Aiuto: spazio vettoriale
salve,
Un insieme dotato due operazioni interne: somma tra vettori e prodotto per uno scalare viene detto spazio vettoriali se le operazioni godono di alcune proprietà (come la prop. Associativa, Commutativa, esistenza dello 0 etc).
La domanda è:
come si fa a dimostrare che un generico insieme è uno spazio vettoriale. Per esempio, consideriamo l'insieme dei numeri naturali: le operazioni di somma è prodotto godono delle stesse proprietà, ma l'insieme dei numeri naturali non può essere considerato uno spazio vettoriale ... Perchè???
GRAZIE.......
Un insieme dotato due operazioni interne: somma tra vettori e prodotto per uno scalare viene detto spazio vettoriali se le operazioni godono di alcune proprietà (come la prop. Associativa, Commutativa, esistenza dello 0 etc).
La domanda è:
come si fa a dimostrare che un generico insieme è uno spazio vettoriale. Per esempio, consideriamo l'insieme dei numeri naturali: le operazioni di somma è prodotto godono delle stesse proprietà, ma l'insieme dei numeri naturali non può essere considerato uno spazio vettoriale ... Perchè???
GRAZIE.......
Risposte
Perchè uno spazio vettoriale si definisce su un campo. e N non è un campo, perchè, ad esempio non ammette l'esistenza degli opposti e degli inversi!
Prova a guardare qui http://it.wikipedia.org/wiki/Campo_(matematica)
Paola
Prova a guardare qui http://it.wikipedia.org/wiki/Campo_(matematica)
Paola
Ciao,
una precisazione:
Allora se uno spazio vettoriale V si definisce su un campo K vuol dire che V è un sottoinsieme di K???
GRAZIE....
una precisazione:
Allora se uno spazio vettoriale V si definisce su un campo K vuol dire che V è un sottoinsieme di K???
GRAZIE....
Assolutamente no!
Prendi nello spazio un sistema di riferimento
monometrico ortogonale, con origine O.
L'insieme di tutti i vettori dello spazio aventi
primo estremo in O (cioè applicati in O)
è uno spazio vettoriale su $RR$, perché:
1) la somma (fatta con la regola del parallelogramma)
di due vettori applicati in O è sempre un vettore
applicato in O; 2) è definito il prodotto di un
vettore per uno scalare $lambda in RR$: se $v$ è
un vettore applicato in O, anche il vettore
$lambdav$ è applicato in O. Poi dal punto
di vista geometrico, $lambdav$ è un vettore
che è lungo $lambda$ volte $v$, concorde
a $v$ se $lambda>0$ (e discorde altrimenti)
e ha la stessa direzione di $v$.
Prendi nello spazio un sistema di riferimento
monometrico ortogonale, con origine O.
L'insieme di tutti i vettori dello spazio aventi
primo estremo in O (cioè applicati in O)
è uno spazio vettoriale su $RR$, perché:
1) la somma (fatta con la regola del parallelogramma)
di due vettori applicati in O è sempre un vettore
applicato in O; 2) è definito il prodotto di un
vettore per uno scalare $lambda in RR$: se $v$ è
un vettore applicato in O, anche il vettore
$lambdav$ è applicato in O. Poi dal punto
di vista geometrico, $lambdav$ è un vettore
che è lungo $lambda$ volte $v$, concorde
a $v$ se $lambda>0$ (e discorde altrimenti)
e ha la stessa direzione di $v$.
Allora, cerchiamo di essere precisi.
Uno spazio vettoriale è un insieme. Nello specifico V si dice spazio vettoriale su un campo K se
- in V è definita un'operazione (che chiameremo addizione e indicheremo con +) tale che (V, +) è un gruppo abeliano.
