ALGEBRA
Salve a tutti nn riesco a risolvere questo esercizio:
Siano U=L((1,1,3,0),(0,1,1,3)) e W=[(x,y,z,t) appartenente a R^4:y-z-t=0,-x+y-z-t=0] due sottospazi di R^4.
a)Si determini la dimensione e una base di U intersezione con W.
b)Si determini la dimensione e una base di U+W.
c)Si completi una base di U ad una base di R^4.
nei punti a) e b) la dimensione si determina con la relazione di Grassmann???come si trova la base??
nel punto c) ovviamente si usa il teorema di completamento di una base cioè si aggiungono i vettori della base canonica??
Siano U=L((1,1,3,0),(0,1,1,3)) e W=[(x,y,z,t) appartenente a R^4:y-z-t=0,-x+y-z-t=0] due sottospazi di R^4.
a)Si determini la dimensione e una base di U intersezione con W.
b)Si determini la dimensione e una base di U+W.
c)Si completi una base di U ad una base di R^4.
nei punti a) e b) la dimensione si determina con la relazione di Grassmann???come si trova la base??
nel punto c) ovviamente si usa il teorema di completamento di una base cioè si aggiungono i vettori della base canonica??
Risposte
Se aggiungi i vettori (0,0,1,0),(0,0,0,1) ai vettori (1,1,3,0),(0,1,1,3) si ottiene una base di $\mathbb{R}^4$, no? (Ammesso e non concesso che abbia capito cosa chiede l'esercizio.)
Ragazzi scusate ma nn riesco ad applicare il metodo che mi ha consigliato Camillo:
Un modo per determinare una base di U int W è :
*trovare con la regola di Grassmann quale sia la dimensione di U int W .
*trovare , se già non è data la forma cartesiana dei sottospazi U , W .
*mettere a sistema le suddette forme cartesiane e risolvere il sistema .
Ammettiamo che dim (U int W) sia = 1 e che mettendo a sistema le espressioni cartesiane di U e di W si ottenga :
$( x, -2x, 0,3x) $ , questa cioè sia la rappresentazione del generico vettore appartenente a U int W .
Una base sarà allora : $( 1,-2,0,3)$.
Qualcuno puo farmi un esempio passo per passo principalmente non ho capito in che senso mettere in forma cartesiana
i sottospazi U e W....
Un modo per determinare una base di U int W è :
*trovare con la regola di Grassmann quale sia la dimensione di U int W .
*trovare , se già non è data la forma cartesiana dei sottospazi U , W .
*mettere a sistema le suddette forme cartesiane e risolvere il sistema .
Ammettiamo che dim (U int W) sia = 1 e che mettendo a sistema le espressioni cartesiane di U e di W si ottenga :
$( x, -2x, 0,3x) $ , questa cioè sia la rappresentazione del generico vettore appartenente a U int W .
Una base sarà allora : $( 1,-2,0,3)$.
Qualcuno puo farmi un esempio passo per passo principalmente non ho capito in che senso mettere in forma cartesiana
i sottospazi U e W....
Se si tratta di mettere in forma cartesiana un sottospazio V di $R^n$
(di cui sia nota una base) ecco un esempio di procedimento.
Sia V un sottospazio di $R^4$ avente per base $B={(1,2,3,0),(0,2,5,1)}$
Costruiamo la matrice M(3x4) avente come prime due righe i vettori componenti di B
e come terza riga il vettore indeterminato $(x_1,x_2,x_3,x_4)$
$M=((1,2,3,0),(0,2,5,1),(x_1,x_2,x_3,x_4))$
In due passi consecutivi riduciamo M ad una matrice a scalini:
1)$M'=((1,2,3,0),(0,2,5,1),(0,-2x_1+x_2,-3x_1+x_3,x_4))$
2)$M''=((1,2,3,0),(0,2,5,1),(0,0,4x_1-5x_2+2x_3,2x_1-x_2+2x_4))$
Eguagliando a 0 gli elementi non identicamente nulli dell'ultima riga di M'' otterremo la forma cartesiana di V:
$V={(x_1,x_2,x_3,x_4) in R^4|4x_1-5x_2+2x_3=0,2x_1-x_2+2x_4=0}$
karl
(di cui sia nota una base) ecco un esempio di procedimento.
