato che sono gli unici che non riesco a risolvere.
questo file http://digilander.libero.it/ottavioserra0/Esercizi/ALG/Appelli/AlgDicembre07%20D.pdf
contiene un appello di esame che a breve dovrò fare. Chiedo una mano a risolvere i punti E F G del primo esercizio dato che sono gli unici che non riesco a risolvere.
Risposte
Cominciamo dal punto E.
Scrivi qui quali sono i vettori che fanno parte del sottospazio U.
(Ad esempio in $RR^2$ se ho il sottospazio $x_1+x_2=1$ allora $x_2=1-x_1$ e quindi i vettori che fanno parte di questo sottospazio sono $(\alpha,1-\alpha)$ con $\alpha\in RR$)
Scrivi qui quali sono i vettori che fanno parte del sottospazio U.
(Ad esempio in $RR^2$ se ho il sottospazio $x_1+x_2=1$ allora $x_2=1-x_1$ e quindi i vettori che fanno parte di questo sottospazio sono $(\alpha,1-\alpha)$ con $\alpha\in RR$)
Allora i vettori dovrebbero essere composti così: $ (gamma-2 alpha , alpha , beta , gamma) $ che sono venuti fuori dal sistema
$ x1+2x2-x4=0 $
$ x2=alpha $
$x3=beta $
$x4=gamma $
$ x1+2x2-x4=0 $
$ x2=alpha $
$x3=beta $
$x4=gamma $
"bianconerojuventino":
Allora i vettori dovrebbero essere composti così: $ (gamma-2 alpha , alpha , beta , gamma) $ che sono venuti fuori dal sistema
$ x1+2x2-x4=0 $
$ x2=alpha $
$x3=beta $
$x4=gamma $
Molto bene.
Ora calcola l'immagine di tali vettori,
cioè calcola $T(gamma-2 alpha , alpha , beta , gamma)$ usando la definizione di T che hai all'inizio
Puoi spiegarti meglio? So che ti sarai espresso nel migliore dei modi, ma purtroppo nei giorni che il prof ha spiegato le trasformazioni lineari, ero a casa malato e quindi ora mi ritrovo con un libro, che spiega fino a un certo punto (nel senso che lascia giustamente la parte concettuale per dedicarsi alla parte pratica), e con appunti dei miei colleghi dove non capisco molto bene quello che fanno.
ciao...ti devo chiedere un favore...hai altre di queste prove da mettere in rete????
"bianconerojuventino":
Puoi spiegarti meglio? So che ti sarai espresso nel migliore dei modi, ma purtroppo nei giorni che il prof ha spiegato le trasformazioni lineari, ero a casa malato e quindi ora mi ritrovo con un libro, che spiega fino a un certo punto (nel senso che lascia giustamente la parte concettuale per dedicarsi alla parte pratica), e con appunti dei miei colleghi dove non capisco molto bene quello che fanno.
Allora la tua trasformazione lineare T è definita da $RR^4$ a $RR^3$ come
$T(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1+2x_2+3x_4,x_1+x_2-2x_4,x_2+x_3+2x_4)$ dove con $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ si indica un qualunque vettore di $RR^4$.
Ora il nostro spazio U è (l'hai detto tu stesso) l'insieme dei vettori $(gamma-2 alpha , alpha , beta , gamma)$.
Perciò quello che nella definizione era indicato con $x_1$ ora è $gamma-2 alpha$;
ciò che era indicato con $x_2$ ora è $alpha$ eccetera eccetera.
usando quindi la definizione di T che ti ho scritto sopra scopri dove viene portato il vettore $(gamma-2 alpha , alpha , beta , gamma)$.
Hai capito ora?
Se sì prova a fare i calcoli e a riportare il risultato
Per germano88 questo appello l'ho trovato girando su internet, non l'ho messo io. Comunque qui http://digilander.libero.it/ottavioserr ... ppelli.htm ce n'è sono altri simili. 
Per misanino ora provo...
Per misanino ora provo...
Allora...
$ T(gamma-2alpha,alpha,beta,gamma)=(x1+2x2+3x4, x1+x2-2x4, x2+x3+2x4) $
$ (gamma-2alpha+2alpha+3gamma, gamma-2alpha+alpha-2gamma, alpha+beta+2gamma) $
$ (4gamma, -gamma-alpha, alpha+beta+2gamma) $
$ (4gamma, -gamma, 2gamma)+(0, -alpha, alpha)+(0,0,beta) $
$ gamma(4,-1,2) +alpha(0,-1,1) +beta(0,0,1) $
giusto?
