Velocità angolare massima moto rototraslatorio sfera
Ciao ragazzi,
sto cercando di risolvere il seguente problema:
Si consideri una sfera omogenea di massa M e raggio R. Il centro di massa della sfera è vincolato all'estremo di una molla ideale di costante elastica k. La molla è tesa orizzontalmente (vedi figura in basso) ed ha un altro estremo vincolato ad un supporto fisso. La sfera poggia su un piano scabro.
Il sistema si trova in equilibrio quando la molla è allungata di un tratto pari a $\delta x$ ed è soggetta ad un momento C. Togliendo il momento C, la sfera inizia a ruotare senza strisciare. Calcolare il tempo impiegato dalla sfera a raggiungere il valore massimo della velocità angolare.

PROCEDIMENTO:
Le equazioni che regolano il moto rototraslatorio sono:
$$\begin{cases}
I\alpha=-F_{attrito}R\\
F_{elastica}-F_{attrito}=Ma\end{cases}$$
Per trovare il valore massimo della velocità angolare, si deve imporre $\alpha=0$ ma non posso farlo nelle equazioni precedenti perchè altrimenti non otterrei nulla.
Potrei sfruttare anche la seguente:
$\alpha=\frac{\omega_f-\omega_i}{t}$
ma nemmeno con questa non arrivo a nulla imponendo $\alpha=0$. Qualche indizio?
sto cercando di risolvere il seguente problema:
Si consideri una sfera omogenea di massa M e raggio R. Il centro di massa della sfera è vincolato all'estremo di una molla ideale di costante elastica k. La molla è tesa orizzontalmente (vedi figura in basso) ed ha un altro estremo vincolato ad un supporto fisso. La sfera poggia su un piano scabro.
Il sistema si trova in equilibrio quando la molla è allungata di un tratto pari a $\delta x$ ed è soggetta ad un momento C. Togliendo il momento C, la sfera inizia a ruotare senza strisciare. Calcolare il tempo impiegato dalla sfera a raggiungere il valore massimo della velocità angolare.

Click sull'immagine per visualizzare l'originale
PROCEDIMENTO:
Le equazioni che regolano il moto rototraslatorio sono:
$$\begin{cases}
I\alpha=-F_{attrito}R\\
F_{elastica}-F_{attrito}=Ma\end{cases}$$
Per trovare il valore massimo della velocità angolare, si deve imporre $\alpha=0$ ma non posso farlo nelle equazioni precedenti perchè altrimenti non otterrei nulla.
Potrei sfruttare anche la seguente:
$\alpha=\frac{\omega_f-\omega_i}{t}$
ma nemmeno con questa non arrivo a nulla imponendo $\alpha=0$. Qualche indizio?
Risposte
Intanto, dovresti ricavare la costante elastica $k$ della molla dalla condizione iniziale di equilibrio:
$[kR\Deltax-C=0] rarr [k=C/(R\Deltax)]$
Inoltre, puoi ricavare l'equazione del moto dalla seconda equazione cardinale della dinamica prendendo come polo il punto di contatto della sfera con il piano orizzontale:
$[ddotx_G+(5k)/(7M)x_G=0]$
essendo $[x_G=0]$ quando la molla è a riposo.
P.S.
Ho corretto mettendo il momento d'inerzia di una sfera e non di un disco.
$[kR\Deltax-C=0] rarr [k=C/(R\Deltax)]$
Inoltre, puoi ricavare l'equazione del moto dalla seconda equazione cardinale della dinamica prendendo come polo il punto di contatto della sfera con il piano orizzontale:
$[ddotx_G+(5k)/(7M)x_G=0]$
essendo $[x_G=0]$ quando la molla è a riposo.
P.S.
Ho corretto mettendo il momento d'inerzia di una sfera e non di un disco.