Sia V un sottospazio di $R^4$ avente per base $B={(1,2,3,0),(0,2,5,1)}$
Costruiamo la matrice M(3x4) avente come prime due righe i vettori componenti di B
e come terza riga il vettore indeterminato $(x_1,x_2,x_3,x_4)$
$M=((1,2,3,0),(0,2,5,1),(x_1,x_2,x_3,x_4))$
In due passi consecutivi riduciamo M ad una matrice a scalini:
1)$M'=((1,2,3,0),(0,2,5,1),(0,-2x_1+x_2,-3x_1+x_3,x_4))$
2)$M''=((1,2,3,0),(0,2,5,1),(0,0,4x_1-5x_2+2x_3,2x_1-x_2+2x_4))$
Eguagliando a 0 gli elementi non identicamente nulli dell'ultima riga di M'' otterremo la forma cartesiana di V:
$V={(x_1,x_2,x_3,x_4) in R^4|4x_1-5x_2+2x_3=0,2x_1-x_2+2x_4=0}$
karl
Ragazzi questo è un modo per determinare una base di U int W che mi ha suggerito camillo:
*trovare con la regola di Grassmann quale sia la dimensione di U int W .
*trovare , se già non è data la forma cartesiana dei sottospazi U , W .
*mettere a sistema le suddette forme cartesiane e risolvere il sistema .
Ma una volta risolto il sistema e trovate le soluzioni la base di U intersezione W è rappresentata dai coefficienti delle soluzioni trovate giusto??
*trovare con la regola di Grassmann quale sia la dimensione di U int W .
*trovare , se già non è data la forma cartesiana dei sottospazi U , W .
*mettere a sistema le suddette forme cartesiane e risolvere il sistema .
Ma una volta risolto il sistema e trovate le soluzioni la base di U intersezione W è rappresentata dai coefficienti delle soluzioni trovate giusto??
Salve a tutti forse allora ho capito come si risolve questo quesito:
Siano U=L((1,1,3,0),(0,1,1,3)) e W=[(x,y,z,t) appartenente a R^4:y-z-t=0,-x+y-z-t=0] due sottospazi di R^4.
a)Si determini la dimensione e una base di U intersezione con W.
P.S la dimensione è già stata ricavata nei post precedenti mi sto occupando solo della base adesso.
In base a quanto molto gentilmente mi ha suggerito Camillo:
*trovare con la regola di Grassmann quale sia la dimensione di U int W .
*trovare , se già non è data la forma cartesiana dei sottospazi U , W .
*mettere a sistema le suddette forme cartesiane e risolvere il sistema .
Sapendo che la forma cartesiana di W è già data dal testo dell'esercizio ed è:
y-z-t=0, -x+y-z-t=0
Allora ho ricavato la forma cartesiana del sottospazio U:
ho messo in forma di matrice i vettori di U:
1 1 3 0
0 1 1 3
x y z t
da questa matrice si possono ricavare due minori di ordine 3 cioè:
1 1 3
0 1 1 = z-y-2x
x y z
1 1 0
0 1 3 =t-3y+3x
x y t
Poi ho messo a sistema le quattro forme cartesiane ottenendo:
y-z-t=0
-x+y-z-t=0
z-y-2x=0
t-3y+3x=0
Ora non ho capito se per trovare i vettori della base dell'intersezione di U e W bisogna riportare i coefficienti delle quattro equazioni cioè:
B di U int W= (0,1,-1,-1),(-1,1,-1,-1,),(2,-1,1,0),(3,-3,0,1)
oppure bisogna risolvere il sistema che in questo caso credo che si risolva con il metodo di Cramer perchè si hanno quattro equazioni e quattro incognite???