$ T(gamma-2alpha,alpha,beta,gamma)=(x1+2x2+3x4, x1+x2-2x4, x2+x3+2x4) $
$ (gamma-2alpha+2alpha+3gamma, gamma-2alpha+alpha-2gamma, alpha+beta+2gamma) $
$ (4gamma, -gamma-alpha, alpha+beta+2gamma) $
$ (4gamma, -gamma, 2gamma)+(0, -alpha, alpha)+(0,0,beta) $
$ gamma(4,-1,2) +alpha(0,-1,1) +beta(0,0,1) $
giusto?
"bianconerojuventino":
Allora...
$ T(gamma-2alpha,alpha,beta,gamma)=(x1+2x2+3x4, x1+x2-2x4, x2+x3+2x4) $
$ (gamma-2alpha+2alpha+3gamma, gamma-2alpha+alpha-2gamma, alpha+beta+2gamma) $
$ (4gamma, -gamma-alpha, alpha+beta+2gamma) $
Fermati qua.
Le ultime cose che hai scritto non hanno senso.
Quello che hai trovato, cioè $ (4gamma, -gamma-alpha, alpha+beta+2gamma) $ con $alpha,beta,gamma\inRR$ è un vettore (o meglio un insieme di vettori) di $RR^3$ ed è proprio lo spazio immagine di U tramite T che cercavi.
ok grazie!!!
Per gli altri punti cosa devo fare???
Per gli altri punti cosa devo fare???
"bianconerojuventino":
ok grazie!!!
Per gli altri punti cosa devo fare???
Passiamo al punto f.
prima di tutti per trovare l'ortogonale di Im(T) devi avere Im(T) che tu hai già calcolato nel punto c.
Scrivi qui quello che hai ottenuto
$ Dim[Im(T)]=3 $ (vettori L.I.)
$ Base Im(T)= {(1,1,0),(2,1,1),(0,0,1)} $
quindi
$ Im(T)= {alpha(1,1,0)+beta(2,1,1)+gamma(0,0,1)} $
$ = (alpha+2beta,alpha+beta,beta+gamma) $
$ Base Im(T)= {(1,1,0),(2,1,1),(0,0,1)} $
quindi
$ Im(T)= {alpha(1,1,0)+beta(2,1,1)+gamma(0,0,1)} $
$ = (alpha+2beta,alpha+beta,beta+gamma) $
Trovare l'ortogonale ad un sottospazio equivale a trovare i vettori che sono ortogonali ad ogni vettore della base di quel sottospazio.
E un vettore $v$ si dice ortogonale ad un altro vettore $w$ se il prodotto scalare tra i 2 è nullo, e ti ricordo che il prodotto scalare in $RR^3$ è dato da:
se i vettori sono $v=(x,y,z)$ e $w=(x',y',z')$ allora il prodotto scalare $ = x x'+yy'+zz'$
In questo caso dovresti quindi cercare i vettori di $RR^3$ ortogonali alla base di Im(T).
Ma, come hai detto tu (se i calcoli sono giusti), quella base è formata da 3 vettori e quindi, dato che siamo in $RR^3$ l'unico vettore che può essere ortogonale a tutti quelli della base è il vettore nullo.
Perciò il sottospazio ortogonale a Im(T) è formato solo dal vettore nullo.
E quindi le equazioni di questo sottospazio sono:
$x=0$
$y=0$
$z=0$
E un vettore $v$ si dice ortogonale ad un altro vettore $w$ se il prodotto scalare tra i 2 è nullo, e ti ricordo che il prodotto scalare in $RR^3$ è dato da:
se i vettori sono $v=(x,y,z)$ e $w=(x',y',z')$ allora il prodotto scalare $
In questo caso dovresti quindi cercare i vettori di $RR^3$ ortogonali alla base di Im(T).
Ma, come hai detto tu (se i calcoli sono giusti), quella base è formata da 3 vettori e quindi, dato che siamo in $RR^3$ l'unico vettore che può essere ortogonale a tutti quelli della base è il vettore nullo.
