AIUTO! 2 esercizi TOPOLOGIA (brevi)
[size=150]Non li so fare...per favore potete aiutarmi?
1) Dimostrare che il piano di Niemytzki soddisfa il primo ma non il secondo assioma di numerabilità
2) Nell'insieme X= {a,b,c,d,e} provare che è una topologia TAU={X, INSIEME VUOTO, {a}, {a,c}, {a,b,d}, {a,b,c,d}, {a,c,e}}
Trovare la topologia indotta sul sottoinsieme {a,b,c}
e in questo sottospazio determinare la chiusura di {a}.
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1) Dimostrare che il piano di Niemytzki soddisfa il primo ma non il secondo assioma di numerabilità
2) Nell'insieme X= {a,b,c,d,e} provare che è una topologia TAU={X, INSIEME VUOTO, {a}, {a,c}, {a,b,d}, {a,b,c,d}, {a,c,e}}
Trovare la topologia indotta sul sottoinsieme {a,b,c}
e in questo sottospazio determinare la chiusura di {a}.
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Risposte
2)
Provi semplicemente gli assiomi. In particolar modo dovresti fare vedere in tutti i casi che l'unione e l'intersezione di quelli sono ancora dentro in $\tau$.
Per la topologia indotta: se $Y \subset X$, $X$ spazio topologico, allora un sottoinsieme $U \subset Y$ si dice aperto in $Y$, se esiste un insieme aperto $\bar U \subset X$ con $U = \bar U \cap Y$. (1)
Per cui.Se vuoi la topologia indotta sul sottoinsieme $Y={a,b,c}$, puoi senz'altro eliminare tutti gli insiemi di $\tau$ che non sono sottoinsiemi di $Y$.
E quindi $\tau_1$, la topologia su $Y$, ti comprenderà sicuramente $\emptyset, {a},{a,c}$. Deve comprendere anche lo stesso insieme ${a,b,c}$.
Per determinare gli altri insiemi aperti, utilizzi (1).
E quindi:
-${a,b,d} \cap {a,b,c} = {a,b}$ è aperto in Y.
-${a,b,c,d} \cap {a,b,c} = {a,b,c}$ è aperto in Y.
- ${a,c,e} \cap {a,b,c} = {a,c}$ è aperto in Y.
La topologia è quindi
$\tau_1 = { emptyset, Y, {a},{a,c}, {a,b} }$
La chiusura di ${a}$ è il più piccolo sottoinsieme chiuso contenente ${a}$. Gli elementi chiusi sono:
$emptyset, Y, {b,c},{b},{c}$
La chiusura di ${a}$ è quindi l'intero $Y$.
Provi semplicemente gli assiomi. In particolar modo dovresti fare vedere in tutti i casi che l'unione e l'intersezione di quelli sono ancora dentro in $\tau$.
Per la topologia indotta: se $Y \subset X$, $X$ spazio topologico, allora un sottoinsieme $U \subset Y$ si dice aperto in $Y$, se esiste un insieme aperto $\bar U \subset X$ con $U = \bar U \cap Y$. (1)
Per cui.Se vuoi la topologia indotta sul sottoinsieme $Y={a,b,c}$, puoi senz'altro eliminare tutti gli insiemi di $\tau$ che non sono sottoinsiemi di $Y$.
E quindi $\tau_1$, la topologia su $Y$, ti comprenderà sicuramente $\emptyset, {a},{a,c}$. Deve comprendere anche lo stesso insieme ${a,b,c}$.
Per determinare gli altri insiemi aperti, utilizzi (1).
E quindi:
-${a,b,d} \cap {a,b,c} = {a,b}$ è aperto in Y.
-${a,b,c,d} \cap {a,b,c} = {a,b,c}$ è aperto in Y.
- ${a,c,e} \cap {a,b,c} = {a,c}$ è aperto in Y.
La topologia è quindi
$\tau_1 = { emptyset, Y, {a},{a,c}, {a,b} }$
La chiusura di ${a}$ è il più piccolo sottoinsieme chiuso contenente ${a}$. Gli elementi chiusi sono:
$emptyset, Y, {b,c},{b},{c}$
La chiusura di ${a}$ è quindi l'intero $Y$.
"pat87":
La chiusura di ${a}$ è quindi l'intero $Y$.
E quindi $a$ è un "punto denso"
(io me li sogno la notte i punti densi...)
Io invece avrei una domanda: che intendi con il piano di Niemytzki? È la stessa cosa del piano di Moore?
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