Ragazzi ditemi per favore se è questo il procedimento esatto per determinare una base di U intersezione con W!!
Grazie!!!
Siano U=L((1,1,3,0),(0,1,1,3)) e W=[(x,y,z,t) appartenente a R^4:y-z-t=0,-x+y-z-t=0] due sottospazi di R^4.
a)Si determini la dimensione e una base di U intersezione con W.
P.S la dimensione è già stata ricavata nei post precedenti mi sto occupando solo della base adesso.
In base a quanto molto gentilmente mi ha suggerito Camillo:
*trovare con la regola di Grassmann quale sia la dimensione di U int W .
*trovare , se già non è data la forma cartesiana dei sottospazi U , W .
*mettere a sistema le suddette forme cartesiane e risolvere il sistema .
Sapendo che la forma cartesiana di W è già data dal testo dell'esercizio ed è:
y-z-t=0, -x+y-z-t=0
Allora ho ricavato la forma cartesiana del sottospazio U:
ho messo in forma di matrice i vettori di U:
1 1 3 0
0 1 1 3
x y z t
da questa matrice si possono ricavare due minori di ordine 3 cioè:
1 1 3
0 1 1 = z-y-2x
x y z
1 1 0
0 1 3 =t-3y+3x
x y t
Poi ho messo a sistema le quattro forme cartesiane ottenendo:
y-z-t=0
-x+y-z-t=0
z-y-2x=0
t-3y+3x=0
Ora non ho capito se per trovare i vettori della base dell'intersezione di U e W bisogna riportare i coefficienti delle quattro equazioni cioè:
B di U int W= (0,1,-1,-1),(-1,1,-1,-1,),(2,-1,1,0),(3,-3,0,1)
oppure bisogna risolvere il sistema che in questo caso credo che si risolva con il metodo di Cramer perchè si hanno quattro equazioni e quattro incognite???
Ragazzi ditemi per favore se è questo il procedimento esatto per determinare una base di U intersezione con W!!
Grazie!!!
Si deve risolvere il sistema: se come soluzione ottieni $x=y=z=t=0$ significa che l'intersezione è lo spazio nullo, altrimenti troverai alcune variabili espresse in funzioni di altre.
Se ad esempio trovi tre equazioni avendo quattro incognite, ti conviene inserire una parametro libero $\alpha$ e esprimere tutte le variabili in funzione di $\alpha$; a questo punto puoi scrivere il generico vettore appartenente allo spazio, e raccogliondo $\alpha$ trovi la base dello spazio.
Se invece trovassi due equazioni dovresti inserire due parametri liberi, poi dovresti esprimere tutte le variabili in funzione di questi parametri liberi, scrivere così il generico vettore appartenente allo spazio, per poi passare ai vettori che compongono una base di tale spazio.
Se ad esempio trovi tre equazioni avendo quattro incognite, ti conviene inserire una parametro libero $\alpha$ e esprimere tutte le variabili in funzione di $\alpha$; a questo punto puoi scrivere il generico vettore appartenente allo spazio, e raccogliondo $\alpha$ trovi la base dello spazio.
Se invece trovassi due equazioni dovresti inserire due parametri liberi, poi dovresti esprimere tutte le variabili in funzione di questi parametri liberi, scrivere così il generico vettore appartenente allo spazio, per poi passare ai vettori che compongono una base di tale spazio.
Ragazzi il sistema l'ho risolto con il metodo di Creamer perchè il numero delle equazioni il numero delle incognite e il numero del rango cioeè il valore del rango coincidono.Infatti sono uguali a 4 da come si può vedere:
Sto calcolando il rango della matrice incompleta:
0 1 -1 -1
-1 1 -1 -1
-2 -1 1 0
3 -3 0 1
la matrice è quadrata ed il determinante è -3 quindi si può dire che ha rango 4.
