Aiuto esercizio algebra lineare e geometria
Buondì! Ho problemi a risolvere questi esercizi.
Data la forma quadratica $q(x,y,p)=3x^2 - 6xy-27xp +p^2$ Tale prodotto è non degenere? E' definito positivo?
Alla prima domanda so rispondere. Si, è non degenere perché il determinante è diverso da zero. La seconda mi pone problemi perché il calcolo è molto laborioso. Durante l'esame non abbiamo potuto utilizzare la calcolatrice e la nostra prof. ci ha detto che esiste un metodo più semplice e veloce per risolvere l'esercizio. Ho provato a calcolare la segnatura e mi risulta +,-,+ ed è uguale al risultato dell'esercizio. Purtroppo, questo argomento non lo abbiamo fatto a lezione dunque, non è detto che la prof. accetti la mia risposta. Non mi viene in mente nessun altro modo per risolverlo, però. Secondo voi, quale potrebbe essere?
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Dato il sottospazio vettoriale in $RR^4, U=(x,y,pt){3x+9y-p+t=0,x-y+3p=0}$ se ne trovi una base ortogonale rispetto al prodotto standard in $RR^4$.
(b) Si trovi una base per $U^{\bot}$.
(c) Si trovi se possibile un isomorfismo di $RR^4$ che manda $U$ entro $U^{\bot}$
La base ortogonale l'ho trovata con Gram-Schmidt. Per l'esericizio (b) ho utilizzato la riduzione di Gauss su $U$ e poi di nuovo Gram-Schimdt.
Il mio ragionamento per il punto (c) è alquanto contorto. Spero si capisca.
La base trovata nel primo esercizio è $B_1 ={(3,9,-1,1),(65/92, -199/92, 285/92,-9/92)}$. La base per il bunto (b) è $B_2 = {(0,12,8,1),(-321/92,963/92,107/92,1)}$
Dato che devo trovare un isomorfismo, l'applicazione deve necessariamente essere invertibile. Ho invertito $B_2$ e applicato il teorema del completamento. Quindi, ho calcolato $(B_2)^-1 *U*B_1$ (tutte e tre completate). Ho l'impressione che questo passaggio sia sbagliato. Ma andiamo avanti. Il determinante di $B_2$ è nullo dunque, la matrice non invertibile. Da cui risulta che non può esistere l'isomorfismo.
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Sia $V$ uno spazio vettoriale non necessariamente finito dimensionale. Siano ${u_1 , u_2 , u_3}$ e ${v_1 , v_2 , v_3 , v_4}$ due insiemi di vettori ciascuno insieme linearmente indipendente e formato da vettori tutti distinti tra loro e nessuno multiplo degli altri. ${u_1 , u_2 , u_3 , v_1 , v_2 , v_3 , v_4}$ sono linearmente indipendenti?
Il mio tentativo è il seguente.
$x_1 v_1 + x_2 v_2 + x_3 v_3 x_4 v_4 = y_1 u_1 + y_2 u_3 + y_3 u_3 =0$. Affinché i vettori siano linearmente indipendenti i coefficienti della combinazione devono tutti annullarsi. Sappiamo a priori che l'insieme $u_i$ e l'insieme $v_i$ sono indipendenti, quindi devono annullarsi tutti comunque altrimenti i due insiemi risultanto dipendenti. Mi sembra abbastanza fumoso come ragionamento ma è il meglio a cui sono riuscito ad arrivare.
Grazie dell'aiuto. E portate pazienza per la lunghezza della domanda...
[EDIT: avevo sbagliato a scrivere le basi]
Data la forma quadratica $q(x,y,p)=3x^2 - 6xy-27xp +p^2$ Tale prodotto è non degenere? E' definito positivo?
Alla prima domanda so rispondere. Si, è non degenere perché il determinante è diverso da zero. La seconda mi pone problemi perché il calcolo è molto laborioso. Durante l'esame non abbiamo potuto utilizzare la calcolatrice e la nostra prof. ci ha detto che esiste un metodo più semplice e veloce per risolvere l'esercizio. Ho provato a calcolare la segnatura e mi risulta +,-,+ ed è uguale al risultato dell'esercizio. Purtroppo, questo argomento non lo abbiamo fatto a lezione dunque, non è detto che la prof. accetti la mia risposta. Non mi viene in mente nessun altro modo per risolverlo, però. Secondo voi, quale potrebbe essere?
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Dato il sottospazio vettoriale in $RR^4, U=(x,y,pt){3x+9y-p+t=0,x-y+3p=0}$ se ne trovi una base ortogonale rispetto al prodotto standard in $RR^4$.
(b) Si trovi una base per $U^{\bot}$.
(c) Si trovi se possibile un isomorfismo di $RR^4$ che manda $U$ entro $U^{\bot}$
La base ortogonale l'ho trovata con Gram-Schmidt. Per l'esericizio (b) ho utilizzato la riduzione di Gauss su $U$ e poi di nuovo Gram-Schimdt.
Il mio ragionamento per il punto (c) è alquanto contorto. Spero si capisca.
La base trovata nel primo esercizio è $B_1 ={(3,9,-1,1),(65/92, -199/92, 285/92,-9/92)}$. La base per il bunto (b) è $B_2 = {(0,12,8,1),(-321/92,963/92,107/92,1)}$
Dato che devo trovare un isomorfismo, l'applicazione deve necessariamente essere invertibile. Ho invertito $B_2$ e applicato il teorema del completamento. Quindi, ho calcolato $(B_2)^-1 *U*B_1$ (tutte e tre completate). Ho l'impressione che questo passaggio sia sbagliato. Ma andiamo avanti. Il determinante di $B_2$ è nullo dunque, la matrice non invertibile. Da cui risulta che non può esistere l'isomorfismo.
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Sia $V$ uno spazio vettoriale non necessariamente finito dimensionale. Siano ${u_1 , u_2 , u_3}$ e ${v_1 , v_2 , v_3 , v_4}$ due insiemi di vettori ciascuno insieme linearmente indipendente e formato da vettori tutti distinti tra loro e nessuno multiplo degli altri. ${u_1 , u_2 , u_3 , v_1 , v_2 , v_3 , v_4}$ sono linearmente indipendenti?
Il mio tentativo è il seguente.
$x_1 v_1 + x_2 v_2 + x_3 v_3 x_4 v_4 = y_1 u_1 + y_2 u_3 + y_3 u_3 =0$. Affinché i vettori siano linearmente indipendenti i coefficienti della combinazione devono tutti annullarsi. Sappiamo a priori che l'insieme $u_i$ e l'insieme $v_i$ sono indipendenti, quindi devono annullarsi tutti comunque altrimenti i due insiemi risultanto dipendenti. Mi sembra abbastanza fumoso come ragionamento ma è il meglio a cui sono riuscito ad arrivare.
Grazie dell'aiuto. E portate pazienza per la lunghezza della domanda...
[EDIT: avevo sbagliato a scrivere le basi]
Risposte
il modo più veloce è quello di vedere gli autovalori, se sono tutti positivi il prodotto è definito positivo.. se no ti consiglio di dare un occhiata al teorema di Sylvester
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