Affinità su spazio euclideo

[celeste4]

Esercizio: In un piano affine euclideo siano P un parallelogramma e Q un Quadrato. Verificare che P e Q siano affinemente equivalenti costruendo un'affinità che trasformi P in Q.
E veri che anche un trapezio e un parallelogramma sono affinemente equivalenti?

Dubbio
Ma un parallelogramma e un quadrato non sono sempre affinemente equivalenti?

[celeste4]

"celeste":Esercizio: In un piano affine euclideo siano P un parallelogramma e Q un Quadrato. Verificare che P e Q siano affinemente equivalenti costruendo un'affinità che trasformi P in Q.
E veri che anche un trapezio e un parallelogramma sono affinemente equivalenti?

Dubbio
Ma un parallelogramma e un quadrato non sono sempre affinemente equivalenti?

Continuo a scarabocchiae senza uscirne...allora:
le affinità conservano il parallelismo, quindi un parallelogramma può essere affinemente equivalente a un quadrato, ossia esiste un'affinità che trasforma uno nell'altro, mentre con il trapezio non può esserlo.

Quanto però a descrivere un'affinità...questa deve mandare i lati del parallelogramma in lati uguali. e fin qui nessun problema. Tuttavia in uno spazio euclideo esiste il concetto di norma, grazie al quale possiamo calcolare l'angolo convesso compreso fra due vettori ($ cos theta = ()/(||AB||*||AC||)$)
Questo dev'essere uguale a zero. Ma com'è un'affinità che faccia sì che sia così? è sufficiente questo?

[celeste4]

Nessuno??

[cozzataddeo]

Provo, ma non sono sicuro che sia il metodo piú veloce (di certo non è quello piú elegante).
Una trasformazione affine è una trasformazione lineare di matrice $A$ seguita da una traslazione lineare di vettore $b$, ovvero

$y=Ax+b$ ossia $((y_1) , (y_2))=((a_11, a_12),(a_21, a_22))((x_1),(x_2))+((b_1),(b_2))$

Imponendo una qualunque corrispondenza tra 3 vertici del parallelogramma e 3 vertici del quadrato (dei quali suppongo conoscere le coordinate) si ottiene un sistema lineare di 6 equazioni nelle 6 incognite rappresentate dai coefficienti della matrice $A$ e del vettore $b$. Risolvendo il sistema si è determinata la trasformazione affine.

Mentre un quadrato e un parallelogramma sono sempre affinemente equivalenti, un trapezio e un parallelogramma non sono mai affinemente equivalenti poiché una trasformazione affine conserva il parallellismo per cui i lati obliqui del trapezio non potranno mai essere messi in corrispondenza con i lati paralleli del parallelogramma.

[celeste4]

"Cozza Taddeo":Provo, ma non sono sicuro che sia il metodo piú veloce (di certo non è quello piú elegante).
Una trasformazione affine è una trasformazione lineare di matrice $A$ seguita da una traslazione lineare di vettore $b$, ovvero

$y=Ax+b$ ossia $((y_1) , (y_2))=((a_11, a_12),(a_21, a_22))((x_1),(x_2))+((b_1),(b_2))$

Imponendo una qualunque corrispondenza tra 3 vertici del parallelogramma e 3 vertici del quadrato (dei quali suppongo conoscere le coordinate) si ottiene un sistema lineare di 6 equazioni nelle 6 incognite rappresentate dai coefficienti della matrice $A$ e del vettore $b$. Risolvendo il sistema si è determinata la trasformazione affine.

Mentre un quadrato e un parallelogramma sono sempre affinemente equivalenti, un trapezio e un parallelogramma non sono mai affinemente equivalenti poiché una trasformazione affine conserva il parallellismo per cui i lati obliqui del trapezio non potranno mai essere messi in corrispondenza con i lati paralleli del parallelogramma.

Grazie della risposta! ma secondo te, è possibile far si che in questa ipotetica affinità che descrivo, si riesca a imporrte i gli angoli tra i vettori della prima famiglia (i lati del parallelogramma) finiscano in angoli retti? non so se si capisce quel che chiedo...sennò domanda delucidazione e proverò a essere più chiara..

[cozzataddeo]

Ho capito cosa chiedi ma così su due piedi credo che sia abbastanza complicato imporre quelle condizioni e sinceramente non saprei come fare. E' molto più semplice accoppiare i punti e lasciare che la trasformazione faccia poi il suo lavoro sugli angoli...
Comunque stiamo a sentire, magari qualcuno di più ferrato ci illuminerà entrambi...