ALGEBRA
Salve a tutti nn riesco a risolvere questo esercizio:
Siano U=L((1,1,3,0),(0,1,1,3)) e W=[(x,y,z,t) appartenente a R^4:y-z-t=0,-x+y-z-t=0] due sottospazi di R^4.
a)Si determini la dimensione e una base di U intersezione con W.
b)Si determini la dimensione e una base di U+W.
c)Si completi una base di U ad una base di R^4.
nei punti a) e b) la dimensione si determina con la relazione di Grassmann???come si trova la base??
nel punto c) ovviamente si usa il teorema di completamento di una base cioè si aggiungono i vettori della base canonica??
Siano U=L((1,1,3,0),(0,1,1,3)) e W=[(x,y,z,t) appartenente a R^4:y-z-t=0,-x+y-z-t=0] due sottospazi di R^4.
a)Si determini la dimensione e una base di U intersezione con W.
b)Si determini la dimensione e una base di U+W.
c)Si completi una base di U ad una base di R^4.
nei punti a) e b) la dimensione si determina con la relazione di Grassmann???come si trova la base??
nel punto c) ovviamente si usa il teorema di completamento di una base cioè si aggiungono i vettori della base canonica??
Risposte
La base di U è data da quei due vettori.
Per trovare la base di W prima conviene scrivere lo spazio in forma parametrica.
Si hanno due equazioni in quattro incognite, quindi i parametri da inserire sono due.
Cominciamo col porre, ad esempio, $t=\alpha$, allora otteniamo:
$\{(y=z+\alpha),(-x+y-z-\alpha=0):}$
Poniamo ora $z=\beta$ e sostituiamo il valore di $y$ nella seconda equazione, allora otteniamo:
$\{(y=\beta+\alpha),(-x+\beta+\alpha-\beta-\alpha=0):}$
quindi: $\{(y=\beta+\alpha),(x=0):}$
Il generico vettore dello spazio W ha questa forma: $((0),(\alpha+\beta),(\beta),(\alpha))$, che può anche essere scritto come: $\alpha*((0),(1),(0),(1))$ + $\beta*((0),(1),(1),(0))$, quindi una base per lo spazio W è data dai vettori $((0),(1),(0),(1))$ e $((0),(1),(1),(0))$.
Ora hai i vettori che compongono la base di U e i vettori che compongono la base di W.
Scrivi questi vettori come riga e scrivi una matrice che ha come righe tali vettori.
Riduci la matrice a scala con le operazioni elementari sulle righe, le righe diverse dal vettore nullo saranno i vettori della base di $U + W$, e il numero di vettori è, ovviamente, la dimensione di $U+W$.
Dato che hai le dimensioni di U, W, U+W, per trovare la dimensione dell'intersezione puoi usare la relazione di Grassman.
Per il punto C, se ho capito quello che chiede, ti serve un vettore che abbia le prime due componenti nulle, e un vettore che la le prime tre componenti nulle, il perché te lo lascio come esercizio.
Per scrivere una base di $U \cap W$ io porterei U in forma cartesiana, così si può trovare facilmente l'espressione cartesiana di $U \cap W$, dalla forma cartesiana si passa alla forma parametrica, e da quella parametrica alla bese di $U \cap W$, proprio come ho fatto prima per $W$.
Per trovare la base di W prima conviene scrivere lo spazio in forma parametrica.
Si hanno due equazioni in quattro incognite, quindi i parametri da inserire sono due.
Cominciamo col porre, ad esempio, $t=\alpha$, allora otteniamo:
$\{(y=z+\alpha),(-x+y-z-\alpha=0):}$
Poniamo ora $z=\beta$ e sostituiamo il valore di $y$ nella seconda equazione, allora otteniamo:
$\{(y=\beta+\alpha),(-x+\beta+\alpha-\beta-\alpha=0):}$
quindi: $\{(y=\beta+\alpha),(x=0):}$
Il generico vettore dello spazio W ha questa forma: $((0),(\alpha+\beta),(\beta),(\alpha))$, che può anche essere scritto come: $\alpha*((0),(1),(0),(1))$ + $\beta*((0),(1),(1),(0))$, quindi una base per lo spazio W è data dai vettori $((0),(1),(0),(1))$ e $((0),(1),(1),(0))$.