Perciò il sottospazio ortogonale a Im(T) è formato solo dal vettore nullo.
E quindi le equazioni di questo sottospazio sono:
$x=0$
$y=0$
$z=0$
Ma il vettore nullo è sempre "l'unico" vettore che può essere ortogonale ad una base? o dipende da caso in caso? Perchè non capisco (nell'esercizio) da dove hai determinato che il vettore nullo è l'unico vettore ortogonale alla base. 
"bianconerojuventino":
Ma il vettore nullo è sempre "l'unico" vettore che può essere ortogonale ad una base? o dipende da caso in caso? Perchè non capisco (nell'esercizio) da dove hai determinato che il vettore nullo è l'unico vettore ortogonale alla base.
Quello che è sempre vero è che se hai una base di n vettori in uno spazio n-dimensionale, allora la base è un insieme massimale di vettori ortogonali, cioè l'unico vettore ortonormale alla base è il vettore nullo.
Se invece avessi avuto una base di 2 elementi (e siamo in $RR^3$) allora lo spazio ortogonale avrebbe avuto dimensione 1 e quindi ci sarebbero stati infiniti vettori ortogonali alla tua base e li trovi facendo il prodotto scalare di un generico vettore (x,y,z) con i vettori della base (come ti ho detto sopra) e imponendo che il prodotto scalare sia nullo.
Se vuoi puoi fare la prova utilizzando questo stesso procedimento in questo caso (con la base di 3 vettori) e vedrai che il vettore ortogonale a tutti i 3 vettori della base ti verrà nullo
Per l'ultimo punto cosa puoi dirmi?
Dato che nella soluzione c'è scritto: "$ U \cap KerT $si determina nel modo più rapido sostituendo le equazioni parametriche di KerT
nell’equazione cartesiana di U. si trova $ lambda =0 $e perciò$ U\capKerT ={0}$."
E l'ho capito, però volevo sapere se questo modo è il metodo normale da seguire o è solo un metodo più rapido.
Dato che nella soluzione c'è scritto: "$ U \cap KerT $si determina nel modo più rapido sostituendo le equazioni parametriche di KerT
nell’equazione cartesiana di U. si trova $ lambda =0 $e perciò$ U\capKerT ={0}$."
E l'ho capito, però volevo sapere se questo modo è il metodo normale da seguire o è solo un metodo più rapido.
"bianconerojuventino":
Per l'ultimo punto cosa puoi dirmi?
Dato che nella soluzione c'è scritto: "$ U \cap KerT $si determina nel modo più rapido sostituendo le equazioni parametriche di KerT
nell’equazione cartesiana di U. si trova $ lambda =0 $e perciò$ U\capKerT ={0}$."
E l'ho capito, però volevo sapere se questo modo è il metodo normale da seguire o è solo un metodo più rapido.
Ma tu non hai mica trovato l'equazione cartesiana di KerT e parametrica di U?
Scusa ma se sostituisco l'eq.parametrica del $Ker(T)$
$x1=7k$
$x2=-5k$
$x3=3k$
$x4=k$
nell'eq. del sottospazio $ U x1+2x2-x4=0 $
il risultato è K=0.
è un caso sia uscito 0 o è giusto???
$x1=7k$
$x2=-5k$
$x3=3k$
$x4=k$
nell'eq. del sottospazio $ U x1+2x2-x4=0 $
il risultato è K=0.
è un caso sia uscito 0 o è giusto???
"bianconerojuventino":
Scusa ma se sostituisco l'eq.parametrica del $Ker(T)$
$x1=7k$
$x2=-5k$
$x3=3k$
$x4=k$
nell'eq. del sottospazio $ U x1+2x2-x4=0 $
il risultato è K=0.
è un caso sia uscito 0 o è giusto???
Può uscire 0 e quindi l'unico vettore che appartiene all'inetrsezione dei 2 spazi è il vettore nullo,
oppure può anche non uscire 0.
Comunque il procedimento è esatto.
Io prima contestavo solo il fatto che, seguendo le consegne dell'esercizio, tu avresti dovuto trovare l'equazione cartesiana del KerT e non quella parametrica (anche se poi passare da una all'altra è semplice)
Ah, ho capito. Comunque per passare dalla forma parametrica a quella cartesiana basta trovare il valore di K e andarlo a sotituire nelle altre equazioni. Giusto?
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