Algebra lineare

[skeggia18]

IERI HO FATTO QST ESAME PENSAVO FOSSE ANDATO BENE E INVECE NO..VOI CM AVRESTE RISOLTO QUESTI ESERCIZI????

1) SIA ALFA appartenente all'Hom di matrice- rispetto alle basi fissate nel dominio e condominio
matrice A prima riga: 1 3 0 seconda riga 0 0 2 terza riga -1 1 1
trovare Im alfa, keralfa. il vettore p(x)=1+2x-x2 ha contrimmagini?trovarle

2)dimostrare che se A,B appartenenti a M(n) e sono simmetriche allora AB è simmetrica se e solo se AB=BA.
nel caso n=2 trovare due matrici A,B simmetriche tali che AB nn è simmetrica

3)si consideri lo spazio vettoriale euclideo R^3 e in esso una base ortonormale B, sia f:R^3-->R
(a,b,c)-->a dimostrare che f appartiene a R^3, sia H=ker F, trovare la proiezione ortogonale su H del vottore v=(1,3,0)

Grazie mille!

[miuemia]

per il due... $<=$ è immediato $(AB)^T=B^T A^T=BA=AB$ e invece $=>$ basta applicare la definizione di moltiplicazione delle matrici...
per gli altri sinceramente non mi sono chiari... che vuol dire $alpha \in Hom$ di $A$??
e poi che vuol dire $f\in RR^3$...ma $f$ è una funzione

[skeggia18]

è alfa appartenente Hom(R^3, R2[x]) di matrice a
per il secondo penso che f si riferisca a (a,b,c)-->a

[miuemia]

il terzo ancora non mi è chiaro che vuol dire $f\in RR^3$???? è una funzione mica un punto !!!
per il primo risulta che il nucleo è nullo quindi $A$ è un isomorfismo quindi l'immagine è tutto $RR^3$ e la sola e unica controimmagine del vettore$(1,2,-1)$ è $(5/4,-1/4,1)$

[skeggia18]

ok il primo l'ho risolto anche io così nell'esame..però a qst punto nn credo sia giusto..valeva 10 punti cm esercizio..e in tt l'esame nn ne ho fatti 7!
per il secondo qst due matrici potevano essere giuste:
A: prima riga 0 1 seconda riga 1 0
b: prima riga 1 1 seconda riga 1 0

[miuemia]

mi sembra strano che sia sbagliato...
cmq quelle due matrici che hai scritto vanno bene... il terzo ancora mi rimane oscuro

[Chevtchenko]

Forse vuol dire ''dimostrare che $f$ e' una forma lineare su $RR^3$''...

[miuemia]

se vuol dire dimostrare che $f$ è una forma lineare beh risulta immediato.. $f(\lambda v+\mu w)=\lambda f(v)+\mu f(w)$ e il $ker f=(e_2,e_3)$
dove $e_i$ è la base canonica di $RR^3$ e quindi la proiezione di $v$ sul $ker$ è data da $P(v)=3e_2$...
ma sempre che voglia dire quello che dice sandokan