Aiuto geometria lineare (importante)

[Riddick1]

salve amici, essendo stato assente nella spiegazione e non trovando niente sul libro mi trovo davanti a questo problema:
1) sia f la parabola del fascio di equazione 2x^2+x-y-1=0;
trovare una sua forma canonica ed il cambiamento di coord. che la determina:
sapendo che gli autovalori della sottomatrice A sono alfa=0 e beta=2, essendo |B|=-1/2, si ha che -b(beta)g(gamma)^2=-1/2, e fin qui ci siamo...poi la soluzione dice che:
il punto improprio della parabola è Y=(0,1,0) e il punto improprio ortogonale a Y è X=(1,0,0) quindi l'asse di simmetria è la polare di X cioè x+1/4=0;
e questi sono i passaggi che non ho capito (come si trovano i punti impropri e l'asse di simmetria) ?
inoltre dice che una volta trovato il vertice (facendo sistema tra l'asse di simmetria e la parabola, bisogna trovare la matrice della rototraslazione...come si trova quest'altra ?ovvero non capisco il passaggio b(beta)Y^2=2g(gamma)X e poi Y^2=-1/4X.

spero davvero possiate aiutarmi perchè sono nel pallone più completo...
grazie anticipatamente
giuseppe

[goblyn]

per i punti impropri: scrivi l'equazione comprendendo la coordinata proiettiva u:

2x^2 + xu - yu - u^2 = 0

I punti impropri hanno u=0 ==>

2x^2 = 0 ==> x=0

Quindi il punto improprio è (0,y,0) ovvero, prendendone uno per tutti, (0,1,0).