Aiuto: spazio vettoriale
salve,
Un insieme dotato due operazioni interne: somma tra vettori e prodotto per uno scalare viene detto spazio vettoriali se le operazioni godono di alcune proprietà (come la prop. Associativa, Commutativa, esistenza dello 0 etc).
La domanda è:
come si fa a dimostrare che un generico insieme è uno spazio vettoriale. Per esempio, consideriamo l'insieme dei numeri naturali: le operazioni di somma è prodotto godono delle stesse proprietà, ma l'insieme dei numeri naturali non può essere considerato uno spazio vettoriale ... Perchè???
GRAZIE.......
Un insieme dotato due operazioni interne: somma tra vettori e prodotto per uno scalare viene detto spazio vettoriali se le operazioni godono di alcune proprietà (come la prop. Associativa, Commutativa, esistenza dello 0 etc).
La domanda è:
come si fa a dimostrare che un generico insieme è uno spazio vettoriale. Per esempio, consideriamo l'insieme dei numeri naturali: le operazioni di somma è prodotto godono delle stesse proprietà, ma l'insieme dei numeri naturali non può essere considerato uno spazio vettoriale ... Perchè???
GRAZIE.......
Risposte
Salve,
non riesco a risolvere questo esercizio:
Sia V spazio vettoriale e siano $v_1,v_2,...,v_n$ vettori $in$ V linearmente indipendenti. Dimostrare che $ a_1 v_1, a_2 v_2 ,...,a_n v_n$ sono ancora linearmente indipendenti con $a_i in K - {0}$ per i = 1,2,...,n.
Come mi consigliate di procedere?
non riesco a risolvere questo esercizio:
Sia V spazio vettoriale e siano $v_1,v_2,...,v_n$ vettori $in$ V linearmente indipendenti. Dimostrare che $ a_1 v_1, a_2 v_2 ,...,a_n v_n$ sono ancora linearmente indipendenti con $a_i in K - {0}$ per i = 1,2,...,n.
Come mi consigliate di procedere?
per assurdo esistano $\lambda_1,...\lambda_n$ non tutti nulli....
p.s. vedo con piacere che hai imparato
ad usare i simboli
p.s. vedo con piacere che hai imparato
ad usare i simboli
scriviamo una combinazione lineare dei vari $a_1v_1, a_2v_2, ..., a_nv_n$ con dei coefficienti $b_i$ tali che $a_i*b_i=c_i$ e poniamola uguale al vettore nullo... risulta: $c_1v_1+c_2v_2+...+c_nv_n=0$ [...]
EDIT: vedendo il post di uber mi pento di aver scritto tutti i passaggi perché così facendo non ti ho aiutato affatto
EDIT: vedendo il post di uber mi pento di aver scritto tutti i passaggi perché così facendo non ti ho aiutato affatto
oooo kroldar....
daiiii...
scusami, ma in questi casi sarebbe meglio non dare le soluzioni,
ma solo una via da seguire
EDIT: leggo solo ora il tuo edit... vedo che hai capito... Ciao
daiiii...
scusami, ma in questi casi sarebbe meglio non dare le soluzioni,
ma solo una via da seguire
EDIT: leggo solo ora il tuo edit... vedo che hai capito... Ciao
"ubermensch":
scusami, ma in questi casi sarebbe meglio non dare le soluzioni,
ma solo una via da seguire
spero che kal non abbia letto subito il mio messaggio prima della censura
Premetto che non ho letto in tempo la soluzione, se no non avrebbe senso questo mio messaggio.
Allora, credo che si dimostri così:
Per prima cosa applichiamo la generica comb. lin. dei vettori, con il coefficiente $b_i$ e poniamola uguale a zero, in questo modo
$b_1(a_1 v_1) +...+ b_n(a_nv_n) = 0$
poi poniamo $b_i * a_i = c_i$
quindi
$c_1v_1 +...+ c_nv_n = 0$
supponiamo che sia $c_1 != 0$ quindi portando tutto a secondo membro e moltiplicando per l'inverso di $c_1$ otteniamo
$v_1 = -(c_1^-1 c_2v_2 +...+ c_1^-1 c_nv_n)
questo vuol dire che il vettore $ v_1$ si esprime come combinazione lineare degli altri, ma questo è assurdo, perchè $v_1$
(assieme agli altri vettori) era un vettore lin ind.
E' GIUSTA???
Allora, credo che si dimostri così:
Per prima cosa applichiamo la generica comb. lin. dei vettori, con il coefficiente $b_i$ e poniamola uguale a zero, in questo modo
$b_1(a_1 v_1) +...+ b_n(a_nv_n) = 0$
poi poniamo $b_i * a_i = c_i$
quindi
$c_1v_1 +...+ c_nv_n = 0$
supponiamo che sia $c_1 != 0$ quindi portando tutto a secondo membro e moltiplicando per l'inverso di $c_1$ otteniamo
$v_1 = -(c_1^-1 c_2v_2 +...+ c_1^-1 c_nv_n)
questo vuol dire che il vettore $ v_1$ si esprime come combinazione lineare degli altri, ma questo è assurdo, perchè $v_1$
(assieme agli altri vettori) era un vettore lin ind.
E' GIUSTA???
esattamente! ho cancellato giusto in tempo... meno male
bravo kal
bravo kal
Grazie a tutti!!!!! 
purtroppo disturberò ancora....
Facciamo finta di non conoscere il significato di dimensione, come faccio a calcolare per esempio, la base di questo sottospazio
S = ${(x,y,z) in RR^3 : x=2y }$
o di quest'altro:
$U=<(1,1,0,-1), (1,2,-1,-3), (1,0,1,1), (3,2,1,-1)>$
Facciamo finta di non conoscere il significato di dimensione, come faccio a calcolare per esempio, la base di questo sottospazio
S = ${(x,y,z) in RR^3 : x=2y }$
o di quest'altro:
$U=<(1,1,0,-1), (1,2,-1,-3), (1,0,1,1), (3,2,1,-1)>$
Per il primo esercizio hai 3 variabili $x,y,z$ legate da una relazione : $ x = 2y $ .
Il generico vettore $s in S $ sarà del tipo $( 2y,y,z ) $ . Hai quindi 2 variabili libere , quindi il sottospazio ha dimensione 2 .
Per trovare una base ( non la base perchè le basi sono comunque infinite) di S ad es. poni :
$y = 1 , z=0 $ e ottieni il vettore :$ ( 2,1,0)$
$y=0, z=1 $ e ottieni il vettore : $ (0,0,1)$.
Una base è quindi $ ( 2,1,0),(0,0,1) $.
Per il secondo esercizio affianca i vettori generatori in una matrice ....
Il generico vettore $s in S $ sarà del tipo $( 2y,y,z ) $ . Hai quindi 2 variabili libere , quindi il sottospazio ha dimensione 2 .
Per trovare una base ( non la base perchè le basi sono comunque infinite) di S ad es. poni :
$y = 1 , z=0 $ e ottieni il vettore :$ ( 2,1,0)$
$y=0, z=1 $ e ottieni il vettore : $ (0,0,1)$.
Una base è quindi $ ( 2,1,0),(0,0,1) $.
Per il secondo esercizio affianca i vettori generatori in una matrice ....
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