A simmetrica allora ha un autovalore reale

[angeloferrari]

ciao a tutti, qualcuno potrebbe spiegarmi o dimostrarmi questa proposizione dimostrare che se $A$ è una matrice simmetrica a coefficienti reali allora ha un autovalore reale è una dimostrazione che proprio mi manca e non so come ottenerla, grazie in anticipo a chiunque avrà voglia di scrivermi la dimostrazione

[5mrkv]

\begin{split}
\langle Ax,x\rangle
&=\lambda\langle x,x\rangle \\
\end{split}
Se per le proprietà di simmetria il primo membro è positivo, dato che lo è anche \(\langle x,x\rangle\) lo stesso vale per \(\lambda\). So che per un operatore hermitiano è corretta.

[angeloferrari]

non l'ho capita granché

[5mrkv]

Scusa. Volevo dire reale, non positivo. Ricordo anche
\begin{split}
\langle x,Ax\rangle
&=\langle Ax,x\rangle^{*} \\
&=\langle x,Ax\rangle^{*}
\end{split}
Se \(A\) è anche hermitiano (autoaggiunto) allora ha autovalori reali. Ho visto questo in un libro di fisica come teorema per operatori in un spazio di Hilbert, non so quale sia il tuo contesto.