Velocità assoluta, relativa e di trascinamento
Salve,
Ho un piccolo dubbio. Abbiamo un sistema di N punti materiali; e voglio calcolare la velocità relativa di uno di questi punti rispetto al centro di massa di tale sistema.
Rimaniamo sul piano per semplicità; dal calcolo vettoriale posso sempre scrivere:
$vecrho_i=vecr_i-vecr$ con $vecrho_i$ posizione relativa del punto i-esimo, $vecr_i$ posizione assoluta del punto i-esimo e $vecr$ posizione del centro di massa (assoluta)
Derivando la relazione vettoriale ottengo: $dotvecrho_i=dotvecr_i-dotvecr$ cioè, ho: $dotvecrho_i=vecv_i-vecv_G$ dove $G$ è il centro di massa. Fin qui tutto ok.
Ho poi pensato di calcolare, giusto per vedere se tutto tornava, la velocità relativa mediante la relazione dei moti relativi: $vecv_i=vecv_(i_(text(trascinamento)))+vecv_(i_(text(relativa)))leftrightarrowvecv_(i_(text(relativa)))=vecv_i-vecv_(i_(text(trascinamento)))$
Confrontando questa ultima equazione con quella ottenuta derivando la relazione iniziale sembra evidente che, essendo $vecv_(i_(text(relativa)))=dotvecrho_i$ sia $vecv_(i_(text(trascinamento)))=vecv_G$
In realtà in generale, si può dimostrare che $vecv_(i_(text(trascinamento)))=vecv_G+vecomega X vecrho_i$ dove $vecomega$ è la velocità angolare con cui sta ruotando (istantaneamente) il sistema di riferimento mobile con origine in $G$.
Ora viene il problema: se io, come sistema di riferimento mobile, ne scelgo uno tale che uno dei due assi sia sempre diretto verso il punto i-esimo, allora $vecomeganevec0$ e non è vero che $vecv_(i_(text(trascinamento)))=vecv_G$ (e di conseguenza che $dotvecrho_i=vecv_i-vecv_G$)
Ho un piccolo dubbio. Abbiamo un sistema di N punti materiali; e voglio calcolare la velocità relativa di uno di questi punti rispetto al centro di massa di tale sistema.
Rimaniamo sul piano per semplicità; dal calcolo vettoriale posso sempre scrivere:
$vecrho_i=vecr_i-vecr$ con $vecrho_i$ posizione relativa del punto i-esimo, $vecr_i$ posizione assoluta del punto i-esimo e $vecr$ posizione del centro di massa (assoluta)
Derivando la relazione vettoriale ottengo: $dotvecrho_i=dotvecr_i-dotvecr$ cioè, ho: $dotvecrho_i=vecv_i-vecv_G$ dove $G$ è il centro di massa. Fin qui tutto ok.
Ho poi pensato di calcolare, giusto per vedere se tutto tornava, la velocità relativa mediante la relazione dei moti relativi: $vecv_i=vecv_(i_(text(trascinamento)))+vecv_(i_(text(relativa)))leftrightarrowvecv_(i_(text(relativa)))=vecv_i-vecv_(i_(text(trascinamento)))$
Confrontando questa ultima equazione con quella ottenuta derivando la relazione iniziale sembra evidente che, essendo $vecv_(i_(text(relativa)))=dotvecrho_i$ sia $vecv_(i_(text(trascinamento)))=vecv_G$
In realtà in generale, si può dimostrare che $vecv_(i_(text(trascinamento)))=vecv_G+vecomega X vecrho_i$ dove $vecomega$ è la velocità angolare con cui sta ruotando (istantaneamente) il sistema di riferimento mobile con origine in $G$.
Ora viene il problema: se io, come sistema di riferimento mobile, ne scelgo uno tale che uno dei due assi sia sempre diretto verso il punto i-esimo, allora $vecomeganevec0$ e non è vero che $vecv_(i_(text(trascinamento)))=vecv_G$ (e di conseguenza che $dotvecrho_i=vecv_i-vecv_G$)
Risposte
Qui c’è una breve introduzione alla cinematica relativa:
http://iemma.ing.uniroma3.it/node75.html
L’argomento è stato discusso spesso nel forum.
Questo non è chiaro .
http://iemma.ing.uniroma3.it/node75.html
L’argomento è stato discusso spesso nel forum.