- in V è definita un'operazione da VxV a K detta prodotto per scalare (indichiamola con *) che gode delle proprietà
distributiva (1): per ogni v,w in V , per ogni k in K k*(v+w)=k*v + k*w
distributiva (2): per ogni k, h in K, per ogni v in V (k+h)*v= k*v+h*v
elemento neutro: per ogni v in V, 1*v=v
associativa : per ogni k,h in K, per ogni v in V (kh)*v = k(h*v)
PRECISAZIONI:
. V e K nella definizione sono DISTINTI, ma questo non gli impedisce di coincidere. Esempio: R può essere considerato spazio vettoriale su e stesso, cioè R. Ti mostro perchè:
Se consideriamo l'addizione "tradizionale" e la indichiamo con +, (R, +) è un gruppo abeliano. Infatti
- c'è un elemento neutro, cioè 0.
- vale la proprietà associativa cioè per ogni a,b,c in R (a+b)+c=a+(b+c)
- ogni elemento ammette un simmetrico cioè per ogni a in R esiste b tale che a+b=0=b+a (nella fattispecie b sarebbe -a)
- inoltre è ABELIANO perchè vale anche la proprietà commutativa
Il prodotto per scalare in questo caso è la moltiplicazione "canonica" e infine R è un campo: ti dimostro quest'ultima affermazione:
(R, +) è un gruppo abeliano (vedi sopra)
(R_0, *) è un gruppo abeliano (R_0 è R senza lo 0. Per verificare che è, dotato della moltiplicazione, un gruppo abeliano applica la definizione come ho fatto sopra, ma usando la moltiplicazione.)
A questo punto ti dovrebbe essere ciaro perchè N non è uno spazio vettoriale e nemmeno un campo!
il significato geometrico dei vettori è secondario. In primo luogo devi conoscere la definizione dal punto di vista algebrico
.
Paola
Uno spazio vettoriale è un insieme. Nello specifico V si dice spazio vettoriale su un campo K se
- in V è definita un'operazione (che chiameremo addizione e indicheremo con +) tale che (V, +) è un gruppo abeliano.
- in V è definita un'operazione da VxV a K detta prodotto per scalare (indichiamola con *) che gode delle proprietà
distributiva (1): per ogni v,w in V , per ogni k in K k*(v+w)=k*v + k*w
distributiva (2): per ogni k, h in K, per ogni v in V (k+h)*v= k*v+h*v
elemento neutro: per ogni v in V, 1*v=v
associativa : per ogni k,h in K, per ogni v in V (kh)*v = k(h*v)
PRECISAZIONI:
. V e K nella definizione sono DISTINTI, ma questo non gli impedisce di coincidere. Esempio: R può essere considerato spazio vettoriale su e stesso, cioè R. Ti mostro perchè:
Se consideriamo l'addizione "tradizionale" e la indichiamo con +, (R, +) è un gruppo abeliano. Infatti
- c'è un elemento neutro, cioè 0.
- vale la proprietà associativa cioè per ogni a,b,c in R (a+b)+c=a+(b+c)
- ogni elemento ammette un simmetrico cioè per ogni a in R esiste b tale che a+b=0=b+a (nella fattispecie b sarebbe -a)
- inoltre è ABELIANO perchè vale anche la proprietà commutativa
Il prodotto per scalare in questo caso è la moltiplicazione "canonica" e infine R è un campo: ti dimostro quest'ultima affermazione:
(R, +) è un gruppo abeliano (vedi sopra)
(R_0, *) è un gruppo abeliano (R_0 è R senza lo 0. Per verificare che è, dotato della moltiplicazione, un gruppo abeliano applica la definizione come ho fatto sopra, ma usando la moltiplicazione.)
A questo punto ti dovrebbe essere ciaro perchè N non è uno spazio vettoriale e nemmeno un campo!
il significato geometrico dei vettori è secondario. In primo luogo devi conoscere la definizione dal punto di vista algebrico
.Paola
Il mio esempio era solo per far
capire che non necessariamente
uno spazio vettoriale su un campo
è sottoinsieme di quel campo.
Il significato geometrico era
solo una cosa in più, così... Lungi
da me pensare che fosse una cosa primaria,
che so bene non essere.
capire che non necessariamente
uno spazio vettoriale su un campo
è sottoinsieme di quel campo.
