Velocità vettoriale media e velocità scalare media
Buongiorno a tutti!
Mi chiamo Aicha e sono nuova nel Forum.
Ho deciso di scrivere questo post dal momento che, studiando alcuni argomenti di cinematica, mi sono sorti alcuni dubbi su cui non sono riuscita a far luce, pur avendo consultato non uno, ma ben tre testi universitari.
Il punto è questo: in generale, so di poter calcolare la velocità vettoriale media $bar(v)$ come:
$bar(v)= (Delta s)/(Delta t)$
e la velocità scalare media $bar(u)$ come:
$bar(u)=(d)/(Delta t)$
dove $d$ è la distanza effettivamente percorsa e non lo spostamento.
Su internet leggo che la velocità media (non mi dice se quella vettoriale o scalare, e questa è la prima cosa che non capisco) non è la media aritmetica delle velocità (ma perchè?)
Ora, in un Moto Rettilineo Uniforme, la velocità è costante, quindi la velocità vettoriale media $bar(v)$ coincide con la velocità istantanea $v$. Ma corrispondendo anche lo spostamento e la distanza percorsa, coincidono anche la velocità vettoriale media $bar(v)$ e la velocità scalare media $bar(u)$. E questo mi è chiaro.
Rivedendo, però, un esempio svolto dal libro che prevedeva una "composizione" di Moti Rettilinei ed Uniformi in un grafico spazio-tempo, osservo che su ogni singolo tratto la velocità vettoriale media $bar(v)$ viene calcolata normalmente con la formula, e che sull'intero percorso, invece, la velocità vettoriale media $bar(v)$ e la velocità scalare media $bar(u)$ vengono calcolate sia con la formula, sia come media ponderata (altra cosa che non capisco), ossia:
$bar(v)= sum_(i = 1)^(n)(v1t1+...+vntn)/(t1+...+tn)$
$bar(u)= sum_(i = 1)^(n)(|v1|t1+...+|vn|tn)/(t1+...+tn)$
Dulcis in fundo, studiando la legge oraria del Moto Uniformemente Accelerato, leggo che la velocità media (e credo, ma non voglio sbagliare, si riferisca alla velocità vettoriale media $bar(v)$) è la media aritmetica delle velocità iniziale e finale:
$bar(v)= (v0+v1)/2$
Spulciando sul forum, ho trovato una dimostrazione matematica per quest'ultimo fatto, ed io stessa, sfruttando, il teorema della media integrale ed il teorema di Weierstrass, ho cercato di fare altrettanto. Tuttavia, non riesco a capire cosa ci sia dietro dal punto di vista fisico, visto e considerato che la prima cosa che ho letto è stata che la velocità media non è la media delle velocità.
A questo punto mi chiedo: che sia un moto rettilineo uniforme, che sia un moto uniformemente accelerato, che sia un moto vario, quando posso calcolare la velocità vettoriale media $bar(v)$ e la velocità scalare media $bar(u)$ come media aritmetica? E quando posso calcolarle come media ponderata? Perchè?
Sperando vivamente che possiate aiutarmi, mi affido a Voi esperti. Mi scuso per essermi dilungata e ringrazio anticipatamente per il tempo dedicatomi.
Mi chiamo Aicha e sono nuova nel Forum.
Ho deciso di scrivere questo post dal momento che, studiando alcuni argomenti di cinematica, mi sono sorti alcuni dubbi su cui non sono riuscita a far luce, pur avendo consultato non uno, ma ben tre testi universitari.
Il punto è questo: in generale, so di poter calcolare la velocità vettoriale media $bar(v)$ come:
$bar(v)= (Delta s)/(Delta t)$
e la velocità scalare media $bar(u)$ come:
$bar(u)=(d)/(Delta t)$
dove $d$ è la distanza effettivamente percorsa e non lo spostamento.
Su internet leggo che la velocità media (non mi dice se quella vettoriale o scalare, e questa è la prima cosa che non capisco) non è la media aritmetica delle velocità (ma perchè?)
Ora, in un Moto Rettilineo Uniforme, la velocità è costante, quindi la velocità vettoriale media $bar(v)$ coincide con la velocità istantanea $v$. Ma corrispondendo anche lo spostamento e la distanza percorsa, coincidono anche la velocità vettoriale media $bar(v)$ e la velocità scalare media $bar(u)$. E questo mi è chiaro.
