Velocità di un cubetto scivolante lungo un piano inclinato scabro
Un cubetto P di massa $m$ scivola lungo il segmento AB disposto lungo un piano inclinato di un angolo $\alpha$ rispetto alla direzione orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico $\mu_{d}$ tra piano e cubetto passa dal valore $\mu_{max} = 1/2$ alla sommità (A) al valore zero alla base (B) secondo una legge del tipo $\mu_{d}(s) = \mu_{0} - ks^(2)$, ove $\mu_{0}$ e $k$ sono costanti positive e $s$ è la distanza da A di un generico punto di AB. Sapendo che $tan(\alpha) = 3/4$ e che P è partito da fermo in A, calcolare il modulo $v$ della sua velocità all'istante in cui arriva nel punto B, in termini di $g$ e della variazione di quota $h$ tra A e B.
$\mu_{0} = 1/2$
$ABsin(\alpha) = h $ perciò $AB = 5/3h$
Inoltre $k = 9/50h^(2)$
Trovo la forza che agisce lungo la direzione del piano inclinato, in funzione di $s$. Essa è data dalla proiezione della forza peso meno la forza di attrito.
$ F(s) = mgsin(\alpha) -mg(1/2 - ks^2)$ quindi
$ F(s) = mg(1/10 + 9/(50h^2)s^2)$
Calcolo il lavoro svolto durante il percorso AB
$L_{AB} = \int^(AB) F(s) ds$
[...]
$L_{AB} = 4/9mgh$
Perciò, eguagliando tale valore a quello dell'energia cinetica in B ottengo
$1/2mv^2 = 4/9mgh$
$v = \sqrt (8/9gh)$
Ma il libro riporta il valore $v = \sqrt (10/9gh)$
Ci sono errori concettuali nel procedimento secondo voi oppure devo aver commesso qualche errore di calcolo? Ho ricontrollato i calcoli e il procedimento molte volte e non riesco a venirne a capo
Casomai vi servissero posso mostrarvi i calcoli per esteso delle parti che vi interessano.Grazie in anticipo a chi vorrà aiutarmi
Risposte
Tanto per cominciare direi ci sia qualcosa che non va sia nel k sia in quella F(s) ... prova a ricontrollarla. 
"RenzoDF":
Tanto per cominciare direi ci sia qualcosa che non va sia nel k sia in quella F(s) ... prova a ricontrollarla.
Allora
$sin(tan^(-1)(3/4)) = 3/5 = sin(\alpha)$
$AB = h/sin(\alpha) = 5/3h $
$\mu_{d}(B) = 1/2 -k(AB)^2 = 0$
$ k(AB)^2 = 1/2 $
$25/9(h^2)k = 1/2 $
$k = 9/(50(h^2)) $
Non riesco sul serio a capire dove sbaglio
Ma presumo di star sbagliando 
"NM8":
...
Inoltre $k = 9/50h^(2)$
Scusa ma avevo visto questa e non la successiva, ma in quella F(s) non mi sembra tu abbia sommato delle forze, no?
Ed infine nella relazione finale direi tu non possa uguagliare il lavoro all'energia cinetica in B.
"RenzoDF":
[quote="NM8"]...
Inoltre $k = 9/50h^(2)$
Scusa ma avevo visto questa e non la successiva, ma in quella F(s) non mi sembra tu abbia sommato delle forze, no?
Ed infine nella relazione finale direi tu non possa uguagliare il lavoro all'energia cinetica in B.[/quote]
Per quel che riguarda la forza chiedo scusa, ho sbagliato a scrivere.
Ho inserito questa come forza:
$ F(s) = mgsin(\alpha) - 1/2 + ks^2$
mentre quella che ho utilizzato nei miei calcoli è questa (che ora riporterò anche nel post principale)
$ F(s) = mgsin(\alpha) -mg(1/2 - ks^2)$
Ovvero la proiezione della forza peso meno la forza di attrito. In questa forma è corretta vero?
Perché non posso eguagliare l'energia cinetica al lavoro? Nella fase iniziale il corpo ha un energia cinetica nulla in quanto fermo, dopodiché le forze su di esso agenti compiono lavoro e mutano così la sua velocità, no?
Ciao
io l'ho svolto con la conservazione dell'energia e risulta correttamente:
$ k=9/(50h^2) $
$ Ui+L=Kf $
In cui L è negativo
io l'ho svolto con la conservazione dell'energia e risulta correttamente:
$ k=9/(50h^2) $
$ Ui+L=Kf $
In cui L è negativo
"NM8":
...
mentre quella che ho utilizzato nei miei calcoli è questa (che ora riporterò anche nel post principale)
$ F(s) = mgsin(\alpha) -mg(1/2 - ks^2)$
Ovvero la proiezione della forza peso meno la forza di attrito. In questa forma è corretta vero?
Direi di no, la forza di attrito dipende solo dalla componente normale (al piano) della forza peso.
"NM8":
...Perché non posso eguagliare l'energia cinetica al lavoro?