Il significato geometrico era
solo una cosa in più, così... Lungi
da me pensare che fosse una cosa primaria,
che so bene non essere.
Immaginavo, volevo solo dare una definizione più precisa e ampia, di modo che fosse tutto più chiaro 
Ccccciao!
Paola
Ccccciao!
Paola
Ringrazio tutti per le risposte
ho un altra domanda:
nello spazio 3-dimensionale ogni piano e ogni retta passanti per l'origine sono sottospazi vettoriali, questo vale solo per lo spazio 3-dimensionale oppure per quanto riguarda la retta vale anche nello spazio 2-dimensionale? (cioè nel piano cartesiano)
GRAZIe....
ho un altra domanda:
nello spazio 3-dimensionale ogni piano e ogni retta passanti per l'origine sono sottospazi vettoriali, questo vale solo per lo spazio 3-dimensionale oppure per quanto riguarda la retta vale anche nello spazio 2-dimensionale? (cioè nel piano cartesiano)
GRAZIe....
la seconda che hai detto!
una retta contenente l'origine e' sempre uno spazio vettoriale
una retta contenente l'origine e' sempre uno spazio vettoriale
Ciao,
Non ho bene afferrato il concetto di base in particolare la sua utilità nella pratica.
Ogni vettore può essere rappresentato in modo unico mediante una combinazione lineare dei vettori di una base con degli scalari, qual'è l'utilità di tutto ciò, un vettore, per esempio nello spazio 2-dimensionale invece di essere rappresentato come combinazione lineare dei vettori di una base, non può essere rappresentato mediante le coordinate (x,y) del piano cartesiano???
Grazie!!!
Non ho bene afferrato il concetto di base in particolare la sua utilità nella pratica.
Ogni vettore può essere rappresentato in modo unico mediante una combinazione lineare dei vettori di una base con degli scalari, qual'è l'utilità di tutto ciò, un vettore, per esempio nello spazio 2-dimensionale invece di essere rappresentato come combinazione lineare dei vettori di una base, non può essere rappresentato mediante le coordinate (x,y) del piano cartesiano???
Grazie!!!
la sua utilità pratica è che hai $n$ vettori tramite i quali puoi rappresentare tutto quanto.. non ti basta?? preferisci avere una infinità di vettori che fanno come gli pare? L'utilità pratica la vedi meglio se invece di pensare al piano cartesiano pensi a spazi $n$ dimensionali o a infinite dimensioni, come i polinomi...
NOTA(per chi vuole approfondire)
la definizione di spazio vettoriale si può generalizzare su un anello invece che su un campo. In tal caso si parla di moduli su un anello... si tratta di una teoria piuttosto interessante e, nel caso dei cosiddetti moduli liberi, si ritrovano anche molti risultati relativi agli spazi vettoriali
NOTA(per chi vuole approfondire)
la definizione di spazio vettoriale si può generalizzare su un anello invece che su un campo. In tal caso si parla di moduli su un anello... si tratta di una teoria piuttosto interessante e, nel caso dei cosiddetti moduli liberi, si ritrovano anche molti risultati relativi agli spazi vettoriali
Rappresentare un vettore in un piano mediante le coordinate cartesiane x e y significa rappresentare quel vettore rispetto ad una base ortonormale costituita dai vettori $i=(1,0); j=(0,1)$ .
Ho capito, grazie, ma c'è qualche preferenza nel voler utilizzare una base piuttosto che un altra?
Cambiare una base nello spazio vettoriale significa fare un cambiamento di coordinate, di importanza notevole per la Geometria affine.
tanto per fare un esempio (che immagino fosse quello che aveva in testa BV):
dovresti sapere che in geometria analitica le coniche possono a priori trovarsi dove gli pare, tutte storte.... perchè si studiano solo quelle carine? semplicemente perchè si può dimostrare che a meno di cambi di base le coniche sono tutte carine...
...
mmm...
spero che hai capito...
altrimenti ti dico il teorema in maniera formale, cosi ci capisci ancora meno
dovresti sapere che in geometria analitica le coniche possono a priori trovarsi dove gli pare, tutte storte.... perchè si studiano solo quelle carine? semplicemente perchè si può dimostrare che a meno di cambi di base le coniche sono tutte carine...