Ora hai i vettori che compongono la base di U e i vettori che compongono la base di W.
Scrivi questi vettori come riga e scrivi una matrice che ha come righe tali vettori.
Riduci la matrice a scala con le operazioni elementari sulle righe, le righe diverse dal vettore nullo saranno i vettori della base di $U + W$, e il numero di vettori è, ovviamente, la dimensione di $U+W$.
Dato che hai le dimensioni di U, W, U+W, per trovare la dimensione dell'intersezione puoi usare la relazione di Grassman.
Per il punto C, se ho capito quello che chiede, ti serve un vettore che abbia le prime due componenti nulle, e un vettore che la le prime tre componenti nulle, il perché te lo lascio come esercizio.
Per scrivere una base di $U \cap W$ io porterei U in forma cartesiana, così si può trovare facilmente l'espressione cartesiana di $U \cap W$, dalla forma cartesiana si passa alla forma parametrica, e da quella parametrica alla bese di $U \cap W$, proprio come ho fatto prima per $W$.
Citazione:
Ora hai i vettori che compongono la base di U e i vettori che compongono la base di W.
Scrivi questi vettori come riga e scrivi una matrice che ha come righe tali vettori.
Riduci la matrice a scala con le operazioni elementari sulle righe, le righe diverse dal vettore nullo saranno i vettori della base di $U + W$, e il numero di vettori è, ovviamente, la dimensione di $U+W$.
Al posto di ridurre la matrice a scala....si può fare con il metodo del rango??...cioè trovo il rango della matrice che poi corrisponderà alla dimensione e i vettori che mi hanno dato il determinante diverso da zero sono i vettori linearmente indipendenti quindi i vettori della base di U+W??
Ora hai i vettori che compongono la base di U e i vettori che compongono la base di W.
Scrivi questi vettori come riga e scrivi una matrice che ha come righe tali vettori.
Riduci la matrice a scala con le operazioni elementari sulle righe, le righe diverse dal vettore nullo saranno i vettori della base di $U + W$, e il numero di vettori è, ovviamente, la dimensione di $U+W$.
Al posto di ridurre la matrice a scala....si può fare con il metodo del rango??...cioè trovo il rango della matrice che poi corrisponderà alla dimensione e i vettori che mi hanno dato il determinante diverso da zero sono i vettori linearmente indipendenti quindi i vettori della base di U+W??
Puoi fare benissimo anche in questo modo anche se, per quello che mi riguarda, quando devo trovare il rango di una matrice uso sempre la riduzione a scala, perché mi sembra più semplice, ma questa è un'opinione personale.
ok ho capito ti ringrazio per avermi risposto!!!
Figurati
volevo chiedere un'altra cosa....
Citazione:
La base di U è data da quei due vettori.
ma ovviamente quei vettori sono linearmente indipendenti per costituire una base di U.
infatti poi ho verificato:
(0,0,0,0)=a(1,1,3,0)+b(0,1,1,3)
(0,0,0,0)=(a,a,3a,0)+(0,b,b,3b)
a=0
a+b=0
3a+b=0
3b=0
a=0
b=0
b=0
0=0
a=0
b=0
quindi sono indipendenti....giusto?
Citazione:
La base di U è data da quei due vettori.
ma ovviamente quei vettori sono linearmente indipendenti per costituire una base di U.
infatti poi ho verificato:
(0,0,0,0)=a(1,1,3,0)+b(0,1,1,3)
(0,0,0,0)=(a,a,3a,0)+(0,b,b,3b)
a=0
a+b=0
3a+b=0
3b=0
a=0
b=0
b=0
0=0
a=0
b=0
quindi sono indipendenti....giusto?