Si si scusa, sai ... non mi sono ancora svegliato del tutto.
"Maschinna":
Ciao
io l'ho svolto con la conservazione dell'energia e risulta correttamente:
$ k=9/(50h^2) $
$ Ui+L=Kf $
In cui L è negativo
Non mi è ben chiaro $U_{i}$. E' il potenziale gravitazionale?
@Renzo
Tranquillo, è il primo dell'anno
Comunque non mi è chiara la critica riguardo la formula della forza che ho scritto: il corpo è soggetto ad una forza che lo dirige lungo la direzione del piano, ovvero $mgsin(\alpha)$, mentre il piano, essendo scabro, esplica una forza lungo la stessa direzione. Il modulo di tale forza è dato dal prodotto scalare fra la forza peso $mg$ e il coefficiente di attrito dinamico, che dipende da $s$, no?
"NM8":
... mentre il piano, essendo scabro, esplica una forza lungo la stessa direzione. Il modulo di tale forza è dato dal prodotto scalare fra la forza peso $mg$ e il coefficiente di attrito dinamico, che dipende da $s$, no?
Scusa ma da quando in qua il coefficiente d'attrito è diventato una grandezza vettoriale?
Non vorrei sembrare troppo insistente, ma ricordo che "ai miei tempi", per calcolare la forza di attrito si usava la sola componente normale della forza peso, se poi oggigiorno le regole son cambiate mi scuso per il mancato aggiornamento in materia.
BTW ho provato proprio ora a buttar giù due conti in fretta e ottengo proprio il risultato del libro.
"RenzoDF":
[quote="NM8"]... mentre il piano, essendo scabro, esplica una forza lungo la stessa direzione. Il modulo di tale forza è dato dal prodotto scalare fra la forza peso $mg$ e il coefficiente di attrito dinamico, che dipende da $s$, no?
Non vorrei sembrare troppo insistente, ma ricordo che "ai miei tempi", per calcolare la forza di attrito si usava la sola componente normale della forza peso, se poi oggigiorno le regole son cambiate mi scuso per il mancato aggiornamento in materia.[/quote]
Beh non credo siano cambiate
Credo ci sia giusto una qualche incomprensione fra di noiQuello che riporta il mio libro è che $\mu_{d} = (R_{t}/R_{n}) $ dove il numeratore è la forza esercitata dall'attrito in contrapposizione al moto, mentre il denominatore è la reazione normale ovvero $mg$.
Comunque se trovi il risultato giusto devo essere io in errore evidentemente
Qual è perciò l'equazione che tu usi per la forza?
"NM8":
... mentre il denominatore è la reazione normale ovvero $mg$.
Normale a chi?
"RenzoDF":
Non vorrei sembrare troppo insistente, ma ricordo che "ai miei tempi", per calcolare la forza di attrito si usava la sola componente normale della forza peso, se poi oggigiorno le regole son cambiate mi scuso per il mancato aggiornamento in materia.
No, no, Renzo, insisti pure. E' come dici tu. Auguri di buon anno a tutti!
"professorkappa":
... No, no, Renzo, insisti pure. E' come dici tu. Auguri di buon anno a tutti!
Grazie professorkappa cominciavo davvero a preoccuparmi
, sai, l'età oramai comincia a fare brutti scherzi! Augurissimi anche a te!
"RenzoDF":
[quote="NM8"]... mentre il denominatore è la reazione normale ovvero $mg$.
Normale a chi?[/quote]
Ok comincio a capire dove sbaglio, effettivamente senza accorgermene stavo pensando ad un piano non inclinato
Beh, ormai è evidente che ho torto
Ti andrebbe di scrivermi la formula che esprime la forza nel modo corretto, sto facendo parecchia confusione a riguardo
"RenzoDF":
[quote="professorkappa"]... No, no, Renzo, insisti pure. E' come dici tu. Auguri di buon anno a tutti!
Grazie professorkappa cominciavo davvero a preoccuparmi
, sai, l'età oramai comincia a fare brutti scherzi! Augurissimi anche a te![/quote]
A chi lo dici...
"NM8":
... Ti andrebbe di scrivermi la formula che esprime la forza nel modo corretto, sto facendo parecchia confusione a riguardo
Scusami ma, come hai correttamente fatto per calcolare la componente parallela al piano (inclinato) così, di sicuro, sarai in grado di calcolarti anche quella normale al piano inclinato, senza aver bisogno che te la suggerisca io.
Se per la prima hai usato il seno per la seconda si userà il ...
Ok ce l'ho fatta 
ora il risultato è giusto!
In effetti era una richiesta un po' ridicola, ma ormai mi sono un po' fuso il cervello! Grazie per la pazienza e buon anno a tutti
ora il risultato è giusto!In effetti era una richiesta un po' ridicola, ma ormai mi sono un po' fuso il cervello! Grazie per la pazienza e buon anno a tutti
Di nulla e Buon 2015 anche a te,
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