Vorrei proporre un esercizio su un circuito
Sia:
Per a non ho trovato molti problemi ponendo:
$ \sqrt(R^2+(\omega_2L-\frac{1}{ \omega_2 C})^2 ) =\sqrt(R^2+(\omega_1L-\frac{1}{ \omega_1 C})^2 ) =\eta R $
giocando si trova $L=L(C)$ che sostituita in $omega_0=1/sqrt(LC)$ ci fa pervenire al risultato.
Però sul punto b continuo a far calcoli e non mi torna.
Ho 4 incongnite Q,R,L,C: $Q=1/Rsqrt(L/C)$
Una equazione è quella del punto a), una è appunto la definizione di Q (merito), posso poi legare poi: $eta^2R^2=R^2+omega_2L-1/omega_2C$ ma ne manca una quarta (di equazione) che non so trovare
Un circuito RLC in serie e alimentato da un generatore di f.e.m. di ampiezza V0 la cui frequenza puo essere variata a piacere. Alle frequenze angolari ω1 e ω2 l’ampiezza della corrente e η volte minore dell’ampiezza della corrente alla risonanza. Trovare, in funzione di η ,ω1 e ω2:
(a) la pulsazione di risonanza;
(b) il fattore di merito del circuito.
Per a non ho trovato molti problemi ponendo:
$ \sqrt(R^2+(\omega_2L-\frac{1}{ \omega_2 C})^2 ) =\sqrt(R^2+(\omega_1L-\frac{1}{ \omega_1 C})^2 ) =\eta R $
giocando si trova $L=L(C)$ che sostituita in $omega_0=1/sqrt(LC)$ ci fa pervenire al risultato.
Però sul punto b continuo a far calcoli e non mi torna.
Ho 4 incongnite Q,R,L,C: $Q=1/Rsqrt(L/C)$
Una equazione è quella del punto a), una è appunto la definizione di Q (merito), posso poi legare poi: $eta^2R^2=R^2+omega_2L-1/omega_2C$ ma ne manca una quarta (di equazione) che non so trovare
Risposte
Beh, non capisco cosa hai scritto ma, giusto per essere pignoli, devi uguagliare le sole reattanze, ovvero la prima relazione da te scritta, così come la seconda e l'ultima, sono errate.
La prima risposta dovrebbe essere
$\omega_0=\sqrt{\omega_1\omega_2}$
per la seconda richiesta devi solo usare la relazione fra le correnti, ovvero fra le impedenze
$ \sqrt(R^2+(\omega_2L-\frac{1}{ \omega_2 C})^2 ) =\eta R $
al fine di ottenere il rapporto \(L/R\) e di conseguenza il fattore di merito
$Q=\omega_0\frac{L}{R}=\sqrt(\omega_1\omega_2)\ \sqrt{\eta^2-1}/\abs{\omega_2-\omega_1)$
Un consiglio: controlla il post dopo averlo inviato, così vedi come vengono interpretate le relazioni LaTeX da te scritte.
La prima risposta dovrebbe essere
$\omega_0=\sqrt{\omega_1\omega_2}$
per la seconda richiesta devi solo usare la relazione fra le correnti, ovvero fra le impedenze
$ \sqrt(R^2+(\omega_2L-\frac{1}{ \omega_2 C})^2 ) =\eta R $
al fine di ottenere il rapporto \(L/R\) e di conseguenza il fattore di merito
$Q=\omega_0\frac{L}{R}=\sqrt(\omega_1\omega_2)\ \sqrt{\eta^2-1}/\abs{\omega_2-\omega_1)$
Un consiglio: controlla il post dopo averlo inviato, così vedi come vengono interpretate le relazioni LaTeX da te scritte.
Hai ragione, scusami. Ho corretto comunque.
a) Per la prima ho trovato la relazione da te indicata. Quello che volevo dire è che ho preso:
$ \sqrt(R^2+(\omega_2L-\frac{1}{ \omega_2 C})^2 ) =\eta R $
$ \sqrt(R^2+(\omega_1L-\frac{1}{ \omega_1 C})^2 ) =\eta R $
e le ho uguagliate ottenendo $L=1/(omega_1omega_2C)$ che sostituita in $omega_0=1/sqrt(LC)$ dà quanto da te indicato.
(partivo da 3 incognite R; L; C e ho trovato 3 equazioni risolvendole appunto, ma nel punto b...)
b) Ora provo a seguire la tua via, però mi rimane comunque il dubbio perché non capisco come possa trovare il risultato essendo che ho 4 incognite date dal fattore di merito, Q;R;L;C ma le equazioni sono solo 3!
$Q=1/Rsqrt(L/C)$
$ \sqrt(R^2+(\omega_2L-\frac{1}{ \omega_2 C})^2 ) =\eta R $
$ \sqrt(R^2+(\omega_1L-\frac{1}{ \omega_1 C})^2 ) =\eta R $
Come faccio a risolvere 4 incognite se ne ho solo 3? A priori pensavo di sbagliare qualcosa, oltre ai calcoli, perché mi pare indeterminato il sistema. Insomma una delle 4 variabili deve entrare nel risultato finale parametrizzandolo)
a) Per la prima ho trovato la relazione da te indicata. Quello che volevo dire è che ho preso:
$ \sqrt(R^2+(\omega_2L-\frac{1}{ \omega_2 C})^2 ) =\eta R $
$ \sqrt(R^2+(\omega_1L-\frac{1}{ \omega_1 C})^2 ) =\eta R $
e le ho uguagliate ottenendo $L=1/(omega_1omega_2C)$ che sostituita in $omega_0=1/sqrt(LC)$ dà quanto da te indicato.