Ora viene il problema: se io, come sistema di riferimento mobile, ne scelgo uno tale che uno dei due assi sia sempre diretto verso il punto i-esimo, allora ω⃗≠0⃗ e non è vero che v⃗itrascinamento=v⃗G (e di conseguenza che ρ⃗.i=v⃗i−v⃗G)
Questo non è chiaro .
"Shackle":
Qui c’è una breve introduzione alla cinematica relativa:
http://iemma.ing.uniroma3.it/node75.html
L’argomento è stato discusso spesso nel forum.
Ora viene il problema: se io, come sistema di riferimento mobile, ne scelgo uno tale che uno dei due assi sia sempre diretto verso il punto i-esimo, allora ω⃗≠0⃗ e non è vero che v⃗itrascinamento=v⃗G (e di conseguenza che ρ⃗.i=v⃗i−v⃗G)
Questo non è chiaro .
In altre parole il sistema di riferimento mobile lo scelgo in modo che esso (con origine in $G$) ruoti insieme al punto i-esimo. Come nel secondo disegno, istante per istante.
Continuo a non capire. Il punto $i$ chi è? E $G$ è il centro di massa di un sistema di punti materiali come $i$ , non connessi tra loro da un vincolo di “corpo rigido “ ? In questo caso, il centro di massa è variabile nel tempo rispetto al riferimento assoluto in maniera non bene definita.
In generale, si considera il caso di un corpo rigido. con un ben definito G, e un sistema di coordinate con origine in G e collegato rigidamente al corpo. Immagina una pietra scagliata da una mano. Allora il sistema di coordinate detto è dotato di moto roto-traslatorio rispetto ad un riferimento fisso, e il moto del cr può anche essere molto complicato. Valgono comunque le due equazioni cardinali della dinamica. L ‘origine del riferimento mobile può anche essere diversa da G.
Quando hai un sistema di particelle non connesse in moto, come nel caso di un fluido, a volte si parla di un “volumetto elementare “ come rigido, e se ne considera il centro di massa e altre quantità meccaniche. Ma i problemi del moto dei fluidi sono ben altri .
Quando hai un sistema di particelle non connesse in moto, come nel caso di un fluido, a volte si parla di un “volumetto elementare “ come rigido, e se ne considera il centro di massa e altre quantità meccaniche. Ma i problemi del moto dei fluidi sono ben altri .
Ho capito, quindi evidentemente il problema era proprio nel considerare un sistema mobile applicato a un singolo punto materiale. Ti ringrazio
Intendiamoci bene : non é che in meccanica non si possano considerare sistemi di punti materiali, non collegati tra loro, in moto rispetto ad un dato riferimento “assoluto” . Ma ogni punto materiale ha 3 gradi di libertà, quindi per un sistema di N punti i gradi di libertà del sistema sono 3N . Il problema si complica a mano a mano che aumenta il numero di particelle.
Puoi certamente definire il centro di massa G del sistema, e calcolarne la velocità come media pesata delle velocità dei singoli punti del sistema. Puoi calcolarne la quantità di moto; puoi calcolarne il momento della quantità di moto rispetto ad un dato polo, eccetera.
Ma ciò che lascia perplessi nel tuo dubbio è la pretesa che uno degli assi coordinati punti sempre da G verso la i-esima particella: questo non lo capisco.
Nel caso del corpo rigido invece, i gradi di libertà sono soltanto 6 , che è pure elevato, ma non certo come 3N, che appena N>2 può diventare proibitivo.
Invece nulla vieta di assumere nel corpo rigido un riferimento solidale, con origine in G e uno degli assi passante per un punto P determinato.
Se fai una ricerca sul web digitando “sistema di punti materiali “ trovi tanto materiale didattico. Ho scelto i seguenti :
http://www.dmf.unisalento.it/~panareo/D ... istemi.pdf
https://it.wikiversity.org/wiki/Dinamic ... _materiali
https://www.corsi.univr.it/documenti/Oc ... 492491.pdf
https://www.fisica.uniud.it/~cobal/Lezi ... isicaI.pdf
http://www.batmath.it/fisica/0-appunti_ ... is_mat.pdf
Nel forum ho trovato invece alcune semplici discussioni interessanti :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8464245
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... i#p8402151
Puoi certamente definire il centro di massa G del sistema, e calcolarne la velocità come media pesata delle velocità dei singoli punti del sistema. Puoi calcolarne la quantità di moto; puoi calcolarne il momento della quantità di moto rispetto ad un dato polo, eccetera.