In base a quello che ho detto in precedenza si può applicare il Teorema di Cramer:
ho chiamato il determinante della matrice di prima D
0 1 -1 -1
-1 1 -1 -1
D= -2 -1 1 0 =-3
3 -3 0 1
0 -1 -1 1 0 -1 -1 0
0 -1 -1 1 0 -1 -1 -1
0 0 1 -1 0 0 1 -2
0 1 0 -3 0 1 0 3
x = _________ = 0 y=____________
D D
0 -1 1 0 1 -1 0 0
0 -1 1 -1 -1 1 -1 0
0 -2 -1 0 1 -1 -2 0
1 -3 3 0 -3 3 0 0
z=__________= 1 t=__________ = 0
D D
Io ho dedotto che allora la base è questa però il risultato non centra per niente con quello che mi ha detto Tipper:
Si deve risolvere il sistema: se come soluzione ottieni $x=y=z=t=0$ significa che l'intersezione è lo spazio nullo, altrimenti troverai alcune variabili espresse in funzioni di altre.
Se ad esempio trovi tre equazioni avendo quattro incognite, ti conviene inserire una parametro libero $\alpha$ e esprimere tutte le variabili in funzione di $\alpha$; a questo punto puoi scrivere il generico vettore appartenente allo spazio, e raccogliondo $\alpha$ trovi la base dello spazio.
Se invece trovassi due equazioni dovresti inserire due parametri liberi, poi dovresti esprimere tutte le variabili in funzione di questi parametri liberi, scrivere così il generico vettore appartenente allo spazio, per poi passare ai vettori che compongono una base di tale spazio.
allora quello che mi chiedo....dovevo applicare o no Cramer??come si scrive la base???
quale è la bse di U intersezione W???
Sto calcolando il rango della matrice incompleta:
0 1 -1 -1
-1 1 -1 -1
-2 -1 1 0
3 -3 0 1
la matrice è quadrata ed il determinante è -3 quindi si può dire che ha rango 4.
In base a quello che ho detto in precedenza si può applicare il Teorema di Cramer:
ho chiamato il determinante della matrice di prima D
0 1 -1 -1
-1 1 -1 -1
D= -2 -1 1 0 =-3
3 -3 0 1
0 -1 -1 1 0 -1 -1 0
0 -1 -1 1 0 -1 -1 -1
0 0 1 -1 0 0 1 -2
0 1 0 -3 0 1 0 3
x = _________ = 0 y=____________
D D
0 -1 1 0 1 -1 0 0
0 -1 1 -1 -1 1 -1 0
0 -2 -1 0 1 -1 -2 0
1 -3 3 0 -3 3 0 0
z=__________= 1 t=__________ = 0
D D
Io ho dedotto che allora la base è questa però il risultato non centra per niente con quello che mi ha detto Tipper:
Si deve risolvere il sistema: se come soluzione ottieni $x=y=z=t=0$ significa che l'intersezione è lo spazio nullo, altrimenti troverai alcune variabili espresse in funzioni di altre.
Se ad esempio trovi tre equazioni avendo quattro incognite, ti conviene inserire una parametro libero $\alpha$ e esprimere tutte le variabili in funzione di $\alpha$; a questo punto puoi scrivere il generico vettore appartenente allo spazio, e raccogliondo $\alpha$ trovi la base dello spazio.
Se invece trovassi due equazioni dovresti inserire due parametri liberi, poi dovresti esprimere tutte le variabili in funzione di questi parametri liberi, scrivere così il generico vettore appartenente allo spazio, per poi passare ai vettori che compongono una base di tale spazio.
allora quello che mi chiedo....dovevo applicare o no Cramer??come si scrive la base???
quale è la bse di U intersezione W???
