Algebra Lineare
magari le mie domande vi potranno sembrare banali però devo capire il meccanismo, allora
io per esempio ho due vettori
x1=(1,0)
x2=(0,1)
come faccio a dire se sono linearmente dipendenti o indipendenti quale è il meccanismo di svolgimento?
qualcuno mi può aiutare?
[mod="Tipper"]No titoli in maiuscolo.[/mod]
io per esempio ho due vettori
x1=(1,0)
x2=(0,1)
come faccio a dire se sono linearmente dipendenti o indipendenti quale è il meccanismo di svolgimento?
qualcuno mi può aiutare?
[mod="Tipper"]No titoli in maiuscolo.[/mod]
Risposte
praticamente dovresti costruire la matrice con questi due vettori e poi riduci per righe(o colonne)...dopo aver fatto ciò devi osservare ciò che hai perchè per un teorema di algebra si ha che le righe(colonne) non nulle di una matrice ridotta per righe(o colonne) sono linearmente indipendenti..
in linea di massima si procede cosi..certo poi ci sarebbero alcun accorgimenti che facilitano il tutto...ne dico uno..ad es se hai una matrice quadrata e il det di questa matrice è non nullo allora sicuramente i vettori che hai preso in considerazione sono linearm indip..cmq facendo esercizi impari presto a riconoscere ad occhio,quando si puo, se i vettori che hai sono o no linearmente indipendenti..spero di essere stata chiara..ciao ciao
in linea di massima si procede cosi..certo poi ci sarebbero alcun accorgimenti che facilitano il tutto...ne dico uno..ad es se hai una matrice quadrata e il det di questa matrice è non nullo allora sicuramente i vettori che hai preso in considerazione sono linearm indip..cmq facendo esercizi impari presto a riconoscere ad occhio,quando si puo, se i vettori che hai sono o no linearmente indipendenti..spero di essere stata chiara..ciao ciao
me lo potresti far vedere come risolveresti questo esempio?che io non so proprio da che parte iniziare per procedere
devi vedere se l'equazione che ottieni uguagliando a zero la combinazione lineare dei vettori considerati ti da come soluzioni solo quelle banali (e in tal caso i due vettori sono linearmente indipendenti) oppure anche delle altre (e in tal caso i due vettori sono linearmente dipendenti).
nel nostro caso basta risolvere l'equazione $ax_1+bx_2=(0,0)$ cioè $a(1,0)+b(0,1)=(0,0)$ ovvero $(a,b)=(0,0)$ che da come soluzioni $a=0$ e $b=0$; essendo questa la sola soluzione banale allora puoi concludere che i due vettori $x_1$ e $x_2$ sono linearmente indipendenti.
nel nostro caso basta risolvere l'equazione $ax_1+bx_2=(0,0)$ cioè $a(1,0)+b(0,1)=(0,0)$ ovvero $(a,b)=(0,0)$ che da come soluzioni $a=0$ e $b=0$; essendo questa la sola soluzione banale allora puoi concludere che i due vettori $x_1$ e $x_2$ sono linearmente indipendenti.
i vettori ceh proponi sono sicuramente indipendenti. Comunque prima di vedere gli esempi, secondo me sarebbe più utile guardare la definizione di vettori indipendenti e POI cercare di applicarla.
Poi successivamente si può affrontare tutto il discorso dei ranghi e delle matrici, però secondo me, per chiarire ben il concetto bisogna partire dalla definizione.
Praticamente devi risolvere il sistema formato dalle equazioni $a=0$ e $b=0$. Se le soluzioni di questo sistema esistono non contemporaneamente tutte nulle allora i vettori sono dipendenti, altrimenti indipendenti.
Comunque qualsiasi libro è sicuramente più chiaro di me.
Poi si dimostra (come è facilmente accettabile) che se un vettore è combinazione lineare di un altro, allora questi sono dipendenti.
Una volta capito bene questo allora possiamo anche ragioanare di matrici e altro.
(mi scuso se ho scritto cose sbagliate)
Poi successivamente si può affrontare tutto il discorso dei ranghi e delle matrici, però secondo me, per chiarire ben il concetto bisogna partire dalla definizione.
Praticamente devi risolvere il sistema formato dalle equazioni $a=0$ e $b=0$. Se le soluzioni di questo sistema esistono non contemporaneamente tutte nulle allora i vettori sono dipendenti, altrimenti indipendenti.