Sì, questa verifica è corretta, ma si vedeva subito che erano indipendenti perché se costruivi la solita matrice vedevi subito che era a scala (scusa la fissazione 
)
)
"Tipper":
Sì, questa verifica è corretta, ma si vedeva subito che erano indipendenti perché se costruivi la solita matrice vedevi subito che era a scala (scusa la fissazione
Ecco la
solita matrice : $((1,1,3,0),(0,1,1,3))$ , in effetti si vede subito che è a scala ma anche subito si vede che il rango è 2; ognuno ha le sue fissazioni.
Citazione:
Dato che hai le dimensioni di U, W, U+W, per trovare la dimensione dell'intersezione puoi usare la relazione di Grassman.
la relazione di Grassmann è:
dim(U+W)=dimU+dimW-dimU intersezione W
ho ricavato che:
dim(U+W)=3
dim U=2
dimW=2
quindi dimU intersezione W sarà:
dimU intersezione W=1
penso che sia fatto bene....ora però nn riesco a capire questo:
Per scrivere una base di $U \cap W$ io porterei U in forma cartesiana, così si può trovare facilmente l'espressione cartesiana di $U \cap W$, dalla forma cartesiana si passa alla forma parametrica, e da quella parametrica alla bese di $U
\cap W$, proprio come ho fatto prima per $W$.
però ho provato lo stesso ma penso che ho sbagliato:
essendo:(1,1,3,0),(0,1,1,3) la base di U si ha e poichè stiamo in R^4:
(x,y,3z,0),(0,y,z,3t) quindi:
x+y+3z=0 e y+z+3t=0
Per t=a e z=b:
y=-b-3a e x=-y-3b
y=-b-3a e x=b+3b-3b
y=-b-3a e x=b
quindi:
(b,-b-3a,b,a);
Ponendo a=0 e b=1:
(1,-1,1,0).
Ponendo a=1 e b=0:
(0,-3,0,1).
Ragazzi penso che ho sbagliato tutto anche perchè ho un testo che fa pena e nn porta esempi....e quindi non ho altre alternative....
!!
Dato che hai le dimensioni di U, W, U+W, per trovare la dimensione dell'intersezione puoi usare la relazione di Grassman.
la relazione di Grassmann è:
dim(U+W)=dimU+dimW-dimU intersezione W
ho ricavato che:
dim(U+W)=3
dim U=2
dimW=2
quindi dimU intersezione W sarà:
dimU intersezione W=1
penso che sia fatto bene....ora però nn riesco a capire questo:
Per scrivere una base di $U \cap W$ io porterei U in forma cartesiana, così si può trovare facilmente l'espressione cartesiana di $U \cap W$, dalla forma cartesiana si passa alla forma parametrica, e da quella parametrica alla bese di $U
\cap W$, proprio come ho fatto prima per $W$.
però ho provato lo stesso ma penso che ho sbagliato:
essendo:(1,1,3,0),(0,1,1,3) la base di U si ha e poichè stiamo in R^4:
(x,y,3z,0),(0,y,z,3t) quindi:
x+y+3z=0 e y+z+3t=0
Per t=a e z=b:
y=-b-3a e x=-y-3b
y=-b-3a e x=b+3b-3b
y=-b-3a e x=b
quindi:
(b,-b-3a,b,a);
Ponendo a=0 e b=1:
(1,-1,1,0).
Ponendo a=1 e b=0:
(0,-3,0,1).
Ragazzi penso che ho sbagliato tutto anche perchè ho un testo che fa pena e nn porta esempi....e quindi non ho altre alternative....
!!
Per il punto c) cioè:
c)Si completi una base di U ad una base di R^4.
