Aiuto matrice orto_

[mew-votailprof]

Ragazzi,ho bisogno di capire come inquadrare il mio studio per dimostrare che questa qua sotto è una matrice ortogonale e quindi una isometria!potete aiutarmi?

[_prime_number]

Sei ad un esame?

Paola

[mew-votailprof]

certo che no!non mi permetterei mai.mi devo preparare all'orale e la mia professoressa fu molto gentile a lasciarci i compiti che ci sono capitati!le formule non me le fa scrivere giuste così ho fotografato!

[_prime_number]

Tra parentesi, scrivere le formule è molto semplice, c'è un topic apposito che elenca i simboli principali e sostanzialmente devi solo racchiudere il testo matematico tra due simboli di dollaro.
La domanda che poni è molto basilare... ti ricordi la definizione di matrice ortogonale? Cosa deve accadere al determinante?

Paola

[mew-votailprof]

Si ha ragione..ho visto il topic..scrivo la formula con i dollari e tutto e poi puff diventa un altra cosa..ma sbaglierò io,meno male che esiste la fotografia!in teoria dovrebbe essere che A(trasposta)xA=I io capisco che è una isometria diretta perchè il detA=1_però penso che devo aggiungere qualcosa a tutto ciò per rendere l'esposizione più completa!e magari saperlo dimostrare!so che è basilare ma pecco in questo so fare le cose difficili e non quelle facili

[_prime_number]

Il determinante non basta infatti, però ti dà un'indicazione che sei sulla buona strada diciamo. La cosa fondamentale è notare che c'è un angolo $\alpha$ molto noto tale per cui $cos\alpha = 1/2, sin\alpha = \sqrt{3}/2$
http://it.wikipedia.org/wiki/Rotazione_(matematica)
Sono angoli da sapere a memoria!!

Paola

[mew-votailprof]

Sapevo anche che è una rotazione con angolo pigreco/6_il fatto è che vorrei poter dimostrare che è una matrice ortogonale,non so teoria spettrale e compagnia bella o autovalori c'entrano qualcosa?

[_prime_number]

Se è una rotazione in teoria è automatico che sia ortogonale, per definizione ... ma se proprio vuoi passare per quella via, basta che ti calcoli la trasposta, la moltiplichi con la matrice e vedi se viene l'identità. Semplice definizione di matrice ortogonale .

Paola

[mew-votailprof]

già..ma ad un primo approccio con la prof non è bastato.. cosa ancora c'è da dire?? grazie cara che sei così disponibile..

[_prime_number]

Mmmm.. niente a mio avviso! La definizione di matrice ortogonale è quella di una matrice quadrata $A$ tale che $A^T=A^{-1}$ ovvero (grazie al teorema di unicità dell'inversa) tale che $A\cdot A^T = I$. Se verifichi dunque quest'ultima uguaglianza sei a posto... Non posso sapere cos'altro volesse la prof ma sull'ortogonalità ci fermiamo qui di sicuro.

Paola

[mew-votailprof]

Grazie mille Paola!ti farò sapere!