Rivedendo, però, un esempio svolto dal libro che prevedeva una "composizione" di Moti Rettilinei ed Uniformi in un grafico spazio-tempo, osservo che su ogni singolo tratto la velocità vettoriale media $bar(v)$ viene calcolata normalmente con la formula, e che sull'intero percorso, invece, la velocità vettoriale media $bar(v)$ e la velocità scalare media $bar(u)$ vengono calcolate sia con la formula, sia come media ponderata (altra cosa che non capisco), ossia:
$bar(v)= sum_(i = 1)^(n)(v1t1+...+vntn)/(t1+...+tn)$
$bar(u)= sum_(i = 1)^(n)(|v1|t1+...+|vn|tn)/(t1+...+tn)$
Dulcis in fundo, studiando la legge oraria del Moto Uniformemente Accelerato, leggo che la velocità media (e credo, ma non voglio sbagliare, si riferisca alla velocità vettoriale media $bar(v)$) è la media aritmetica delle velocità iniziale e finale:
$bar(v)= (v0+v1)/2$
Spulciando sul forum, ho trovato una dimostrazione matematica per quest'ultimo fatto, ed io stessa, sfruttando, il teorema della media integrale ed il teorema di Weierstrass, ho cercato di fare altrettanto. Tuttavia, non riesco a capire cosa ci sia dietro dal punto di vista fisico, visto e considerato che la prima cosa che ho letto è stata che la velocità media non è la media delle velocità.
A questo punto mi chiedo: che sia un moto rettilineo uniforme, che sia un moto uniformemente accelerato, che sia un moto vario, quando posso calcolare la velocità vettoriale media $bar(v)$ e la velocità scalare media $bar(u)$ come media aritmetica? E quando posso calcolarle come media ponderata? Perchè?
Sperando vivamente che possiate aiutarmi, mi affido a Voi esperti. Mi scuso per essermi dilungata e ringrazio anticipatamente per il tempo dedicatomi.
Risposte
Anche solo intuitivamente, salvo rare eccezioni, la velocità media non può essere uguale alla media delle velocità. Se così fosse, dopo aver proceduto molto lentamente per moltissimo tempo, basterebbe procedere molto velocemente per pochissimo tempo per portare la velocità media complessiva a un valore del tutto irrealistico. Insomma, il tempo durante il quale si è mantenuta una determinata velocità non può non avere una qualche rilevanza.
Grazie per la pronta risposta. Ma in quali casi, quindi, calcolare le due velocità come media aritmetica, ed in quali casi calcolarle come media ponderata?
Ciao Aicha e benvenuta nel forum.
Provo a risponderti anche io.
Sei molto accurata e precisa e questo è un bene, ma non devi esagerare perdendo di vista il concetto fisico di base. Questa è l'impressione che ho dai dubbi che hai scritto.
Provo a darti degli spunti.
Innanzitutto non ha senso fare una distinzione netta tra velocità scalare e vettoriale. La velocità è sempre un vettore e la velocità scalare è solo il suo modulo.
La velocità media è data dalla definizione che hai citato, cioè dal rapporto tra differenza di posizione (che in generale è un vettore) e il tempo intercorso tra le due posizioni assunte.
Il discorso della media lo capisco poco, media calcolata come poi?
Se intendiamo media aritmetica delle velocità istantanee iniziali e finali nell'intervallo è ovvio che questo non ha senso, visto che nell'intervallo la velocità può assumere qualunque valore.
Se intendiamo media integrale della velocità istantanea nell'intervallo, allora è vero che coinciderebbe con la media calcolata secondo la definizione, ma è uno spaccare il capello in 4, un po' inutile ai fini della comprensione.
Occhio poi che se consideri un moto a velocità uniforme o ad accelerazione uniforme si hanno dei casi particolari che non ti aiutano a chiarirti le idee in generale.
Provo a risponderti anche io.
Sei molto accurata e precisa e questo è un bene, ma non devi esagerare perdendo di vista il concetto fisico di base. Questa è l'impressione che ho dai dubbi che hai scritto.
Provo a darti degli spunti.
Innanzitutto non ha senso fare una distinzione netta tra velocità scalare e vettoriale. La velocità è sempre un vettore e la velocità scalare è solo il suo modulo.
La velocità media è data dalla definizione che hai citato, cioè dal rapporto tra differenza di posizione (che in generale è un vettore) e il tempo intercorso tra le due posizioni assunte.
Il discorso della media lo capisco poco, media calcolata come poi?
Se intendiamo media aritmetica delle velocità istantanee iniziali e finali nell'intervallo è ovvio che questo non ha senso, visto che nell'intervallo la velocità può assumere qualunque valore.
Se intendiamo media integrale della velocità istantanea nell'intervallo, allora è vero che coinciderebbe con la media calcolata secondo la definizione, ma è uno spaccare il capello in 4, un po' inutile ai fini della comprensione.
Occhio poi che se consideri un moto a velocità uniforme o ad accelerazione uniforme si hanno dei casi particolari che non ti aiutano a chiarirti le idee in generale.
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