Alcune considerazioni - geometria affine
Saluti a tutti. Stavo riflettendo intorno ad alcuni concetti di geometria affine e non mi tornano alcune cose.
Consideriamo lo spazio affine \(\displaystyle \mathbb{A}(\mathbb{R}^{4}) \); siano poi \(\displaystyle P_{1} + \langle v_{1} , v_{2} \rangle \) e \(\displaystyle P_{2} + \langle w_{1} , w_{2} \rangle \) due piani. Cosa posso dire sulla loro posizione reciproca soltanto studiando le relazioni di dipendenza lineare dei vettori dei loro relativi sottospazi direttori? Per averli paralleli si dovrebbe avere \(\displaystyle \langle v_{1} , v_{2} \rangle \subseteq \langle w_{1} , w_{2} \rangle \) (o il viceversa - e in questo caso direi che deve valere l'uguaglianza per una questione di dimensioni), il che implica che una coppia è linearmente dipendente dall'altra. Se invece ho per esempio che \(\displaystyle v_{1}=\alpha v_{2} + \beta w_{1} + \gamma w_{2} \) con \(\displaystyle (\alpha, \beta , \gamma) \in \mathbb{R^{3}} \setminus (0,0,0) \) cosa posso dire di questi quattro vettori? Se nello spazio tridimensionale tre vettori sono complanari se esiste una loro combinazione nulla posso, per analogia, affermare che i quattro vettori di cui sopra stanno in uno stesso iperpiano?
Poi, per esempio, un'altra questione: se i miei due piani sono sghembi significa che i quattro vettori degli spazi direttori sono linearmente indipendenti; questo implica che non esistono ulteriori piani o iperpiani sghembi a tutti e due, giusto?
Gli stessi due piani sghembi ammettono rette parallele ad entrambi? Io direi di no, perché servirebbe un vettore che sta nell'intersezione tra i due sottospazi direttori, che è vuota.
Sono tutte domande figlie di un dubbio unico.
Ringrazio
Consideriamo lo spazio affine \(\displaystyle \mathbb{A}(\mathbb{R}^{4}) \); siano poi \(\displaystyle P_{1} + \langle v_{1} , v_{2} \rangle \) e \(\displaystyle P_{2} + \langle w_{1} , w_{2} \rangle \) due piani. Cosa posso dire sulla loro posizione reciproca soltanto studiando le relazioni di dipendenza lineare dei vettori dei loro relativi sottospazi direttori? Per averli paralleli si dovrebbe avere \(\displaystyle \langle v_{1} , v_{2} \rangle \subseteq \langle w_{1} , w_{2} \rangle \) (o il viceversa - e in questo caso direi che deve valere l'uguaglianza per una questione di dimensioni), il che implica che una coppia è linearmente dipendente dall'altra. Se invece ho per esempio che \(\displaystyle v_{1}=\alpha v_{2} + \beta w_{1} + \gamma w_{2} \) con \(\displaystyle (\alpha, \beta , \gamma) \in \mathbb{R^{3}} \setminus (0,0,0) \) cosa posso dire di questi quattro vettori? Se nello spazio tridimensionale tre vettori sono complanari se esiste una loro combinazione nulla posso, per analogia, affermare che i quattro vettori di cui sopra stanno in uno stesso iperpiano?
Poi, per esempio, un'altra questione: se i miei due piani sono sghembi significa che i quattro vettori degli spazi direttori sono linearmente indipendenti; questo implica che non esistono ulteriori piani o iperpiani sghembi a tutti e due, giusto?
Gli stessi due piani sghembi ammettono rette parallele ad entrambi? Io direi di no, perché servirebbe un vettore che sta nell'intersezione tra i due sottospazi direttori, che è vuota.
Sono tutte domande figlie di un dubbio unico.
Ringrazio
Risposte
Non riesco a mettere a fuoco il tuo dubbio...
Comunque vale questo risultato:
Proposizione: Dati due sottospazi affini $B = Q + W$ e $B' = Q' + W'$, sia $v$ il vettore definito da $v = Q - Q'$. Allora $B nn B' \ne emptyset$ se e solo se $v \in W + W'$.
Se $B, B'$ sono due piani, allora condizione necessaria e sufficiente perché l'intersezione dei due piani sia non vuota è che il vettore $v = P_2 - P_1$ appartenga al sottospazio somma. Se $ + < w_1 , w_2 > = RR^4$ allora $B nn B' \ne emptyset$.
Comunque vale questo risultato:
Proposizione: Dati due sottospazi affini $B = Q + W$ e $B' = Q' + W'$, sia $v$ il vettore definito da $v = Q - Q'$. Allora $B nn B' \ne emptyset$ se e solo se $v \in W + W'$.
