Algebra lineare

[assoluti]

Ciao a tutti, potete aiutarmi con questo problemino di algebra lineare?
a) dimostrare che esiste un unico operatore lineare F: R4 -> R4 tale che F(1,1,0,0)=(0,0,1,1), Ker(F)={(x1,x2,x3,x4) appartenente a R4 t.c. {x1+x2=0 e x3+x4=0} e (1,1,1,0) è autovettore per F di autovalore -1.
b) scrivere la matrice di F rispetto alla base standard di R4
c) completare una base di Ker(F) a una base di R4
d) discutere la diagonalizzabilità di F.

L'ho iniziato a svolgere così:
F(1,1,0,0)=(0,0,1,1) (ce lo dice il testo)
x1=-x2 quindi abbiamo (1,-1,0,0) e quindi F(1,-1,0,0) = (0,0,0,0)
x3=-x4 quindi abbiamo (0,0,1,-1) e quindi F(0,0,1,-1) = (0,0,0,0)
F(1,1,1,0)=(-1,-1,-1,0)

Questo l'ho fatto meccanicamente, quale teoria c'è dietro a tutto ciò? Quale regola teorica applico per arrivare a questo risultato?
Poi ora per arrivare alla matrice so che devo fare i calcoli in modo da avere tutto in funzione delle basi canoniche, quindi mi calcolo F(1,0,0,0), ecc ed arrivo alla matrice
0 0 -1 -1
0 0 -1 -1
1/2 1/2 -2 -2
1/2 1/2 -1 -1
Arrivato a questo punto come si procede per completare una base di Ker(F) ad una base di R4?
E la diagonalizzabilità?
Anche qui, mi sapreste aiutare a riguardo di corrispondenza teoria -> procedimento da applicare? Grazie mille a tutti!
Ivano

[assoluti]

nessuno sa aiutarmi? (

[assoluti]

per quanto riguarda la diagonalizzazione nemmeno sapete aiutarmi?
Grazie

[assoluti]

up