Aiuto polinomio caratteristico!!!
Ciao ragazzi mi serve un aiuto!
Data la matrice
1 0 0
1 -(h+2) 0
1 1 h
devo calcolare il polinomio caratteristico, che a me risulta T^3 - 3T^2 + 2T - h^2 + 2h - h^2T
come faccio a ricavare gli autovalori? la mia professoressa usa un metodo di scomposizione ma non ce lo hai mai spiegato.
Vi prego aiutatemi
Data la matrice
1 0 0
1 -(h+2) 0
1 1 h
devo calcolare il polinomio caratteristico, che a me risulta T^3 - 3T^2 + 2T - h^2 + 2h - h^2T
come faccio a ricavare gli autovalori? la mia professoressa usa un metodo di scomposizione ma non ce lo hai mai spiegato.
Vi prego aiutatemi
Risposte
La tua è una matrice triangolare inferiore, quindi il polinomio caratteristico è dato da $f(x)=(1-x)(-(h+2)-x)(h-x)$. Da qui dovrebbe essere relativamente facile il calcolo degli autovalori e quindi degli autovettori.
EDIT: ti spiego meglio come sono arrivato a determinare $f(x)$. Il polinomio caratteristico è dato dal determinante della matrice
$((1-x,0,0),(1,-(h+2)-x,0),(1,1,h-x))$
che chiaramente corrisponde all'espressione che ti ho scritto sopra (calcola il determinante lavorando lungo la prima riga della matrice).
EDIT: ti spiego meglio come sono arrivato a determinare $f(x)$. Il polinomio caratteristico è dato dal determinante della matrice
$((1-x,0,0),(1,-(h+2)-x,0),(1,1,h-x))$
che chiaramente corrisponde all'espressione che ti ho scritto sopra (calcola il determinante lavorando lungo la prima riga della matrice).
ciao,
allora la formula del polinomio caratteristico è:
det(A-tIn) con A= matrice, t=variabile, In=matrice identica
quindi devi calcolare il determinante della matrice risultante dalla matrice che hai meno la matrice identica.
il risultato di tale determinante sarà un'equazione di primo secondo terzo, etc... grado nell'incognita t che dovrai risolvere con la scomposizione in fattori o con ruffini
le soluzioni dell'equazione sono gli autovalori,
spero di esserti stato di aiuto,
saluti
marco
allora la formula del polinomio caratteristico è:
det(A-tIn) con A= matrice, t=variabile, In=matrice identica
quindi devi calcolare il determinante della matrice risultante dalla matrice che hai meno la matrice identica.
il risultato di tale determinante sarà un'equazione di primo secondo terzo, etc... grado nell'incognita t che dovrai risolvere con la scomposizione in fattori o con ruffini
le soluzioni dell'equazione sono gli autovalori,
spero di esserti stato di aiuto,
saluti
marco
ciao cerca di usare ASCIIMathML (http://www.matematicamente.it/forum/come-si-scrivono-le-formule-t26179.html) per scrivere le formule almeno è più chiaro tutto!
Intanto cominci a vedere per quali valori di $\h$ il rango della tua matrice è massimo, nel tuo caso 3
$\((1, 0, 0), (1, -(h+2), 0), (1, 1, h))$
ti calcoli il determinante e a me viene per $\h = 0$ e per $\h = -2$ il rango è diverso da $\3$
ti scegli un valore di $\h$ diverso da $\0$ e $\-2$, ad esempio $\1$ e la tua matrice sarà $\((1, 0, 0), (1, -3, 0), (1, 1, 1))$
ora per trovarti gli autovalori devi calcolarti il determinante della matrice $\(A - lambdaI)$ dove $\I$ è la matrice identità e $\A\ è la tua matrice
quindi $\((1 - lambda, 0, 0), (1, -3 -lambda, 0), (1, 1, 1 - lambda))$
come dice matths87 hai una matrice triangolare quindi il calcolo del determinante è praticamente facilissimo e il polinomio caratteristico è proprio il determinante!
quindi $\p(lambda) = (1 - lambda)^2 (lambda + 3)$
spero di esserti stato di aiuto... ciao
Intanto cominci a vedere per quali valori di $\h$ il rango della tua matrice è massimo, nel tuo caso 3
$\((1, 0, 0), (1, -(h+2), 0), (1, 1, h))$
ti calcoli il determinante e a me viene per $\h = 0$ e per $\h = -2$ il rango è diverso da $\3$
ti scegli un valore di $\h$ diverso da $\0$ e $\-2$, ad esempio $\1$ e la tua matrice sarà $\((1, 0, 0), (1, -3, 0), (1, 1, 1))$
ora per trovarti gli autovalori devi calcolarti il determinante della matrice $\(A - lambdaI)$ dove $\I$ è la matrice identità e $\A\ è la tua matrice
quindi $\((1 - lambda, 0, 0), (1, -3 -lambda, 0), (1, 1, 1 - lambda))$
come dice matths87 hai una matrice triangolare quindi il calcolo del determinante è praticamente facilissimo e il polinomio caratteristico è proprio il determinante!
quindi $\p(lambda) = (1 - lambda)^2 (lambda + 3)$
spero di esserti stato di aiuto... ciao
"FireWoman":
come faccio a ricavare gli autovalori?
Quando la matrice è triangolare (è il tuo caso) gli autovalori sono esattamente gli elementi sulla diagonale.
Comunque per calcolare gli autovalori la matrice non per forza deve avere determinante diverso da 0! Purtroppo ho visto il parametro $\h$ e mi sono fatto ingannare! Comunque per il calcolo del polinomio caratteristico devi sempre calcolare il determinante della matrice $\A - lambdaI$
"Martino":
[quote="FireWoman"]come faccio a ricavare gli autovalori?
Quando la matrice è triangolare (è il tuo caso) gli autovalori sono esattamente gli elementi sulla diagonale.[/quote]
wow!!! questa non la sapevo.. hehe grazie per l'info...
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