Aiuto per una dimostrazione

[machè1]

qualcuno può per favore dimostrarmi perchè un punto p è di accumulazione per un insieme A se e solo se esiste una successione a valori in A che converge a p???????grazie mille

[Principe2]

Se $p$ è di accumulazione, prendi una famiglia numerabile di intorni di $p$ uno dentro l'altro
e prendi un punto per ciascuno di questo intorno (c'è da formalizzare qualcosa probabilmente)
Se esiste una successione convergente a $p$ allora ogni intorno di $p$ deve contenere punti
di qquesta successione, per cui è di accumulazione.

[machè1]

la seconda parte della dimostrazione l'ho capita...grazie....ciò che nn mi è chiaro è la dimostrazione del fatto che se p è di accumulazione per A allora esiste una successione di punti di A che converge a p....il mio professore l'ha impostata in questo modo:per ogni epsilon maggiore di zero l'intersezione tra A e l'intorno di p di raggio epsilon è nn vuota.inoltre per ogni epsilon maggiore di zero esiste un numero naturale m tale che per ogni n appartenante a N con n maggiore di m la successione 1/n è minore di epsilon.se prendo m maggiore di 1/epsilon allora 1/m è minore di epsilon.per n maggiore di m,si ha 1/n minore di 1/m minore di epsilon.dopo di ciò ne deduce che esiste una successione a valori in A intersecato l'intorno di p di raggio 1/n.quindi per n che tende a più infinito la successione tende a p......quello che nn capisco è come fa a dedurre l'esistenza della successione,e perchè questa è nell'intorno di p di raggio 1/n....scusa la scrittura poco formale ma nn sono pratico...grazie

[Principe2]

ah.. quindi stiamo in uno spazio metrico! perchè non ce l'hai detto?
beh... prendi gli intorni di raggio $1/n$ e un punto per ciascuno di essi... non vedo
cosa ci sia di complicato

[machè1]

adesso mi è chiaro,credo!!!!!se avrò altri dubbi mentre formalizzo,nn esiterò a esporveli...grazie mille!!!

[Chevtchenko]

"ubermensch":Se $p$ è di accumulazione, prendi una famiglia numerabile di intorni di $p$ uno dentro l'altro
e prendi un punto per ciascuno di questo intorno

Si noti che qui interviene in maniera essenziale l'assioma della scelta (almeno la versione numerabile).

[Principe2]

certo... ma si sa che senza AC non si fa nulla!

[Chevtchenko]

"ubermensch":certo... ma si sa che senza AC non si fa nulla!

Avete ragione, purtroppo. Quello che io volevo sottolineare e' che le due definizioni di punto di accumulazione non sono equivalenti se l'assioma della scelta non vale.