Ma ciò che lascia perplessi nel tuo dubbio è la pretesa che uno degli assi coordinati punti sempre da G verso la i-esima particella: questo non lo capisco.
Nel caso del corpo rigido invece, i gradi di libertà sono soltanto 6 , che è pure elevato, ma non certo come 3N, che appena N>2 può diventare proibitivo.
Invece nulla vieta di assumere nel corpo rigido un riferimento solidale, con origine in G e uno degli assi passante per un punto P determinato.
Se fai una ricerca sul web digitando “sistema di punti materiali “ trovi tanto materiale didattico. Ho scelto i seguenti :
http://www.dmf.unisalento.it/~panareo/D ... istemi.pdf
https://it.wikiversity.org/wiki/Dinamic ... _materiali
https://www.corsi.univr.it/documenti/Oc ... 492491.pdf
https://www.fisica.uniud.it/~cobal/Lezi ... isicaI.pdf
http://www.batmath.it/fisica/0-appunti_ ... is_mat.pdf
Nel forum ho trovato invece alcune semplici discussioni interessanti :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8464245
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... i#p8402151
"Shackle":
Ma ciò che lascia perplessi nel tuo dubbio è la pretesa che uno degli assi coordinati punti sempre da G verso la i-esima particella: questo non lo capisco.
Più che una pretesa l'idea era di "provocare" il sistema, per vedere se scegliendo proprio qualunque sistema di riferimento mobile tutto tornava.
Nel senso che, io quando scelgo il sistema di riferimento mobile dovrei avere massima libertà. Per cui volevo vedere se trovavo un sistema di rif. mobile tale che $v_(i_(text(trascinamento)))=v_G$ non sia vera
"Shackle":
Invece nulla vieta di assumere nel corpo rigido un riferimento solidale, con origine in G e uno degli assi passante per un punto P determinato.
Ecco, la mia idea era esattamente questa ma generalizzata per un iesimo punto materiale appartenente a un generico insieme, con sistema mobile solidale con $G$.
Sarebbe un sistema di particelle strano, in cui una particella particolare si trova sempre sulla stessa semiretta spiccata da G. Ma tutte le particelle hanno 3 gradi di libertà, non riesco ad immaginare il sistema anzidetto.
Ma poi, a che cosa serve un riferimento mobile con origine in G e assi orientati in modo arbitrario? Praticamente a niente. Di solito, per sistemi di particelle, si assume il riferimento con origine in G e assi paralleli a quelli del riferimento assoluto, allo scopo di definire quantità meccaniche del sistema. Nel caso del corpo rigido, si assume l’origine in G e gli assi centrali di inerzia, ovviamente solidali al cr .
Leggi qualcuna delle dispense che ho messo come link.
Ma poi, a che cosa serve un riferimento mobile con origine in G e assi orientati in modo arbitrario? Praticamente a niente. Di solito, per sistemi di particelle, si assume il riferimento con origine in G e assi paralleli a quelli del riferimento assoluto, allo scopo di definire quantità meccaniche del sistema. Nel caso del corpo rigido, si assume l’origine in G e gli assi centrali di inerzia, ovviamente solidali al cr .
Leggi qualcuna delle dispense che ho messo come link.
@AnalisiZero
Non capisco il dubbio iniziale, lo hai osservato anche tu che la $vec omega$ non è zero, e in tal caso non è vero che la velocità di un punto sia semplicemente pari alla somma di velocità relativa al sistema mobile e di trascinamento del sistema mobile .
La posizione di un punto $P$ rispetto al sistema fisso la indichiamo con
$\vec (R)= \vec(r) + \vec (R_0)$
dove $vec(r)$ è la posizione del punto $P$ nel sistema di riferimento relativo (in generale rotante) e $vec(R_0)$ la posizione dell'origine del sistema di riferimento relativo in moto rispetto al fisso.
Derivando la posizione del punto $P$ rispetto al tempo otteniamo la velocità:
$vec(v)=vec(v_r)+vec(omega) \times vec(r) + vec(v_0)$
(applichiamo la derivazione di Poisson ogni volta che dobbiamo derivare un vettore nel sistema di riferimento relativo in moto in cui occorre tener conto che i versori possono ruotare).
Osserva che un conto è parlare della velocità relativa di un punto rispetto a un altro, cosa diversa è parlare della velocità relativa a un sistema di riferimento.
Non capisco il dubbio iniziale, lo hai osservato anche tu che la $vec omega$ non è zero, e in tal caso non è vero che la velocità di un punto sia semplicemente pari alla somma di velocità relativa al sistema mobile e di trascinamento del sistema mobile .
La posizione di un punto $P$ rispetto al sistema fisso la indichiamo con
$\vec (R)= \vec(r) + \vec (R_0)$
dove $vec(r)$ è la posizione del punto $P$ nel sistema di riferimento relativo (in generale rotante) e $vec(R_0)$ la posizione dell'origine del sistema di riferimento relativo in moto rispetto al fisso.
Derivando la posizione del punto $P$ rispetto al tempo otteniamo la velocità:
$vec(v)=vec(v_r)+vec(omega) \times vec(r) + vec(v_0)$
(applichiamo la derivazione di Poisson ogni volta che dobbiamo derivare un vettore nel sistema di riferimento relativo in moto in cui occorre tener conto che i versori possono ruotare).
Osserva che un conto è parlare della velocità relativa di un punto rispetto a un altro, cosa diversa è parlare della velocità relativa a un sistema di riferimento.
In effetti nel mio corso si parla di velocità di trascinamento di un punto e non di un sistema di riferimento.
Detto ciò non capisco perché non valga $vecv_i=vecv_(i_text(trascinamento))+vecv_(i_text(relativa))$
Ho riguardato la dimostrazione e non vedo problemi a farla valere per il mio caso.
Detto ciò non capisco perché non valga $vecv_i=vecv_(i_text(trascinamento))+vecv_(i_text(relativa))$
Ho riguardato la dimostrazione e non vedo problemi a farla valere per il mio caso.
"AnalisiZero":
In effetti nel mio corso si parla di velocità di trascinamento di un punto e non di un sistema di riferimento.
Detto ciò non capisco perché non valga $vecv_i=vecv_(i_text(trascinamento))+vecv_(i_text(relativa))$
Ho riguardato la dimostrazione e non vedo problemi a farla valere per il mio caso.
Nessuno ti assicura che quel particolare riferimento che hai scelto non ruoti, per cui in generale devi considerare il contributo di rotazione quando derivi la posizione assoluta rispetto al tempo con componenti la posizione dell'origine del sistema mobile e quella del vettore posizione relativo.
"Faussone":
[quote="AnalisiZero"]In effetti nel mio corso si parla di velocità di trascinamento di un punto e non di un sistema di riferimento.
Detto ciò non capisco perché non valga $vecv_i=vecv_(i_text(trascinamento))+vecv_(i_text(relativa))$
Ho riguardato la dimostrazione e non vedo problemi a farla valere per il mio caso.
Nessuno ti assicura che quel particolare riferimento che hai scelto non ruoti, per cui in generale devi considerare il contributo di rotazione quando derivi la posizione assoluta rispetto al tempo con componenti la posizione dell'origine del sistema mobile e quella del vettore posizione relativo.[/quote]
Al contrario, io lo scelgo proprio in modo che ruoti insieme al punto iesimo.
La rotazione del sistema di riferimento è contenuta dentro $vecv_(i_text(trascinamento))$
Per velocità di trascinamento di un punto iesimo io intendo (in riferimento ai disegni del primo post) $vecv_(i_text(trascinamento))=vecv_G+vecomegaXvecrho_i$.
"AnalisiZero":
La rotazione del sistema di riferimento è contenuta dentro $ vecv_(i_text(trascinamento)) $
Per velocità di trascinamento di un punto iesimo io intendo (in riferimento ai disegni del primo post) $ vecv_(i_text(trascinamento))=vecv_G+vecomegaXvecrho_i $.
Ah allora scusami, probabilmente ho frainteso il dubbio.
Forse leggendo mi sono perso qualcosa, e/o non ho colto il punto (in tutti i sensi
) probabilmente 
Allora fammi sapere se il dubbio è ancora "ongoing" e magari proverò a rivedere il tutto con calma (se riesco, non garantisco), altrimenti meglio così e non mi resta che scusarmi ancora per la risposta poco centrata.
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