Ho visto che nn si è postato bene il risultato del sistema io mi trovo con il metodo di Cramer che:
x=0 y=0 z=1 e t=0
x=0 y=0 z=1 e t=0
Scusate il macello..... 
ma apparentemente mentre scrivevo le matrici le scriveva bene poi quando ho postato
si è spostato tutto!!! cmq le soluzioni del sistema sono quelle li....
Grazie e scusate ancora!!!
ma apparentemente mentre scrivevo le matrici le scriveva bene poi quando ho postatosi è spostato tutto!!! cmq le soluzioni del sistema sono quelle li....
Grazie e scusate ancora!!!
Mi sembra strano che ti torni $z=1$, in quanto quello che ottieni non sarebbe uno spazio vettoriale.
Questo sarebbe infatti un sottospazio affine, in quanto dato dalla traslazione dello spazio nullo di un vettore $((0),(0),(1),(0))$
Le equazioni sono lineari nelle incognite $x, y, z, t$, non ci sono termini noti, quindi non capisco come tu abbia fatto a trovare questa soluzione.
Questo sarebbe infatti un sottospazio affine, in quanto dato dalla traslazione dello spazio nullo di un vettore $((0),(0),(1),(0))$
Le equazioni sono lineari nelle incognite $x, y, z, t$, non ci sono termini noti, quindi non capisco come tu abbia fatto a trovare questa soluzione.
Le equazioni del sistema sono:
$\{(y-z-t=0),(-x+y-z-t=0),(z-y-2x=0),(t-3y+3x=0):}$, esplicitando $y$ dalla prima equazione e sostituendolo nelle altre si ottiene:
$\{(y=z+t),(-x+z+t-z-t=0),(z-z-t-2x=0),(t-3z-3t+3x=0):}$
$\{(y=z+t),(x=0),(-t-2x=0),(t-3z-3t+3x=0):}$
Dalla seconda si ottiene $x=0$, e si sostituisce nelle equazioni:
$\{(y=z+t),(x=0),(-t=0),(-3z-2t=0):}$
Dalla terza si ottiene $t=0$, sostituendo si ottiene:
$\{(y=z),(x=0),(t=0),(-3z=0):}$
Dalla quarta si ottiene $z=0$, e sostituendo si ottiene:
$\{(y=0),(x=0),(t=0),(z=0):}$
Il sistema quindi è risolto per: $x=y=z=t=0$, quindi il generico vettore appartenente allo spazio è questo:
$\alpha*((0),(0),(0),(0))=((0),(0),(0),(0))$
Quindi lo spazio determinato è lo spazio nullo.
$\{(y-z-t=0),(-x+y-z-t=0),(z-y-2x=0),(t-3y+3x=0):}$, esplicitando $y$ dalla prima equazione e sostituendolo nelle altre si ottiene:
$\{(y=z+t),(-x+z+t-z-t=0),(z-z-t-2x=0),(t-3z-3t+3x=0):}$
$\{(y=z+t),(x=0),(-t-2x=0),(t-3z-3t+3x=0):}$
Dalla seconda si ottiene $x=0$, e si sostituisce nelle equazioni:
$\{(y=z+t),(x=0),(-t=0),(-3z-2t=0):}$
Dalla terza si ottiene $t=0$, sostituendo si ottiene:
$\{(y=z),(x=0),(t=0),(-3z=0):}$
Dalla quarta si ottiene $z=0$, e sostituendo si ottiene:
$\{(y=0),(x=0),(t=0),(z=0):}$
Il sistema quindi è risolto per: $x=y=z=t=0$, quindi il generico vettore appartenente allo spazio è questo:
$\alpha*((0),(0),(0),(0))=((0),(0),(0),(0))$
Quindi lo spazio determinato è lo spazio nullo.