...
mmm...
spero che hai capito...
altrimenti ti dico il teorema in maniera formale, cosi ci capisci ancora meno
Vero, infatti le coniche, proiettivamente parlando, sono tutte delle ellissi, non c'e' classificazione delle coniche...
Questa è una delle straordinarie conseguenze della Geometria proiettiva.
Questa è una delle straordinarie conseguenze della Geometria proiettiva.
Grazie ancora, ho però un altro problema da chiarire:
Consideriamo il sottospazio U+W (detto spazio somma dei sottospazi), la dimensione di U+W sarà
dim(U+W)=dim(U) + dim(W) - dim(U intersezione W)
consideriamo l'insieme L formato
dai vettori della base di: U, W e U intersezione W, è chiaro che i vettori di L generano tutto lo spazio U + W,
La domanda è
il sottospazio L, costituisce una base di U+W ???
Consideriamo il sottospazio U+W (detto spazio somma dei sottospazi), la dimensione di U+W sarà
dim(U+W)=dim(U) + dim(W) - dim(U intersezione W)
consideriamo l'insieme L formato
dai vettori della base di: U, W e U intersezione W, è chiaro che i vettori di L generano tutto lo spazio U + W,
La domanda è
il sottospazio L, costituisce una base di U+W ???
Grazie ancora, ho però un altro problema da chiarire:
Consideriamo il sottospazio U+W (detto spazio somma dei sottospazi), la dimensione di U+W sarà
dim(U+W)=dim(U) + dim(W) - dim(U intersezione W)
consideriamo l'insieme L formato
dai vettori della base di: U, W e U intersezione W, è chiaro che i vettori di L generano tutto lo spazio U + W,
La domanda è
il sottospazio L, costituisce una base di U+W ???
Consideriamo il sottospazio U+W (detto spazio somma dei sottospazi), la dimensione di U+W sarà
dim(U+W)=dim(U) + dim(W) - dim(U intersezione W)
consideriamo l'insieme L formato
dai vettori della base di: U, W e U intersezione W, è chiaro che i vettori di L generano tutto lo spazio U + W,
La domanda è
il sottospazio L, costituisce una base di U+W ???
no.. perchè ci sono un sacco di vettori linearmente dipendenti in $L$
ah... quindi bisogna togliere i vettori della base di: U intersezione W, perchè tali vettori possono essere rappresentati sia da U che da W, è per questo che vale la relazione:
dim(U+W) = dim(U) + dim(W) - dim(U intersezione W) (Relazione di Grassman)
dim(U+W) = dim(U) + dim(W) - dim(U intersezione W) (Relazione di Grassman)
quello che dici è giusto,
ma la tua domanda iniziale è
ma nel sottospazio $L$ ci sono molti vettori l.d.
forse ti sei sbagliato a scrivere e intendevi il "sottoinsieme $L$"??
in tal caso ti basterà togliere, come dici, i vettori dell'intersezione, per ottenere
una base di $U\oplusW$.
p.s. perchè non usi i simboli?? sono una stupidaggine da usare,
il programma che ti permette di utilizzarli lo trovi nella pagina
d'entrata al forum, nel paragrafo "come visualizzare le formule"
e per scaricarlo clicca sul secondo "qui"..
ma la tua domanda iniziale è
"kal":
La domanda è
il sottospazio L, costituisce una base di U+W ???
ma nel sottospazio $L$ ci sono molti vettori l.d.
forse ti sei sbagliato a scrivere e intendevi il "sottoinsieme $L$"??
in tal caso ti basterà togliere, come dici, i vettori dell'intersezione, per ottenere
una base di $U\oplusW$.
p.s. perchè non usi i simboli?? sono una stupidaggine da usare,
il programma che ti permette di utilizzarli lo trovi nella pagina
d'entrata al forum, nel paragrafo "come visualizzare le formule"
e per scaricarlo clicca sul secondo "qui"..
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