Comunque qualsiasi libro è sicuramente più chiaro di me.
Poi si dimostra (come è facilmente accettabile) che se un vettore è combinazione lineare di un altro, allora questi sono dipendenti.
Una volta capito bene questo allora possiamo anche ragioanare di matrici e altro.
(mi scuso se ho scritto cose sbagliate)
scusate ancora, ma se io ho
S1= ( x1, x2, x3...xp) e S1 è sottoinsieme di Rn e S1 è un insime di vett linearm. indipendente
poi ho
S2= (y1,y2,y3...yp) e S2 è sottoinsieme d Rk
come faccio a dire che
S= [ (x1;y1), (x2;y2).....(xp;yp)] sottoinsieme di R(n+k)
come faccio a dire che S è un insieme linear. indipendente?
S1= ( x1, x2, x3...xp) e S1 è sottoinsieme di Rn e S1 è un insime di vett linearm. indipendente
poi ho
S2= (y1,y2,y3...yp) e S2 è sottoinsieme d Rk
come faccio a dire che
S= [ (x1;y1), (x2;y2).....(xp;yp)] sottoinsieme di R(n+k)
come faccio a dire che S è un insieme linear. indipendente?
come ti hanno gia detto sopra...
costrusci una matrice dove nelle colonne (o nelle reghe se preferisci lavorare con le traspostre) e poi vedi il rango della matrice... se è massimo allora sono Lin. Ind...
ciao
costrusci una matrice dove nelle colonne (o nelle reghe se preferisci lavorare con le traspostre) e poi vedi il rango della matrice... se è massimo allora sono Lin. Ind...
ciao
ciao, non allarmarti, il problema è alquanto semplice.
2 modi:
1) (consigliato) costruisci la matrice disponendo tali vettori come righe. trasformi la matrice a scala, e se la matrice non ha righe nulle, i vettori sono linearmente indipendenti.
2) risolvi l'equazione [combinazione lineare dei vettori]=0...se ammette soluzioni diverse da x=0 (banale) allora i vettori sono dipendenti.
poi ricorda che vettori proporzionali sono sempre dipendenti, se c'è il vettore nullo in una famiglia allora la famiglia è lin dipendente, etc....(lo puoi verificare facilmente con il metodo 1
saluti
marco
2 modi:
1) (consigliato) costruisci la matrice disponendo tali vettori come righe. trasformi la matrice a scala, e se la matrice non ha righe nulle, i vettori sono linearmente indipendenti.
2) risolvi l'equazione [combinazione lineare dei vettori]=0...se ammette soluzioni diverse da x=0 (banale) allora i vettori sono dipendenti.
poi ricorda che vettori proporzionali sono sempre dipendenti, se c'è il vettore nullo in una famiglia allora la famiglia è lin dipendente, etc....(lo puoi verificare facilmente con il metodo 1
saluti
marco
ho questo teorema che mi dice
S=[x1,x2...xp] sottoinsieme di Rn
S è un insieme di vettori linearmente dipendente se e solo s esiste una conbinazione lineare di vettori in S uguale al vettore nullo, con coefficenti non tutti nulli ovvero detto in termini matematici
esiste un beta (B1,B2.....,Bp)€Rn \[0] tale che la conbinazione lineare (sommatoria di BiXi) con indice i che va da 1 a p è uguale a zero.(questa sommatoria per semplicità chiamiamola S(BiXi)
come faccio a dimostrarlo?
cioè io non riesco a capire questi passaggi
la dimostrazione parte dalla definizione di insieme di vettori linearmente dipendente per cui io so, che tale insieme risulta essere lin. dipendent se esiste un vettore esprimibile come combinazione lineare dei rimanenti ovvero
Xk=sommatoria di aiXi con indice i diverso da K ----la sommataria per semplicità chiamiamola S(aiXi)
dunque
S(aiXi)- Xk =0
dunque la dim conclude dicendo che
S(BiXi) = 0
-se Bi=-1 con i=K
-se Bi=ai con i diverso da K
qualcuno sa spiegarmi perchè? (ah ovviamente poi ci sarebbe da dimostrare il contrario perchè si tratta di con suff e nec)
il link delle dispense se lo volte vedere è http://www.dmd.unifi.it/engine/insegnam ... -06-02.pdf pag 98
S=[x1,x2...xp] sottoinsieme di Rn
S è un insieme di vettori linearmente dipendente se e solo s esiste una conbinazione lineare di vettori in S uguale al vettore nullo, con coefficenti non tutti nulli ovvero detto in termini matematici
esiste un beta (B1,B2.....,Bp)€Rn \[0] tale che la conbinazione lineare (sommatoria di BiXi) con indice i che va da 1 a p è uguale a zero.(questa sommatoria per semplicità chiamiamola S(BiXi)
come faccio a dimostrarlo?
