Aiuto esercizio cambiamento di base

[lucabaro1]

Salve a tutti, qualcuno potrebbe aiutarmi con questo esercizio??

1) Verifica che le matrici M1= $ ( ( 0 , 1 ),( 0 , -1 ) ) $ , M2= $ ( ( 1 , 0 ),( -1 , 0 ) ) $ sono linearmente indipendenti e completale ad una base B di M2,2(R).
2) Verifica che le matrici M1'= $ ( ( 1 , 1 ),( 0 , 0 ) ) $ , M2'= $ ( ( 1 , 1 ),( 1 , 1 ) ) $ sono linearmente indipendenti e completale ad una base B' di M2,2(R).
3) Trova la matrice C del cambiamento di base da B a B'.

Grazie in anticipo

[billyballo2123]

Iniziamo dal primo punto: per dire che sono linearmente indipendenti, devi dimostrare che se $\alpha M_1+\beta M_2=0$ (lo zero rappresenta la matrice nulla), allora $\alpha=\beta=0$.

[lucabaro1]

"billyballo2123":Iniziamo dal primo punto: per dire che sono linearmente indipendenti, devi dimostrare che se $\alpha M_1+\beta M_2=0$ (lo zero rappresenta la matrice nulla), allora $\alpha=\beta=0$.

Grazie mille! Il primo punto sono riuscito a risolverlo senza difficoltà, il problema sta nel completarle ad una base di M2,2 e trovare la matrice di cambiamento di base da B a B'..

[billyballo2123]

Per completare la base puoi prendere due matrici dalla base canonica
\[
\left\{
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\right\}.
\]
Piccolo suggerimento: non prendere la prima e la terza insieme perché risulterebbero linearmente dipendenti con $M_2$, e non prendere la seconda e la quarta insieme perché risulterebbero linearmente dipendenti con $M_1$.

Per quanto riguarda il cambiamento di base, devi vedere le matrici come vettori di $\mathbb{R}^4$; ad esempio la matrice
\[
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & -1
\end{bmatrix}
\]
è da vedere come il vettore
\[
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
-1
\end{bmatrix}.
\]

[lucabaro1]

"billyballo2123":Per completare la base puoi prendere due matrici dalla base canonica
\[
\left\{
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\right\}.
\]
Piccolo suggerimento: non prendere la prima e la terza insieme perché risulterebbero linearmente dipendenti con $M_2$, e non prendere la seconda e la quarta insieme perché risulterebbero linearmente dipendenti con $M_1$.

Per quanto riguarda il cambiamento di base, devi vedere le matrici come vettori di $\mathbb{R}^4$; ad esempio la matrice
\[
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & -1
\end{bmatrix}
\]
è da vedere come il vettore
\[
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
-1
\end{bmatrix}.
\]

Problema risolto Grazie mille!

[billyballo2123]

Figurati!