Ho provato così:
essendo (1,1,3,0),(0,1,1,3) la base di U per il Teorema di completamento di una base io credo(spero di nn dire una cavolata) che ai vettori indipendenti (1,1,3,0),(0,1,1,3) si possono aggiungere i vettori della base canonica in R^4:
Quindi:
(1,1,3,0),(0,1,1,3),(0,0,0,1),(1,0,0,0)
Bè mi direte voi se sto dicendo stupidaggini...grazie a tutti per la pazienza!!ringrazio in particolare Tipper!!!
c)Si completi una base di U ad una base di R^4.
Ho provato così:
essendo (1,1,3,0),(0,1,1,3) la base di U per il Teorema di completamento di una base io credo(spero di nn dire una cavolata) che ai vettori indipendenti (1,1,3,0),(0,1,1,3) si possono aggiungere i vettori della base canonica in R^4:
Quindi:
(1,1,3,0),(0,1,1,3),(0,0,0,1),(1,0,0,0)
Bè mi direte voi se sto dicendo stupidaggini...grazie a tutti per la pazienza!!ringrazio in particolare Tipper!!!
cmq la base di U intersezione con W che mi sono trovato sarebbe:
(1,-1,1,0),(0,-3,0,1) e da come ho potuto verificare sono vettori indipendenti per tutte e due le fissazioni sia per quella di
Camillo sia per quella di Tipper!! !!!
in quanto si riduce ad una matrice a scalini....oppure con il metodo del rango....ha rango 2 e quindi ha vettori indipendenti che sono proprio (1,-1,1,0),(0,-3,0,1) poichè hanno determinante non nullo.
Forse nn ho scritto proprio una cavolata!!!!
(1,-1,1,0),(0,-3,0,1) e da come ho potuto verificare sono vettori indipendenti per tutte e due le fissazioni sia per quella di
Camillo sia per quella di Tipper!!
!!!in quanto si riduce ad una matrice a scalini....oppure con il metodo del rango....ha rango 2 e quindi ha vettori indipendenti che sono proprio (1,-1,1,0),(0,-3,0,1) poichè hanno determinante non nullo.
Forse nn ho scritto proprio una cavolata!!!!
Che ne dite??
Non ho guardato la tua soluzione ma le conclusioni su U inter W non sono corrette.
Infatti dim(U+W) = 4
dim U = dim W = 2 e per la regola di Grassmann :
Dim (U+W) = Dim U +Dim W -Dim (U inter W)
si ha che Dim (U inter W ) = 0 .
Si ha conferma anche mettendo a sistema le espressioni cartesiane dei sottospazi U, W rispettivamente :
$3x-3y+t=0 $
$3x-3z +t = 0 $
$ y-z-t = 0$
$-x+y-z-t = 0 $
sistema lineare omogeneo con determinante dei coefficienti diverso da 0 e quindi avente come unica soluzione quella nulla : $ x=y=z=t=0$.
Infatti dim(U+W) = 4
dim U = dim W = 2 e per la regola di Grassmann :
Dim (U+W) = Dim U +Dim W -Dim (U inter W)
si ha che Dim (U inter W ) = 0 .
Si ha conferma anche mettendo a sistema le espressioni cartesiane dei sottospazi U, W rispettivamente :
$3x-3y+t=0 $
$3x-3z +t = 0 $
$ y-z-t = 0$
$-x+y-z-t = 0 $
sistema lineare omogeneo con determinante dei coefficienti diverso da 0 e quindi avente come unica soluzione quella nulla : $ x=y=z=t=0$.
Ciao camillo!!
Però io la dim(U+W) mi trovo così:
ho fatto la matrice delle due basi di U e di W cioè:
1 1 3 0
0 1 1 3
0 1 1 0
0 1 0 1
Dalla matrice si possono estrarre due minori di ordine 3:
di cui il primo è:
1 1 3
0 1 1
0 1 1
dove il determinante è 0.
