Aiuto per studio applicazione lineare
Salve a tutti vi chiedo gentilmente di aiutarmi con questo esercizio in quanto ho qualche dubbio in qualche suo passaggio.
Allora, sia f: $R^3->R^3$ un'applicazione loneare associata alla matrice $((2,1,-1),(1,2,1),(-1,1,h))$
1)trovare il valore di h per cui la f non è suriettiva. Ora una f è suriettiva se il rango della matrice associata è uguale alla dimensione dell'insieme di "arrivo" della f. Quindi per evitare che la matrice abbia rango 3, do ad h il valore 2.
2)Determinare una base di kerf. Ho ridotto per righe la matrice associata fino ad ottenere $((2,1,-1),(0,3/2,3/2),(0,0,0))$. Infatti il sistema omogeneo da soluzioni nulle. Allora come trovare una base di kerf adesso?
3)Determinare dim Imf e una sua base. Riparto dalla matrice associata e la riduco per colonne, ottenendo $((2,3,0),(1,3,0),(-1,0,0))$.
Quindi rango=2 dim Imf=2 e come base uso quella suggerita dalla matrice, ovvero (2,1,-1) (3,3,0).
Quanti ultra errori ho commesso? grazie in anticipo
Allora, sia f: $R^3->R^3$ un'applicazione loneare associata alla matrice $((2,1,-1),(1,2,1),(-1,1,h))$
1)trovare il valore di h per cui la f non è suriettiva. Ora una f è suriettiva se il rango della matrice associata è uguale alla dimensione dell'insieme di "arrivo" della f. Quindi per evitare che la matrice abbia rango 3, do ad h il valore 2.
2)Determinare una base di kerf. Ho ridotto per righe la matrice associata fino ad ottenere $((2,1,-1),(0,3/2,3/2),(0,0,0))$. Infatti il sistema omogeneo da soluzioni nulle. Allora come trovare una base di kerf adesso?
3)Determinare dim Imf e una sua base. Riparto dalla matrice associata e la riduco per colonne, ottenendo $((2,3,0),(1,3,0),(-1,0,0))$.
Quindi rango=2 dim Imf=2 e come base uso quella suggerita dalla matrice, ovvero (2,1,-1) (3,3,0).
Quanti ultra errori ho commesso? grazie in anticipo
Risposte
1) Ok.
2) Devi aver sbagliato qualcosa: ponendo $h=2$ hai che il rango della matrice è $2$ quindi non può venirti quella forma a gradini (ha rango $3$!). Inoltre per ottenere il Ker hai imposto un sistema omogeneo e nel caso in cui esso sia determinato l'unica soluzione possibile è quella nulla.
3) Non è necessario ridurre per colonne: le colonne della matrice sono generatori di $Imf$: sappiamo che la matrice ha rango 2 e si vede facilmente che le prime 2 colonne sono indipendenti, quindi si possono prendere loro come base.
Paola
2) Devi aver sbagliato qualcosa: ponendo $h=2$ hai che il rango della matrice è $2$ quindi non può venirti quella forma a gradini (ha rango $3$!). Inoltre per ottenere il Ker hai imposto un sistema omogeneo e nel caso in cui esso sia determinato l'unica soluzione possibile è quella nulla.
3) Non è necessario ridurre per colonne: le colonne della matrice sono generatori di $Imf$: sappiamo che la matrice ha rango 2 e si vede facilmente che le prime 2 colonne sono indipendenti, quindi si possono prendere loro come base.
Paola
Grazie mille per la risposta. Quindi impostare h a 2 è corretto, devo aver sbagliato qualcosa nella riduzione per righe esatto?
edit: errore nella riduzione scovato!
edit: errore nella riduzione scovato!
Così pare.
Paola
Paola
Per il punto 2: ora scrivi le eq. del Ker (chiamando $B$ la matrice che hai ottenuto con la riduzione a scalini, basta che espliti il sistema $B\cdot x= 0$ dove $x$ è il vettore delle incognite).
Dopo di che mettile in forma parametrica: dato che $Imf$ ha dimensione 2, il $Kerf$ dovrà avere dimensione $1$, il che significa che devi porre una delle incognite a tua scelta uguale a $t$ (parametro libero) e ricavare le altre 2 in funzione di $t$. Fatto ciò, il vettore generatore di $Kerf$ avrà come coordinate i coefficienti (ordinati!) del parametro.
Paola
Dopo di che mettile in forma parametrica: dato che $Imf$ ha dimensione 2, il $Kerf$ dovrà avere dimensione $1$, il che significa che devi porre una delle incognite a tua scelta uguale a $t$ (parametro libero) e ricavare le altre 2 in funzione di $t$. Fatto ciò, il vettore generatore di $Kerf$ avrà come coordinate i coefficienti (ordinati!) del parametro.
Paola
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo