Velocità della luce in RG

[nomeFantasioso]

Ho sentito online che in relatività generale la velocità della luce non è uguale per tutti ma cambia in caso di frame non inerziali.
Mi fate un esempio capibile anche da chi non ne sa nulla?

[Shackle]

Ciao. Sei appena iscritto al forum, e fai domande così impegnative? Ma è lecito fare tutte le domande che si vuole però se non ne sai proprio niente è un po’ difficile rispondere.
Permettimi prima di chiedere : che cosa sai della velocità della luce nei riferimenti inerziali, ?

Questo può essere di aiuto.

[nomeFantasioso]

So che la velocità della luce è uguale per tutti nei frame inerziali, come postulato. Cosa verificata sperimentalmente dall'esperimento di Michelson-Morley.
Ho sentito invece che se uno degli osservatori sta accelerando allora la velocità della luce dipende dalla distanza e dall'accelerazione e che può variare da 0 ad infinito. Inoltre ho sentito che la velocità della luce va misurata localmente in RG proprio per questo problema.
Comunque non preoccuparti, prova a spiegare e ti dico io cosa non ho capito della spiegazione.

[Shackle]

Ho sentito invece che se uno degli osservatori sta accelerando allora la velocità della luce dipende dalla distanza e dall'accelerazione e che può variare da 0 ad infinito. Inoltre ho sentito che la velocità della luce va misurata localmente in RG proprio per questo problema.
......

Provo a dire qualcosa, anche se vedo dall’altro thread che hai difficoltà con la geometria differenziale, e allora diventa tutto più difficile. Dapprima però ti indirizzo verso un libro di alta divulgazione, scritto cento anni fa da Arthur Eddington, questo
che si raccomanda da solo ad occhi chiusi. Ce l’ho da quando è uscito per la prima volta nella collana della Boringhieri, pensa, e ogni tanto lo riprendo e rileggo qualche passo , e mi meraviglio d scoprire cose nuove.

Detto questo, ho citato prima una tua frase : chi ti ha detto quello, o dove lo hai letto? Non è vero, è fuorviante, detto così . Immagino che tu non stia parlando della espansione dello spaziotempo, lí le cose sono alquanto più complicate.

Qui c’è una FAQ interessante da leggere, in particolare il paragrafo “General relativity “ :

http://math.ucr.edu/home/baez/physics/R ... light.html

LA velocità della luce localmente è sempre uguale a $c$ , ma per capirlo occorre chiarire dei punti.

Alla base della RG c’è il Principio di equivalenza, che si può enunciare a questa maniera :

In ogni punto dello spaziotempo, si può immaginare un riferimento inerziale locale ( LIF in inglese) , supponiamo una cassa ( Einstein parlava proprio di questo , in un suo famoso libro divulgativo che contiene un capitolo sulla RG ) , abbandonata al campo gravitazionale ivi esistente, in cui le leggi della fisica sono quelle della Relatività ristretta.

Questo è il significato dell’ascensore di Einstein in caduta libera di cui hai sentito parlare, nel quale quindi la luce si propaga in linea retta , e con velocità uguale a $c \approx 300.000 (km)/s$ . La relatività ristretta si basa su due postulati ; il primo è il Principio di relatività , esteso a tutte le leggi della fisica, non solo a quelle della meccanica ; il secondo è appunto l’invarianza della velocità della luce rispetto a tutti gli osservatori inerziali, nel vuoto; in pratica la velocità della sorgente luminosa rispetto a un OI non conta ( ma occorre adottare tutte le cautele del caso qui !) .
Maggiori informazioni le trovi in questo link , da me postato in Novembre 2019 .

La velocità della luce si misura localmente quindi, perché “localmente” , cioè in un LIF, puoi approssimare lo spaziotempo della RG , curvato dalla materia-energia, con uno spaziotempo piatto, dove le leggi della fisica, ripeto, sono quelle della RR . Per dirla molto alla buona, é come quando, in un certo punto P di una superficie bidimensionale curva (di una sfera, o un ellissoide, o un uovo o una pera...) approssimi localmente la superficie stessa con un pezzetto del piano tangente , ammesso che questo piano esista. Naturalmente tutto questo che ti racconto ha una precisa veste matematica, su cui non mi soffermo perché altrimenti scriverei un capitolo di un libro di RG , e dovrei riempire il thread di formule di geometria differenziale, con la quale mi sembra tu non vada tanto d’accordo. E in RR la velocità della luce nel vuoto è sempre uguale a $c$ ,

Ma qualche formuletta devo pure metterla, altrimenti i puristi mi attaccano. Una formuletta molto semplice è quella che dá l’elemento lineare $ds^2$ , altrimenti detto “metrica” dello ST :

$ds^2 = g_(munu) dx^\mu*dx^\nu$

in questa formuletta, $ds$ rappresenta un pezzetto elementare di linea di universo nello ST , i coefficienti $g_(munu)$ sono i coefficienti della metrica , funzione delle 4 coordinate spazio-temporali $dx^\alpha$ , dove l’indice greco posto in alto varia da $0$ a $4$ . Di solito l’indice $0$ si usa per la variabile tempo, gli altri tre indici si riferiscono alle tre coordinate spaziali.
Lo scopo della RG è sostanzialmente quello di trovare la metrica, e quindi come si muovono le particelle materiali e le particelle non dotate di massa , come i fotoni, in uno spaziotempo curvato da materia- energia. La particelle non sottoposte a forze ( la gravità non è una forza in RG, è quella proprietà dello spaziotempo che determina la curvatura dello stesso, dovuta alla presenza di materia ed energia) seguono delle traiettorie che sono dette “geodetiche” . Anche la luce segue geodetiche nello ST , e le geodetiche di tipo luce soddisfano questa "semplice” condizione, anche se lo ST è curvo :

$ds^2 = 0 $

ho messo “semplice” tra virgolette, perché in effetti non è tanto semplice ! Ma ci vorrebbe un corso completo di RG , per capire tutto per benino.

Per tornare al discorso di base, una geodetica di tipo luce, emessa per esempio da una stella lontana, che fa quando passa vicino ad una massa, come ad esempio quella del Sole? Fa una cosa che la meccanica newtoniana non è in grado di prevedere, e del resto non ci aspetteremmo affatto : si incurva ! Non ce lo aspetteremmo, perché i fotoni sono privi di massa, e come fa una particella priva di massa a seguire una traiettoria curva , come se sentisse la forza di attrazione gravitazionale della massa che crea il campo gravitazionale ( il Sole , ma qualunque altro corpo celeste massivo) ? Tieni presente che “curvatura” di una traiettoria vicino ad una massa significa “accelerazione” ,in base al principio di equivalenza. I pianeti seguono traiettorie curve attorno al Sole perché sentono l’accelerazione centripeta, a parte il fatto che questa varia con la distanza , essendo la traiettoria una ellisse e non una circonferenza.

A prevedere e spiegare la curvatura del raggio di luce vicino che passa radente a una massa fu Einstein (ma prima di lui, e con lui, avevano lavorato anche altri autorevoli scienziati). Il fotone non curva perché sente l’attrazione gravitazionale del Sole, bensì perché segue la strada piu “breve” ( e qui ci vorrebbero altre spiegazioni, sul significato di questo aggettivo !) passando vicino al Sole. Il fotone non fa altro che seguire il percorso che la curvatura dello ST determinata dal Sole impone allo ST stesso. E ragionando su questo, con la matematica sofisticata della geometria differenziale che a te non piace, Einstein riuscí a determinare il valore della deflessione della luce che passava radente al Sole.

Se vuoi un calcolo della deflessione gravitazionale della luce nel campo debole del Sole, dai un’occhiata a questo thread

La immagini sotto spoiler non ci sono più , ma non posso farci nulla.

Qui ci sono degli approfondimenti, ma c’è abbastanza matematica :

https://www.mathpages.com/rr/s6-03/6-03.htm
https://www.mathpages.com/rr/s8-09/8-09.htm

Quando il campo gravitazionale è molto intenso, come ad es nello ST esterno ad un buco nero di Schwarzschild, di raggio $R_s$ , la luce , ad una coordinata spaziale ( non la chiamo distanza, c’è il motivo...) dalla singolarità centrale pari a $1.5R_s$ , addirittura è vista girare attorno in circolo , da un osservatore molto distante dal BN ( ma queste sono questioni molto piu complesse).

Mi fermo qui perchè ho già scritto molto, e la roba da digerire è parecchia. C’è anche un altro effetto di cui dovrei parlare , ed é lo “ Shapiro time delay” , ma magari lo faccio un’altra volta.

[nomeFantasioso]

grazie
Il secondo link credo che risponda alla mia domanda.
In pratica dice che la luce va misurata nel frame inerziale definito con metri e orologi sincronizzati alla Einstein, ed in quel caso è sempre c. Non è c se la si misura da un frame non inerziale.

1)Quello che mi lascia un pò perplesso è che io sapevo che tutti devono misurare la stessa velocità della luce perchè essa stessa è la velocità della causalità e se così non fosse si creerebbero paradossi in cui il futuro influenza il passato.
Inoltre c è una costante presente nelle equazioni di Maxwell, se un osservatore misura una velocità della luce che non è c, come può applicare le equazioni di Maxwell?

2)Mi spieghi questo esperimento:
Se ho una circonferenza che ruota -nel senso della circonferenza- fatta con una fibra ottica ed in un punto della stessa emetto della luce che può andare sia da un lato che dall'altro cosa succede?
Un osservatore esterno che vede? Ed uno non inerziale vincolato alla fibra che ruota-posto dal punto opposto al punto dove viene emessa la luce-?

PS: ho capito che lo spaziotempo in RG è una varietà differenziabile, che sarebbe uno spazio con determinate proprietà a cui ci si può appiccicare ad ogni punto un sistema di coordinate di lorentz. Il tensore metrico,sebbene io non sappia bene cosa siano i tensori, sarebbe una funzione che prende in input 2 vettori e ti dice come fare il prodotto scalare nel sistema di coordinate lorenziane appiccicato al punto della varietà che si prende in considerazione

[Shackle]

In pratica dice che la luce va misurata nel frame inerziale definito con metri e orologi sincronizzati alla Einstein, ed in quel caso è sempre c. Non è c se la si misura da un frame non inerziale.

Ti riferisci alla FAQ del sito di Baez ? Fai attenzione, non dice questo. Leggi attentamente tutto; la velocità della luce, misurata localmente ( cioè vicino a te) , è sempre uguale a $c$ ; c’è un bell’esempio di un osservatore sul pavimento di una stanza , che misura $c$ vicino a lui, e un altro attaccato al soffitto della stanza, che misura sempre $c$ vicino a lui. Ma un “osservatore globale” direbbe che la velocità vicino al soffitto è maggiore di quella vicino al pavimento:

within the bounds of how well the speed can be defined (discussed below, in the General Relativity section), a "global" observer can say that ceiling light does travel faster than floor light.


la realtà é che per misurare $c$ localmente dobbiamo avere sempre il solito riferimento inerziale, il solito reticolato (lattice in inglese) di regoli e orologi a cui si fa riferimento quando si parla di spaziotempo piatto in RR, e nell’esempio che sta portando l’autore il riferimento non è inerziale, si tratta di una stanza in un razzo accelerato, dove quindi c’è un diverso andamento del tempo tra soffitto e pavimento della stanza, che ha come conseguenza, dal punto di vista di un osservatore globale, misure diverse di $c$ tra pavimento e soffitto.
E un’altra importante considerazione che occorre fare è che in RG non possiamo paragonare vettori, ad es velocità tridimensionali, in punti dello spazio distanti tra loro, per esempio non è possiamo parlare di vettore velocità della Luna rispetto al nostro laboratorio terrestre, non siamo in meccanica newtoniana.
Lo so, non sono idee facilmente accettabili e digeribili di primo acchito. Ci ho messo del tempo per capire certe cose, ma tutto diventa più chiaro se si accetta l’idea di base del principio di equivalenza di Einstein (EEP) .

Inoltre c è una costante presente nelle equazioni di Maxwell, se un osservatore misura una velocità della luce che non è c, come può applicare le equazioni di Maxwell?

Il discorso è sempre quello : $c$ è una costante fondamentale della fisica, che si ricava dalle equazioni di Maxwell come velocità di propagazione di onde elettromagnetiche, ma il riferimento è sempre quello inerziale locale; pensa solo questo: i fotoni hanno massa nulla, come mai la geodetica di tipo luce si inflette passando radente ad una massa? La colpa é della curvatura dello ST indotta dalla massa, il diverso scorrere del tempo e la deformazione dello spazio vicino a una massa. Ti ho messo due link presi da “Reflections on relativity” , dovrebbero bastare. Se riporto la metrica dello ST di Schwarzschild nello spazio vuoto di materia attorno a un BH, posso farti vedere come agisce la curvatura sulla deflessione di una onda e.m. , cioè di un raggio luminoso. MA non lo faccio per evitare tante equazioni, lo puoi trovare in numerose dispense sul web, o in corsi di RG.

L’altra cosa che chiedi non è altro che il famoso esperimento di Sagnac. Qui non faccio altro che darti due link.

Nel primo , questo Effetto Sagnac , l’effetto è trattato sia dl punto di vista della RR che da quello della RG.

Il secondo è preso da qui : https://www.mathpages.com/rr/rrtoc.htm

ed è questo

Tutta la dispensa delle Reflections merita una lettura, ma da sorbire un po’ per volta, come le medicine. Nelle appendici c’è qualche elemento di calcolo tensoriale. Ma se la materia ti interessa, ti conviene cercare un corso di RG sul web, dentro ci trovi pure il calcolo tensoriale che ti serve. Per esempio, a me piace molto il sito di Andrew Hamilton, dove c’è molto di più di un semplice corso di relatività:

https://jila.colorado.edu/~ajsh/

ci sono degli appunti scritti a mano veramente fantastici, e c’è anche un corso (draft) che il professore mai si decide a pubblicare come libro.