Il secondo invece è:
1 3 0
1 1 3
1 1 0
dove il determinante è -3 ed è diverso da zero.
Quindi si deduce che:la matrice ha rango 3 e di conseguenza dim(U+W)=3 cioè U+W ha dimensione 3.
Citazione:
Ecco la solita matrice : ((1,1,3,0),(0,1,1,3)) , in effetti si vede subito che è a scala ma anche subito si vede che il rango è 2; ognuno ha le sue fissazioni.
da ciò si deduce che dimU=2.
mentre la dim W=2 perchè il rango è 2 in quanto il determinante non è nullo:
1 0
0 1 = 1
Ora dalla relazione di Grassmann io mi sono ricavato la Dim (U inter W ) e ho posto:
Dim (U inter W )=dimU+dimW-dim(U+W)
Dim (U inter W )=2+2-3=1
Il mio problema è che non ho capito come si determina una base di (U inter W )....e non sono sicuro se ho svolto bene
il punto c):
c)Si completi una base di U ad una base di R^4.
Ho provato così:
essendo (1,1,3,0),(0,1,1,3) la base di U per il Teorema di completamento di una base io credo(spero di nn dire una cavolata) che ai vettori indipendenti (1,1,3,0),(0,1,1,3) si possono aggiungere i vettori della base canonica in R^4:
Quindi:
(1,1,3,0),(0,1,1,3),(0,0,0,1),(1,0,0,0).
Cmq ti ringrazio per avermi risposto!
Però io la dim(U+W) mi trovo così:
ho fatto la matrice delle due basi di U e di W cioè:
1 1 3 0
0 1 1 3
0 1 1 0
0 1 0 1
Dalla matrice si possono estrarre due minori di ordine 3:
di cui il primo è:
1 1 3
0 1 1
0 1 1
dove il determinante è 0.
Il secondo invece è:
1 3 0
1 1 3
1 1 0
dove il determinante è -3 ed è diverso da zero.
Quindi si deduce che:la matrice ha rango 3 e di conseguenza dim(U+W)=3 cioè U+W ha dimensione 3.
Citazione:
Ecco la solita matrice : ((1,1,3,0),(0,1,1,3)) , in effetti si vede subito che è a scala ma anche subito si vede che il rango è 2; ognuno ha le sue fissazioni.
da ciò si deduce che dimU=2.
mentre la dim W=2 perchè il rango è 2 in quanto il determinante non è nullo:
1 0
0 1 = 1
Ora dalla relazione di Grassmann io mi sono ricavato la Dim (U inter W ) e ho posto:
Dim (U inter W )=dimU+dimW-dim(U+W)
Dim (U inter W )=2+2-3=1
Il mio problema è che non ho capito come si determina una base di (U inter W )....e non sono sicuro se ho svolto bene
il punto c):
c)Si completi una base di U ad una base di R^4.
Ho provato così:
essendo (1,1,3,0),(0,1,1,3) la base di U per il Teorema di completamento di una base io credo(spero di nn dire una cavolata) che ai vettori indipendenti (1,1,3,0),(0,1,1,3) si possono aggiungere i vettori della base canonica in R^4:
Quindi:
(1,1,3,0),(0,1,1,3),(0,0,0,1),(1,0,0,0).
Cmq ti ringrazio per avermi risposto!
La matrice $[(1,1,3,0),(0,1,1,3),(0,1,0,1),(0,1,1,0)]$ ottenuta accostando le basi di U e di W è una matrice 4x4 che ha rtango 4 ; infatti il determinante della matrice è diverso da 0 e quindi dim(U+W) = 4.
ah già che imbecille che sono!!!infatti quando nelle matrici il numero di righe coincide con il numero di colonne non si fa il minore nel senso che si considera come rango il massimo numero di righe e di colonne...hai ragione!!!
Però la cosa che nn riesco a capire è come si determina una base di (U inter W )....e poi non sono sicuro se ho svolto bene
il punto c):
c)Si completi una base di U ad una base di R^4.
