2 Quesiti teorici su prodotto scalare/forme bilineari..

[21zuclo]

Ciao a tutti, sto affrontando delle domande teoriche che spesso nei temi d'esame del mio prof capitano. È solo che mi servirebbe un aiuto per queste 2 domande, ho le idee confuse e non so nemmeno se è giusta la mia risposta. Aiutatemi per favore. Grazie in anticipo



ho provato a rispondere così

Domanda 3
ho questa base $ B={ul(v_1),....., ul(v_d)} $ indico con $\varphi(x,y)$ il prodotto scalare
la matrice associata rispetto al prodotto scalare è la seguente matrice $ M_(B) (\varphi)=( ( \varphi(v_1,v_1).... , , \varphi(v_1,v_n) ),( ... , ...... , .... ),( \varphi(v_n,v_1) , ....... , \varphi(v_n,v_n) ) ) $

e le matrici che si possono realizzare sono matrici simmetriche e definite positive

domanda 4
per questa domanda, non so proprio cosa bene rispondere..ho pensato alla matrice del cambiamento di base, centra come cosa?

[Epimenide93]

Alla prima domanda hai risposto correttamente, attento solo al fatto che la dimensione di $V$ è $d$, non $n$. Quanto alla seconda, stai esprimendo tutto in un'unica base $\mathcal{B}$, quindi semplicemente $\phi(v,w) = M_{\mathcal{B}}^{t}(v)M_{\mathcal{B}}(\phi)M_{\mathcal{B}}(w)$, la dimostrazione è quella dell'esistenza e unicità della matrice che rappresenta una forma bilineare rispetto ad una data base (e che tale matrice è quella che tu hai scritto per rispondere al punto 3), è abbastanza lunga da scrivere (in pratica devi solo espletare i calcoli) ma credo tu possa trovarla in qualsiasi testo di geometria.