cioè io non riesco a capire questi passaggi
la dimostrazione parte dalla definizione di insieme di vettori linearmente dipendente per cui io so, che tale insieme risulta essere lin. dipendent se esiste un vettore esprimibile come combinazione lineare dei rimanenti ovvero
Xk=sommatoria di aiXi con indice i diverso da K ----la sommataria per semplicità chiamiamola S(aiXi)
dunque
S(aiXi)- Xk =0
dunque la dim conclude dicendo che
S(BiXi) = 0
-se Bi=-1 con i=K
-se Bi=ai con i diverso da K
qualcuno sa spiegarmi perchè? (ah ovviamente poi ci sarebbe da dimostrare il contrario perchè si tratta di con suff e nec)
il link delle dispense se lo volte vedere è http://www.dmd.unifi.it/engine/insegnam ... -06-02.pdf pag 98
allora,
se hai una famiglia di vettori:
F=(V1,V2,......,VK)
e sai che sono linearmente dipendenti ciò implica che esiste un beta come lo chiami tu tale che la C.L. è uguale al vettore nullo.
in simboli:
x1V1+x2V2+x3V3+......+xkVk=vettore nullo con x1,x2,x3,.....,xk scalari appartenenti a k^n ("x" scalare e "V" vettore)
il beta che dici tu è per definizione di famiglia linearmente dipendente, lo scalare (almeno uno...) diverso da zero tale che la detta combinazione lineare è uguale al vettore nullo.
supponiamo che tale scalare sia x1
ciò implica che si può scrivere:
x1V1=-x2V2-x3V3-...........-xkVk
segue
V1= -(x2V2)/x1 -(x3V3)/x1-.........-(xkVk)/x1
cioè il vettore V1 è esprimibile come CL degli altri e questo grazie all'unico scalare diverso da zero, cioè x1
ecco dimostrato anche che se una famiglia di vettori contiene il vettore nullo è per forza linearmente dipendente: basta metter l'unico scalare diverso da zero come prodotto con il vettore nullo nella combinazione lineare e per forza la combinazione lineare risultante sarà uguale al vettore nullo in quanto gli altri scalari sono tutti uguali a zero e l'unico scalare diverso da zero moltiplica ilvettore nullo con conseguente risultato = 0.
fammi sapere se hai bisogno di altre delucidazioni, se riesco ad esserti utile ne sarò felice,
saluti
marco
se hai una famiglia di vettori:
F=(V1,V2,......,VK)
e sai che sono linearmente dipendenti ciò implica che esiste un beta come lo chiami tu tale che la C.L. è uguale al vettore nullo.
in simboli:
x1V1+x2V2+x3V3+......+xkVk=vettore nullo con x1,x2,x3,.....,xk scalari appartenenti a k^n ("x" scalare e "V" vettore)
il beta che dici tu è per definizione di famiglia linearmente dipendente, lo scalare (almeno uno...) diverso da zero tale che la detta combinazione lineare è uguale al vettore nullo.
supponiamo che tale scalare sia x1
ciò implica che si può scrivere:
x1V1=-x2V2-x3V3-...........-xkVk
segue
V1= -(x2V2)/x1 -(x3V3)/x1-.........-(xkVk)/x1
cioè il vettore V1 è esprimibile come CL degli altri e questo grazie all'unico scalare diverso da zero, cioè x1
ecco dimostrato anche che se una famiglia di vettori contiene il vettore nullo è per forza linearmente dipendente: basta metter l'unico scalare diverso da zero come prodotto con il vettore nullo nella combinazione lineare e per forza la combinazione lineare risultante sarà uguale al vettore nullo in quanto gli altri scalari sono tutti uguali a zero e l'unico scalare diverso da zero moltiplica ilvettore nullo con conseguente risultato = 0.
fammi sapere se hai bisogno di altre delucidazioni, se riesco ad esserti utile ne sarò felice,
saluti
marco
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