Se $B, B'$ sono due piani, allora condizione necessaria e sufficiente perché l'intersezione dei due piani sia non vuota è che il vettore $v = P_2 - P_1$ appartenga al sottospazio somma. Se $
Intanto ti ringrazio per la risposta, Seneca. Quanto dici è ineccepibile, ma solitamente mi affido a equazioni cartesiane per studiare l'intersezione tra sottovarietà lineari. Il fatto è che spesso mi interrogo sulle posizioni reciproche di sottovarietà lineari in uno spazio, e su come sono "organizzati" i vettori degli spazi direttori in base alla loro dipendenza (o meno) lineare.
Per esempio nello spazio quadridimensionale posso aver un massimo di quattro vettori linearmente indipendenti, quindi anche due piani possono essere sghembi, mentre non possono esserlo in \(\displaystyle \mathbb{R^{3}} \), il che implica che due piani possono essere paralleli, coincidenti oppure intersecarsi in una retta, perché in qualche modo non ci sono sufficienti direzioni verso cui andare.
Sono solo delle osservazioni che ho fatto, e mi domandavo se fossero corrette oppure un po' strampalate e/o inutili.
Per esempio nello spazio quadridimensionale posso aver un massimo di quattro vettori linearmente indipendenti, quindi anche due piani possono essere sghembi, mentre non possono esserlo in \(\displaystyle \mathbb{R^{3}} \), il che implica che due piani possono essere paralleli, coincidenti oppure intersecarsi in una retta, perché in qualche modo non ci sono sufficienti direzioni verso cui andare.
Sono solo delle osservazioni che ho fatto, e mi domandavo se fossero corrette oppure un po' strampalate e/o inutili.
"Delirium":
Saluti a tutti. Stavo riflettendo intorno ad alcuni concetti di geometria affine e non mi tornano alcune cose.
Consideriamo lo spazio affine \(\displaystyle \mathbb{A}(\mathbb{R}^{4}) \); siano poi \(\displaystyle P_{1} + \langle v_{1} , v_{2} \rangle \) e \(\displaystyle P_{2} + \langle w_{1} , w_{2} \rangle \) due piani. Cosa posso dire sulla loro posizione reciproca soltanto studiando le relazioni di dipendenza lineare dei vettori dei loro relativi sottospazi direttori? Per averli paralleli si dovrebbe avere \(\displaystyle \langle v_{1} , v_{2} \rangle \subseteq \langle w_{1} , w_{2} \rangle \) (o il viceversa - e in questo caso direi che deve valere l'uguaglianza per una questione di dimensioni), il che implica che una coppia è linearmente dipendente dall'altra.
In questo caso dire che $Span
Ovvero i sottospazi sono gli stessi.
Quindi i due piani sono paralleli e possono essere coincidenti o no.
Se invece ho per esempio che \(\displaystyle v_{1}=\alpha v_{2} + \beta w_{1} + \gamma w_{2} \) con \(\displaystyle (\alpha, \beta , \gamma) \in \mathbb{R^{3}} \setminus (0,0,0) \) cosa posso dire di questi quattro vettori?
E' un po' ambigua detta così.
In questo caso è vero che esiste un iperpiano che contiene sia $
Se nello spazio tridimensionale tre vettori sono complanari se esiste una loro combinazione nulla posso, per analogia, affermare che i quattro vettori di cui sopra stanno in uno stesso iperpiano?
Si.
Poi, per esempio, un'altra questione: se i miei due piani sono sghembi significa che i quattro vettori degli spazi direttori sono linearmente indipendenti;
questo implica che non esistono ulteriori piani o iperpiani sghembi a tutti e due, giusto?
Gli stessi due piani sghembi ammettono rette parallele ad entrambi? Io direi di no, perché servirebbe un vettore che sta nell'intersezione tra i due sottospazi direttori, che è vuota.
Innazitutto bisognerebbe mettersi d'accordo sul termine "sghembo", perchè ha un significato preciso per due rette in $RR^3$. In dimensioni superiori bisogna fare chiarezza.
Diciamo che per "sghembi" si intende che hanno intersezione nulla e che non sono paralleli.
In questo caso se "i quattro vettori degli spazi direttori sono linearmente indipendenti" i due piani non sono sghembi perchè si incontrano in un punto. Non è intuitivo ma è così, si incrociano in un punto.
Per avere due piani sghembi deve essere vero che "i quattro vettori degli spazi direttori sono linearmente DIPENDENTI".
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