A chi appartiene questa geodetica?

[elgiovo]

Dato un punto P nel piano e dette $(x,y)$ le sue coordinate, possiamo definire in vario modo la sua distanza dall'origine (intendendo con distanza la geodetica, ovvero il percorso di minima lunghezza tra i due punti). In primo luogo, se le direzioni preferenziali sono destra, sinistra, alto e basso, la distanza $barObarP$ sarà data dalla somma $x+y$. Tale distanza si può anche scrivere così:

$root{1}{x^1+y^1}$.

C'è poi la ben nota distanza euclidea, che è rappresentata dal segmento congiungente $O$ a $P$. Per l'ancora più noto teorema di Pitagora questa distanza diventa:

$root{2}{x^2+y^2}$.

Ora spunta fuori il problema: andando avanti, possiamo definire geodetiche più complesse, ma anche più brevi di quelle precedenti. Il difficile è immaginarle. Ad esempio: da cosa è rappresentata la geodetica

$root{3}{x^3+y^3}$?

Una soluzione potrebbe essere sommare i due volumi cubici $x^3$ e $y^3$ per poi trovare il lato di questo cubo "somma". Ma come rappresentare un risultato simile?
E, generalizzando, da cosa è rappresentata la distanza

$root{p}{x^p+y^p}$

al variare di p? E' ovvio che $lim_{p to oo}root{p}{x^p+y^p}=x$, nel caso in cui $x>y$, oppure $y$ nel caso $x

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carlo232

20 gen 2006, 16:15

"elgiovo":
al variare di p? E' ovvio che $lim_{p to oo}root{p}{x^p+y^p}=x$, nel caso in cui $x>y$, oppure $y$ nel caso $x

Non ho capito bene quali siano le tue intenzioni, ma nulla implica che $root{p}{x^p+y^p}$ indichi una distanza.

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david_e1

20 gen 2006, 20:47

Be' in effetti:

$x+y$

non rappresenta una distanza. Infatti il punto $(3,-3)$ ad esempio avrebbe distanza dall'origine $0$... ma una delle proprieta' fondamentali della distanza e' che:

$ d ( x, y ) = 0 iff x = y $

Tuttavia esiste una distanza definita cosi':

$ d( (x,y) , 0 ) = |x|+|y| $

essa e' associata alla cosi' detta "norma $1$". La distanza euclidea e' associata, invece, alla norma $2$. Quello che dici tu e' una distanza associata alla cosi' detta "norma $oo$". E' definita cosi:

$ d ( (x,y) , 0 ) = max(|x|,|y|) $

Con questa nozione di distanza la circonferenza centrata in $0$ (il luogo dei punti equidistanti dall'origine) diventa un quadrato con i lati paralleli agli assi coordinati e centrato in $0$....

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ottusangolo

20 gen 2006, 23:24

Ciao Elgiovo, credo ci sia un po' di confusione nel quesito posto. Bisogna infatti distinguere i concetti di distanza, di geodetica, di piano euclideo,e di spazio metrico $(RR^2, d)$ che non sono la stessa cosa.
Non va bene ad es. identificare la distanza fra due punti come la geodetica che li conguinge e addirittura neppure identificarla con la lunghezza di tale geodetica!
o.k. invece per le ‘distanze’che hai definito,diciamo che hai dimenticato il valore assoluto .
Dunque se non ho capito male date le distanze $d(P,O)=[|x|^p+|y|^p]^(1/p)$ ,od anche aggiungo io data $d(P,O)=[x^2+y^2]^(1/2)/{1+[x^2+y^2]^(1/2)}$.ti chiedi perché non si possono disegnare sul piano. Perché nel piano tu disegni linee e non numeri e solo dopo vi associ un numero andando a misurare la lunghezza della linea che unisce P ad O Ma in che metrica misuri? In quella euclidea purtroppo! E così linee più brevi del segmento non ne troverai.(a proposito nel piano le geodetiche sono tutte e sole le rette che sono anche i percorsi più brevi).
Se vuoi restare nel piano puoi assegnare a quello stesso segmento una lunghezza $<( x^2+y^2)^(1/2)$ cambiando scala agli assi cartesiani ed anzi puoi cambiarla in modo non lineare ( nel senso ad es che tutti i P ad una distanza da O pari ad una apertura di compasso li poni ad 1m, quelli a due aperture a 3,7m)Se invece vuoi visualizzare la cosa puoi ripiegare, deformare il piano come un sottile foglio elastico, con continuità, senza strappi e trovare che la distanza di P da O è cambiata e magari è più corta del segmento misurato sul piano!

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[carlo232]

"elgiovo":
al variare di p? E' ovvio che $lim_{p to oo}root{p}{x^p+y^p}=x$, nel caso in cui $x>y$, oppure $y$ nel caso $x

Non ho capito bene quali siano le tue intenzioni, ma nulla implica che $root{p}{x^p+y^p}$ indichi una distanza.

[david_e1]

Be' in effetti:

$x+y$

non rappresenta una distanza. Infatti il punto $(3,-3)$ ad esempio avrebbe distanza dall'origine $0$... ma una delle proprieta' fondamentali della distanza e' che:

$ d ( x, y ) = 0 iff x = y $

Tuttavia esiste una distanza definita cosi':

$ d( (x,y) , 0 ) = |x|+|y| $

essa e' associata alla cosi' detta "norma $1$". La distanza euclidea e' associata, invece, alla norma $2$. Quello che dici tu e' una distanza associata alla cosi' detta "norma $oo$". E' definita cosi:

$ d ( (x,y) , 0 ) = max(|x|,|y|) $

Con questa nozione di distanza la circonferenza centrata in $0$ (il luogo dei punti equidistanti dall'origine) diventa un quadrato con i lati paralleli agli assi coordinati e centrato in $0$....

[ottusangolo]

Ciao Elgiovo, credo ci sia un po' di confusione nel quesito posto. Bisogna infatti distinguere i concetti di distanza, di geodetica, di piano euclideo,e di spazio metrico $(RR^2, d)$ che non sono la stessa cosa.
Non va bene ad es. identificare la distanza fra due punti come la geodetica che li conguinge e addirittura neppure identificarla con la lunghezza di tale geodetica!
o.k. invece per le ‘distanze’che hai definito,diciamo che hai dimenticato il valore assoluto .
Dunque se non ho capito male date le distanze $d(P,O)=[|x|^p+|y|^p]^(1/p)$ ,od anche aggiungo io data $d(P,O)=[x^2+y^2]^(1/2)/{1+[x^2+y^2]^(1/2)}$.ti chiedi perché non si possono disegnare sul piano. Perché nel piano tu disegni linee e non numeri e solo dopo vi associ un numero andando a misurare la lunghezza della linea che unisce P ad O Ma in che metrica misuri? In quella euclidea purtroppo! E così linee più brevi del segmento non ne troverai.(a proposito nel piano le geodetiche sono tutte e sole le rette che sono anche i percorsi più brevi).
Se vuoi restare nel piano puoi assegnare a quello stesso segmento una lunghezza $<( x^2+y^2)^(1/2)$ cambiando scala agli assi cartesiani ed anzi puoi cambiarla in modo non lineare ( nel senso ad es che tutti i P ad una distanza da O pari ad una apertura di compasso li poni ad 1m, quelli a due aperture a 3,7m)Se invece vuoi visualizzare la cosa puoi ripiegare, deformare il piano come un sottile foglio elastico, con continuità, senza strappi e trovare che la distanza di P da O è cambiata e magari è più corta del segmento misurato sul piano!