Aiuto con un esercizio sullo spazio (piani, rette)

[marthy_92]

Salve a tutti, non riesco a capire come risolvere questo esercizio.
Date le rette (scritte come intersezione di due piani)

r ) x = z - 1 , y = z
s) x + y = 0 , z = 0

ed i piani

aplha: y + z + 1 = 0
beta : x + 3 y + z = 0

trovare le equazioni della retta propria t incidente r ed s e parallela ai piani aplha e beta.

Come procedere? Avevo pensato di fare il fascio di piani di sostegno la retta r e cercare il piano parallelo
ad alpha e poi fare la stessa cosa per s.. fascio di piani di sostegno la retta s e cercare il piano
parallelo a beta. Ma è giusto? Mi sa che non arrivo a nulla.. altrimenti? come posso fare?

[Sk_Anonymous]

Puoi fare come segue.
Prendi il generico punto di r: \(\displaystyle A(t-1,t,t) \)
Prendi il generico punto di s: \(\displaystyle B(u,-u,0) \)
La retta AB è la retta che cerchi perché essa, per come è stata costruita, incide sicuramente le rette r ed s in A e in B rispettivamente . Ora, per determinare i parametri \(\displaystyle (t,u), \) tocca imporre che la suddetta retta AB sia parallela ad $alpha, beta$, ovvero che sia perpendicolare alle normali ai piani medesimi.
Calcoliamo allora i vettori direzionali di AB e della normali \(\displaystyle n_{\alpha},n_{\beta} \) ad $alpha, beta$:
$n_{AB=}(t-u-1,t+u,t),n_{alpha}=(0,1,1),n_{beta}=(1,3,1)$
Deve aversi ( il punto indica il prodotto scalare ordinario):
\begin{cases} (t-u-1,t+u,t).(0,1,1)=0 \\(t-u-1,t+u,t).(1,3,1)=0 \end{cases}
Risolvendo il facile sistema ottieni: \(\displaystyle t=1,u=-2 \) e sostituendo tali valori in A e B hai i punti :
\(\displaystyle A(0,1,1),B(-2,2,0) \)
con i quali puoi ora trovare le equazioni della retta AB cercata.

[marthy_92]

ho capito, chiarissimo Grazie ciromario