Ho fatto così:
essendo (1,1,3,0),(0,1,1,3) la base di U per il Teorema di completamento di una base io credo(spero di nn dire l'ennesima cavolata) che ai vettori indipendenti (1,1,3,0),(0,1,1,3) si possono aggiungere i vettori della base canonica in R^4:
Quindi:
(1,1,3,0),(0,1,1,3),(0,0,0,1),(1,0,0,0).
questo è quello che la prof ci ha detto o meglio che ci ha fatto capire poi non so se ho capito male....cmq ti ringrazio per avermi risposto!
Però la cosa che nn riesco a capire è come si determina una base di (U inter W )....e poi non sono sicuro se ho svolto bene
il punto c):
c)Si completi una base di U ad una base di R^4.
Ho fatto così:
essendo (1,1,3,0),(0,1,1,3) la base di U per il Teorema di completamento di una base io credo(spero di nn dire l'ennesima cavolata) che ai vettori indipendenti (1,1,3,0),(0,1,1,3) si possono aggiungere i vettori della base canonica in R^4:
Quindi:
(1,1,3,0),(0,1,1,3),(0,0,0,1),(1,0,0,0).
questo è quello che la prof ci ha detto o meglio che ci ha fatto capire poi non so se ho capito male....cmq ti ringrazio per avermi risposto!
Un modo per determinare una base di U int W è :
*trovare con la regola di Grassmann quale sia la dimensione di U int W .
*trovare , se già non è data la forma cartesiana dei sottospazi U , W .
*mettere a sistema le suddette forme cartesiane e risolvere il sistema .
Ammettiamo che dim (U int W) sia = 1 e che mettendo a sistema le espressioni cartesiane di U e di W si ottenga :
$( x, -2x, 0,3x) $ , questa cioè sia la rappresentazione del generico vettore appartenente a U int W .
Una base sarà allora : $( 1,-2,0,3)$.
P.S. se la matrice di cui vuoi trovare il rango è quadrata ( ad es. nxn) , devi incominciare a considerare se la matrice stessa ha determinante diverso da 0 ; in tal caso il rango è : n .
se invece così non è allora passi a esaminare i minori di ordine n-1 etc.
*trovare con la regola di Grassmann quale sia la dimensione di U int W .
*trovare , se già non è data la forma cartesiana dei sottospazi U , W .
*mettere a sistema le suddette forme cartesiane e risolvere il sistema .
Ammettiamo che dim (U int W) sia = 1 e che mettendo a sistema le espressioni cartesiane di U e di W si ottenga :
$( x, -2x, 0,3x) $ , questa cioè sia la rappresentazione del generico vettore appartenente a U int W .
Una base sarà allora : $( 1,-2,0,3)$.
P.S. se la matrice di cui vuoi trovare il rango è quadrata ( ad es. nxn) , devi incominciare a considerare se la matrice stessa ha determinante diverso da 0 ; in tal caso il rango è : n .
se invece così non è allora passi a esaminare i minori di ordine n-1 etc.
Per il punto c , completamento di una base da V a $R ^4$ , ok il risultato è corretto ; se inserisci i 4 vettori in una matrice , questa ha rango 4 .
Inserendo però questi due vettori nella matrice: (0,0,1,0) e (0,0,0,1) secondo me era più semplice: non ci sarebbe stato bisogno di controllare se la matrice aveva rango pieno, perché era già conformata a... a... come si dice non me lo ricordo più?
"Tipper":
Inserendo però questi due vettori nella matrice: (0,0,1,0) e (0,0,0,1) secondo me era più semplice: non ci sarebbe stato bisogno di controllare se la matrice aveva rango pieno, perché era già conformata a... a... come si dice non me lo ricordo più?
Non chiedeva però di partire dalla base di U , cioè : $[(1,1,3,0);(0,1,1,3)]$ ?
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