(partivo da 3 incognite R; L; C e ho trovato 3 equazioni risolvendole appunto, ma nel punto b...)
b) Ora provo a seguire la tua via, però mi rimane comunque il dubbio perché non capisco come possa trovare il risultato essendo che ho 4 incognite date dal fattore di merito, Q;R;L;C ma le equazioni sono solo 3!
$Q=1/Rsqrt(L/C)$
$ \sqrt(R^2+(\omega_2L-\frac{1}{ \omega_2 C})^2 ) =\eta R $
$ \sqrt(R^2+(\omega_1L-\frac{1}{ \omega_1 C})^2 ) =\eta R $
Come faccio a risolvere 4 incognite se ne ho solo 3? A priori pensavo di sbagliare qualcosa, oltre ai calcoli, perché mi pare indeterminato il sistema. Insomma una delle 4 variabili deve entrare nel risultato finale parametrizzandolo)
Scusa, ma leggi quello che scrivo? 
Una volta determinata la relazione che lega le tre pulsazioni (la prima del mio precedente post), di ulteriori equazioni ne basta solo una (la seconda del mio precedente post), che va ad uguagliare il modulo dell'impedenza relativa ad una delle due pulsazioni ($\omega_1$ oppure $\omega_2$) ad essere $\eta$ volte maggiore all'impedenza in risonanza del circuito (pari a $R$); da questa ricavi il rapporto \(L/R\) che userai per ottenere $Q$.
Una volta determinata la relazione che lega le tre pulsazioni (la prima del mio precedente post), di ulteriori equazioni ne basta solo una (la seconda del mio precedente post), che va ad uguagliare il modulo dell'impedenza relativa ad una delle due pulsazioni ($\omega_1$ oppure $\omega_2$) ad essere $\eta$ volte maggiore all'impedenza in risonanza del circuito (pari a $R$); da questa ricavi il rapporto \(L/R\) che userai per ottenere $Q$.
Nono, l'ho capito:ora provo il calcolo. Cercavo di capire perché pur essendo 4 incognite sfruttando di fatto 3 equazioni risolvessi il problema. Cioè cercavo di capire perché la mia deduzione fosse sbagliata per non ripetere in futuro.
D'istinto avrei detto 4 incognite male male con sole 3 equazioni.
D'istinto avrei detto 4 incognite male male con sole 3 equazioni.
Ok, ho capito cosa intendi.
Diciamo che essendo sufficiente determinare il rapporto fra due delle incognite (ovvero, per es. L/R), ti serve un'equazione in meno.
Diciamo che essendo sufficiente determinare il rapporto fra due delle incognite (ovvero, per es. L/R), ti serve un'equazione in meno.
Sì stavo per scrivere che sono un idiota:
$x=y/z$
$y/z=3$
tipo
In effetti, credo, il numero di equazioni e incognite sia vero solo se non ho rapporti. Non so se anche in altri casi si riducano, mi vengono in mente solo rapporti tu che dici?
$x=y/z$
$y/z=3$
tipo
In effetti, credo, il numero di equazioni e incognite sia vero solo se non ho rapporti. Non so se anche in altri casi si riducano, mi vengono in mente solo rapporti tu che dici?
Forse non mi sono spiegato; le incognite del problema sembrerebbero in effetti quattro ma, visto che per rispondere alla richiesta del problema è sufficiente determinare il rapporto fra due delle stesse (per es. L/R) ti basteranno solo tre equazioni; te ne servirebbe una quarta se venisse richiesto di determinare separatamente anche la resistenza R e l'induttanza L in funzione di $\eta$, $\omega_1$ e $\omega_2$.
In altri casi ci si potrebbe trovare a dover conoscere il solo prodotto o la sola somma, dipende, non esiste una regola generale.
In altri casi ci si potrebbe trovare a dover conoscere il solo prodotto o la sola somma, dipende, non esiste una regola generale.
No, mi son spiegato male io, scusami. Dicevo che ho capito! Esattamente come in un sistema
$x=y/z$
$y/z=3$
ho 3 incognite e due equazioni ma pervengo alla soluzione x=3 lo stesso proprio in virtù del rapporto y/z.
E mi sono accorto che mi vengono in mente esempi solo di sistemi in cui ho un rapporto per cui posso portare a soluzione il sistema avendo una incognita in più rispetto al numero di equazioni. Da qui mi chiedevo: solo in tal caso (con rapporti) succede? Non ci avevo mai posto attenzione, ma magari ci sono altri casi per cui il sistema è determinato pur avendo più incognite delle equazioni.
[EDIT]
Ma no che sto dicendo, oggi sono rinco....
Ovviamente non lo porto a soluzione, perché la soluzione sarebbe risolvere x,y,z.. risolvo solo la eventuale richiesta su x.
Ti ringrazio!
$x=y/z$
$y/z=3$
ho 3 incognite e due equazioni ma pervengo alla soluzione x=3 lo stesso proprio in virtù del rapporto y/z.
E mi sono accorto che mi vengono in mente esempi solo di sistemi in cui ho un rapporto per cui posso portare a soluzione il sistema avendo una incognita in più rispetto al numero di equazioni. Da qui mi chiedevo: solo in tal caso (con rapporti) succede? Non ci avevo mai posto attenzione, ma magari ci sono altri casi per cui il sistema è determinato pur avendo più incognite delle equazioni.
[EDIT]
Ma no che sto dicendo, oggi sono rinco....
Ovviamente non lo porto a soluzione, perché la soluzione sarebbe risolvere x,y,z.. risolvo solo la eventuale richiesta su x.
Ti ringrazio!
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