[algebra lineare] applicazione inversa

[dave031]

ho un problemino con un esercizio:

ho una semplice applicazione lineare $f: R^2->R^2$ definita da:

$f(1,1)=(2,1)$
$f(1,2)=(-1,0)$

devo dire se è invertibile e devo calcolarne l'inversa.
Dato che i vettori (1,1) e (1,2) sono una base per il dominio, allora la funzione è univocamente determinata, e usando come base per il codomio i vettori immagine (2,1) e (-1,0) ottengo la matrice associata che è ovviamente:

$((1,0),(0,1))$


ora dovrei calcolare la funzione inversa di questa applicazione lineare, ma non so come fare

non c'è un teorema o una proposizione su cui mi posso basare?

grazie per eventuali consigli

[_Tipper]

Potresti calcolare la matrice che rappresenta l'applicazione rispetto alla base canonica di $\mathbb{R}^2$ per poi invertirla.

[franced]

"dave03":ho un problemino con un esercizio:

ho una semplice applicazione lineare $f: R^2->R^2$ definita da:

$f(1,1)=(2,1)$
$f(1,2)=(-1,0)$

Cerchiamo una strada "furba".

Allora, per quanto riguarda l'endomorfismo si ricava:

$f((1),(0)) = f((2),(2)) - f((1),(2)) = 2 cdot f((1),(1)) - f((1),(2)) = 2 cdot ((2),(1)) - ((-1),(0)) = ((5),(2))$

$f((0),(1)) = f((1),(2)) - f((1),(1)) = ((-1),(0)) - ((2),(1)) = ((-3),(-1))$.


Per quanto riguarda l'inversa, invece, si ottiene:

$((1),(0)) = - f((1),(2))$ da cui: $f^(-1) ((1),(0)) = ((-1),(-2))$

$((0),(1)) = f((1),(1)) + 2 cdot f((1),(2)) = f((3),(5))$ da cui: $f^(-1) ((0),(1)) = ((3),(5))$.


Per la cronaca: questa trasformazione conserva le aree e l'orientamento delle figure (ha det = 1).

[Megan00b]

Oppure ne scegli una ancora più furba (che è praticamente barare alla grande)
Visto che hai scelto come basi in partenza e in arrivo quelle lì (e hai verificato che sono basi cioè sono coppie di vettori lin. indipendenti) osservi che la matrice identità è invertibile, la sua inversa è se stessa quindi avrai che l'inversa di f è univocamente determinata da:

$f^(-1)(2,1)=(1,1)$
$f^(-1)(-1,0)=(1,2)$

Non è specificato che si debba riferire la definizione di $f^(-1)$ rispetto alla base canonica. Oltretutto nemmeno la traccia lo fa con f.

[franced]

"Megan00b":Oppure ne scegli una ancora più furba (che è praticamente barare alla grande)
Visto che hai scelto come basi in partenza e in arrivo quelle lì (e hai verificato che sono basi cioè sono coppie di vettori lin. indipendenti) osservi che la matrice identità è invertibile, la sua inversa è se stessa quindi avrai che l'inversa di f è univocamente determinata da:

$f^(-1)(2,1)=(1,1)$
$f^(-1)(-1,0)=(1,2)$

Non è specificato che si debba riferire la definizione di $f^(-1)$ rispetto alla base canonica. Oltretutto nemmeno la traccia lo fa con f.

Bè, dobbiamo vedere cosa dice il testo dell'esercizio.

In ogni caso si intende sempre la matrice inversa rispetto alla base canonica.

[Megan00b]

In ogni caso si intende sempre la matrice inversa rispetto alla base canonica.

Questa legge deve essere stata proclamata in mia assenza e la trovo ingiusta e soprattutto poco intelligente.
Cmq l'esercizio non solo non dice quali basi scegliere ma addirittura non parla nemmeno di matrici.

devo dire se è invertibile e devo calcolarne l'inversa.

e se l'italiano non è un'opinione vuol dire calcolare l'inversa della funzione non della matrice di cui l'esericizo, ripeto, non parla.
E poi che le abbiamo inventate a fare le basi se non possiamo barare un po'?

[franced]

"Megan00b":

In ogni caso si intende sempre la matrice inversa rispetto alla base canonica.

Questa legge deve essere stata proclamata in mia assenza e la trovo ingiusta e soprattutto poco intelligente.
Cmq l'esercizio non solo non dice quali basi scegliere ma addirittura non parla nemmeno di matrici.

devo dire se è invertibile e devo calcolarne l'inversa.

e se l'italiano non è un'opinione vuol dire calcolare l'inversa della funzione non della matrice di cui l'esericizo, ripeto, non parla.
E poi che le abbiamo inventate a fare le basi se non possiamo barare un po'?

Non hai capito: di solito, negli esercizi, viene chiesta la matrice rispetto alla base canonica.