Velocità e tensione nel pendolo
Buonasera ,vorrei riportare un piccolo esempio sul moto del pendolo, in particolare il calcolo della velocità e tensione massima.
Se ho un pendolo con una massa $M$ e una lunghezza del filo $L$ che oscilla con un certo angolo $\alpha$ , la velocità massima dovrebbe essere nel punto più basso, chiamato A, mentre zero nel punto più alto ,chiamato B.
Impostando la conservazione dell'energia : $M$ $g$ $h$= $1/2$ $M$ $v^2$ con $h$= $L$-$L cos alpha$
ottenendo una velocità = $\sqrt(2gL(1-cos alpha))$ ed essendo nella posizione verticale $alpha$=90° e il coseno zero posso scrivere $\sqrt(2gL)$
Mentre per la tensione, ho quella massima sempre nella posizione più bassa; ed è $T$A=$Mg+Mv^2/L$ che poi sostituendo il valore della velocità ottengo $Mg+2Mg=3Mg$
Vi scrivo perché ho avuto un po' di difficoltà a riguardo, in alcuni libri e in diversi esercizi sul pendolo. Il mio dubbio riguarda l'angolo $\alpha$ che devo considerare nel calcolo della velocità.
Vi ringrazio, se potete dirmi se il mio ragionamento è giusto o meno.
Se ho un pendolo con una massa $M$ e una lunghezza del filo $L$ che oscilla con un certo angolo $\alpha$ , la velocità massima dovrebbe essere nel punto più basso, chiamato A, mentre zero nel punto più alto ,chiamato B.
Impostando la conservazione dell'energia : $M$ $g$ $h$= $1/2$ $M$ $v^2$ con $h$= $L$-$L cos alpha$
ottenendo una velocità = $\sqrt(2gL(1-cos alpha))$ ed essendo nella posizione verticale $alpha$=90° e il coseno zero posso scrivere $\sqrt(2gL)$
Mentre per la tensione, ho quella massima sempre nella posizione più bassa; ed è $T$A=$Mg+Mv^2/L$ che poi sostituendo il valore della velocità ottengo $Mg+2Mg=3Mg$
Vi scrivo perché ho avuto un po' di difficoltà a riguardo, in alcuni libri e in diversi esercizi sul pendolo. Il mio dubbio riguarda l'angolo $\alpha$ che devo considerare nel calcolo della velocità.
Vi ringrazio, se potete dirmi se il mio ragionamento è giusto o meno.
Risposte
"luca2492":
ed essendo nella posizione verticale $alpha$=90° e il coseno zero posso scrivere $\sqrt(2gL)$
Non ti sembra un po' strano che la velocità sia quella che si avrebbe con una caduta dal punto si sospensione?
$alpha$ è l'angolo rispetto alla verticale, quindi nella posizione vartiale $alpha = 0$ e coseno 1.
Comunque, $alpha$ non è l'angolo in un posizione generica, ma quello di estensione massima, e la tua formula per la velocità nel punto più basso la devi lasciare così come è, con il suo $cos alpha$
Grazie per la risposta,quindi per l'angolo devo usare quello di massima estensione.Vorrei se possibile citare un esercizio che riguarda proprio questo argomento, in particolar modo la reazione vincolare massima esercitata dal soffitto sul perno del pendolo. Posso metterlo adesso o aspettare domani?
L'esercizio è questo: Un pendolo semplice di lunghezza $L$ e massa $M$=3kg oscilla appeso al soffitto con un ampiezza rispetto alla verticale di $\alpha$ =60° Calcolare la reazione vincolare massima esercitata dal soffitto sul perno.
Io ho cercato di risolverlo in questo modo:
ricavo la velocità nella posizione verticale tramite la conservazione dell'energia
$V$= $\sqrt(2gL(1-cos alpha))$
La reazione vincolare $T$ nella posizione verticale è = $Mg+M2g(1-cos alpha)$.
mentre per calcolare la reazione $N$ del soffitto ho impostato cosi: $-N+T-Mg=0$
e sostituendo ho $N$=$M2g(1-cos alpha)$
l'angolo per il calcolo di $N$ in questo caso però quale potrebbe essere? sempre quello di massima estensione?
Io ho cercato di risolverlo in questo modo:
ricavo la velocità nella posizione verticale tramite la conservazione dell'energia
$V$= $\sqrt(2gL(1-cos alpha))$
La reazione vincolare $T$ nella posizione verticale è = $Mg+M2g(1-cos alpha)$.
mentre per calcolare la reazione $N$ del soffitto ho impostato cosi: $-N+T-Mg=0$
e sostituendo ho $N$=$M2g(1-cos alpha)$
l'angolo per il calcolo di $N$ in questo caso però quale potrebbe essere? sempre quello di massima estensione?
"luca2492":
La reazione vincolare T nella posizione verticale è = $Mg+M2g(1-cos alpha)$.
mentre per calcolare la reazione $N$ del soffitto ho impostato cosi: $-N+T-Mg=0$
e sostituendo ho $N$=$M2g(1-cos alpha)$
l'angolo per il calcolo di $N$ in questo caso però quale potrebbe essere? sempre quello di massima estensione?
Il termine $M2g(1-cos alpha)$ rappresenta la forze centripeta? Ok.
Certo, l'angolo è quello di massima estensione, da quello dipende la velocità nel punto più basso
La ringrazio per la risposta, si il termine rappresenta la forza centripeta, le avevo fatto la domanda sull'angolo perché inserendo quello di massima estansione, che nell'esercizio é 60°,la reazione vincolare $N$ mi veniva diversa dal risultato che forniva l'esercizio; ma probabilmente dovrebbe essere sbagliato il risultato dell'esercizio.
Prova a riportare i tuoi calcoli e il risultato atteso
Riporto i miei calcoli:
Dai dati del testo riportato ho calcolato la tensione massima nel punto più in basso,dopo aver calcolato la velocità massima, nel seguente modo:
$TA-Mg=Mac$ $rarr$ $TA=Mg+Mv^2/L$ $rarr$ $TA=Mg+2Mg(1-cos alpha)$ ed inserendo il valore dell'angolo di 60° il valore di $TA=58,86$
Per trovare la reazione vincolare $N$ esercitata dal soffitto sul perno ho invece fatto:
$-N+TA-Mg=0$ $rarr$ $N=TA-Mg=58,86-29,43=29,43$
Questo è il mio risultato, mentre quello che da l'esercizio è $N= 58,8$
Ti ringrazio per l'attenzione.
Dai dati del testo riportato ho calcolato la tensione massima nel punto più in basso,dopo aver calcolato la velocità massima, nel seguente modo:
$TA-Mg=Mac$ $rarr$ $TA=Mg+Mv^2/L$ $rarr$ $TA=Mg+2Mg(1-cos alpha)$ ed inserendo il valore dell'angolo di 60° il valore di $TA=58,86$
Per trovare la reazione vincolare $N$ esercitata dal soffitto sul perno ho invece fatto:
$-N+TA-Mg=0$ $rarr$ $N=TA-Mg=58,86-29,43=29,43$
Questo è il mio risultato, mentre quello che da l'esercizio è $N= 58,8$
Ti ringrazio per l'attenzione.
La reazione del perno è solo -TA, il peso è gia "contato" entro la tensione del filo
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