Provo ad essere più esplicito facendoti questo esempio:
sia $\mathcal{A}$ il sottospazio lineare di $\mathbb{R}^5$ soluzione dell'equazione $x_4+x_5=0$ e sia $\mathcal{B}$ il sottospazio lineare di $\mathbb{R}^5$ soluzione del sistema: $\{(x_1+x_2=0),(x_2+x_3=0):}$
Queste sono le equazioni cartesiane di $\mathcal{A}$ e $\mathcal{B}$.
Per trovare l'equazione cartesiana di $\mathcal{A} \cap \mathcal{B}$ basta mettere a sistema queste equazioni.
$\{(x_1+x_2=0),(x_2+x_3=0),(x_4+x_5=0):}$
Questa è l'equazione cartesiana di $\mathcal{A} \cap \mathcal{B}$.
Per trovare una base di questo spazio esprimiamo $x_4$ in funzione di $x_5$ ed esprimiamo $x_1$ e $x_3$ in funzione di $x_2$, allora otteniamo questo sistema:
$\{(x_1=-x_2),(x_3=-x_2),(x_4=-x_5):}$
Questo è un sistema di $3$ equazioni in $5$ incognite, quindi servono due parametri liberi: poniamo $x_2=\alpha$ e $x_5=\beta$, in questo modo otteniamo l'equazione di $\mathcal{A} \cap \mathcal{B}$ in forma parametrica:
$\{(x_1=-\alpha),(x_2=\alpha),(x_3=-\alpha),(x_4=-\beta),(x_5=\beta):}$
Quindi il generico vettore appartenente a $\mathcal{A} \cap \mathcal{B}$ ha questa forma:
$((-\alpha),(\alpha),(-\alpha),(-\beta),(\beta))$
Raccogliendo i parametri $\alpha$ e $\beta$ si può riscrivere il vettore in questa forma:
$\alpha*((-1),(1),(-1),(0),(0)) + \beta*((0),(0),(0),(-1),(1))$
Quindi una base di $\mathcal{A} \cap \mathcal{B}$ è formata dai vettori: $((-1),(1),(-1),(0),(0))$ e $((0),(0),(0),(-1),(1))$
Chiaro adesso?
sia $\mathcal{A}$ il sottospazio lineare di $\mathbb{R}^5$ soluzione dell'equazione $x_4+x_5=0$ e sia $\mathcal{B}$ il sottospazio lineare di $\mathbb{R}^5$ soluzione del sistema: $\{(x_1+x_2=0),(x_2+x_3=0):}$
Queste sono le equazioni cartesiane di $\mathcal{A}$ e $\mathcal{B}$.
Per trovare l'equazione cartesiana di $\mathcal{A} \cap \mathcal{B}$ basta mettere a sistema queste equazioni.
$\{(x_1+x_2=0),(x_2+x_3=0),(x_4+x_5=0):}$
Questa è l'equazione cartesiana di $\mathcal{A} \cap \mathcal{B}$.
Per trovare una base di questo spazio esprimiamo $x_4$ in funzione di $x_5$ ed esprimiamo $x_1$ e $x_3$ in funzione di $x_2$, allora otteniamo questo sistema:
$\{(x_1=-x_2),(x_3=-x_2),(x_4=-x_5):}$
Questo è un sistema di $3$ equazioni in $5$ incognite, quindi servono due parametri liberi: poniamo $x_2=\alpha$ e $x_5=\beta$, in questo modo otteniamo l'equazione di $\mathcal{A} \cap \mathcal{B}$ in forma parametrica:
$\{(x_1=-\alpha),(x_2=\alpha),(x_3=-\alpha),(x_4=-\beta),(x_5=\beta):}$
Quindi il generico vettore appartenente a $\mathcal{A} \cap \mathcal{B}$ ha questa forma:
$((-\alpha),(\alpha),(-\alpha),(-\beta),(\beta))$
Raccogliendo i parametri $\alpha$ e $\beta$ si può riscrivere il vettore in questa forma:
$\alpha*((-1),(1),(-1),(0),(0)) + \beta*((0),(0),(0),(-1),(1))$
Quindi una base di $\mathcal{A} \cap \mathcal{B}$ è formata dai vettori: $((-1),(1),(-1),(0),(0))$ e $((0),(0),(0),(-1),(1))$
Chiaro adesso?
Le equazioni del sistema sono:
$\{(y-z-t=0),(-x+y-z-t=0),(z-y-2x=0),(t-3y+3x=0):}$, esplicitando $y$ dalla prima equazione e sostituendolo nelle altre si ottiene:
$\{(y=z+t),(-x+z+t-z-t=0),(z-z-t-2x=0),(t-3z-3t+3x=0):}$
$\{(y=z+t),(x=0),(-t-2x=0),(t-3z-3t+3x=0):}$
Dalla seconda si ottiene $x=0$, e si sostituisce nelle equazioni:
$\{(y=z+t),(x=0),(-t=0),(-3z-2t=0):}$
Dalla terza si ottiene $t=0$, sostituendo si ottiene:
$\{(y=z),(x=0),(t=0),(-3z=0):}$
Dalla quarta si ottiene $z=0$, e sostituendo si ottiene:
$\{(y=0),(x=0),(t=0),(z=0):}$
Il sistema quindi è risolto per: $x=y=z=t=0$, quindi il generico vettore appartenente allo spazio è questo:
$\alpha*((0),(0),(0),(0))=((0),(0),(0),(0))$
Quindi lo spazio determinato è lo spazio nullo.
Ma quando dici che lo spazio determinato è nullo significa che la base non esiste oppure è rappresentata dal vettore nullo
giusto?cmq adesso ho capito come si ottiene la base di U intersezione W.....solo un'ultima cosa ma quando scrivi attraverso
l'editor:
$\mathcal{A} \cap \mathcal{B}$
per \cap \ si intende l'intersezione tra A e Bb ovviamente...scusami per la domanda stupida ma nn mi funziona l'editor e quindi devo tradurre passaggio per passaggio...Cmq grazie mille per l'aiuto!!
!!!!!
$\{(y-z-t=0),(-x+y-z-t=0),(z-y-2x=0),(t-3y+3x=0):}$, esplicitando $y$ dalla prima equazione e sostituendolo nelle altre si ottiene:
$\{(y=z+t),(-x+z+t-z-t=0),(z-z-t-2x=0),(t-3z-3t+3x=0):}$
$\{(y=z+t),(x=0),(-t-2x=0),(t-3z-3t+3x=0):}$
Dalla seconda si ottiene $x=0$, e si sostituisce nelle equazioni:
$\{(y=z+t),(x=0),(-t=0),(-3z-2t=0):}$
Dalla terza si ottiene $t=0$, sostituendo si ottiene:
$\{(y=z),(x=0),(t=0),(-3z=0):}$
Dalla quarta si ottiene $z=0$, e sostituendo si ottiene:
$\{(y=0),(x=0),(t=0),(z=0):}$
Il sistema quindi è risolto per: $x=y=z=t=0$, quindi il generico vettore appartenente allo spazio è questo:
$\alpha*((0),(0),(0),(0))=((0),(0),(0),(0))$
Quindi lo spazio determinato è lo spazio nullo.
Ma quando dici che lo spazio determinato è nullo significa che la base non esiste oppure è rappresentata dal vettore nullo
giusto?cmq adesso ho capito come si ottiene la base di U intersezione W.....solo un'ultima cosa ma quando scrivi attraverso
l'editor:
$\mathcal{A} \cap \mathcal{B}$
per \cap \ si intende l'intersezione tra A e Bb ovviamente...scusami per la domanda stupida ma nn mi funziona l'editor e quindi devo tradurre passaggio per passaggio...Cmq grazie mille per l'aiuto!!
!!!!!
Sì, con spazio nullo intendo lo spazio contenente solo il vettore nullo, mentre con \cap intendo l'intersezione.
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