"anonymous_0b37e9":
Intanto, dovresti ricavare la costante elastica $k$ della molla dalla condizione iniziale di equilibrio:
$[kR\Deltax-C=0] rarr [k=C/(R\Deltax)]$
Inoltre, puoi ricavare l'equazione del moto dalla seconda equazione cardinale della dinamica prendendo come polo il punto di contatto della sfera con il piano orizzontale:
$[ddotx_G+(2k)/(3M)x_G=0]$
essendo $[x_G=0]$ quando la molla è a riposo.
Si questo veniva chiesto in una domanda precedente e l'avevo già fatto.
Si tratta di un moto armonico:
$[ddotx_G+(5k)/(7M)x_G=0] ^^ [\omega=sqrt((5k)/(7M))]$
$[ddotx_G+(5k)/(7M)x_G=0] ^^ [\omega=sqrt((5k)/(7M))]$
Non mi corrisponde l'equazione del moto che hai trovato considerando il sistema che avevo scritto:
\[ \begin{cases} I\alpha=-F_{a}R\\ F_{e}-F_{a}=M\ddot{x}\end{cases} \]
Andando a sostituire $F_{a}=F_{e}-M\ddot{x}$ nella seconda equazione della dinamica, ottengo:
$$\begin{align*}
&I\alpha =-F_{}R\\
&\frac{2}{5}M\ddot{x} =-kx+M\ddot{x}\\
&\frac{3}{5}M\ddot{x}-kx=0\\
&\ddot{x}-\frac{5k}{3M}x=0\end{align*}$$
\[ \begin{cases} I\alpha=-F_{a}R\\ F_{e}-F_{a}=M\ddot{x}\end{cases} \]
Andando a sostituire $F_{a}=F_{e}-M\ddot{x}$ nella seconda equazione della dinamica, ottengo:
$$\begin{align*}
&I\alpha =-F_{}R\\
&\frac{2}{5}M\ddot{x} =-kx+M\ddot{x}\\
&\frac{3}{5}M\ddot{x}-kx=0\\
&\ddot{x}-\frac{5k}{3M}x=0\end{align*}$$
Orientando l'asse orizzontale verso destra e considerando positivo l'angolo di rotazione in senso antiorario:
$\{(-kx_G+F_a=Mddotx_G),(2/5MR^2\alpha=F_aR),(ddotx_G=-R\alpha):} rarr \{(F_a=kx_G+Mddotx_G),(\alpha=5/(2MR)(kx_G+Mddotx_G)),(ddotx_G=-5/(2M)(kx_G+Mddotx_G)):} rarr [ddotx_G+(5k)/(7M)x_G=0]$
essendo $[x_G=0]$ quando la molla è a riposo.
$\{(-kx_G+F_a=Mddotx_G),(2/5MR^2\alpha=F_aR),(ddotx_G=-R\alpha):} rarr \{(F_a=kx_G+Mddotx_G),(\alpha=5/(2MR)(kx_G+Mddotx_G)),(ddotx_G=-5/(2M)(kx_G+Mddotx_G)):} rarr [ddotx_G+(5k)/(7M)x_G=0]$
essendo $[x_G=0]$ quando la molla è a riposo.
Ho 3 domande da fare:
1) L'accelerazione $\ddot{x}_G$ è diretta verso sinistra, quindi non dovrebbe avere lo stesso segno della forza elastica?
Anche secondo i miei appunti e libri dovrebbe essere
$$-k\ddot{x}_G+F_a=-M\ddot{x}_G$$
2) Se il polo che hai scelto è il punto di contatto tra la sfera e il piano, il momento della forza di attrito non dovrebbe essere nullo visto che il braccio è nullo?
3) L'accelerazione lungo l'orizzontale coincide con l'accelerazione del centro di massa giusto?
1) L'accelerazione $\ddot{x}_G$ è diretta verso sinistra, quindi non dovrebbe avere lo stesso segno della forza elastica?
Anche secondo i miei appunti e libri dovrebbe essere
$$-k\ddot{x}_G+F_a=-M\ddot{x}_G$$
2) Se il polo che hai scelto è il punto di contatto tra la sfera e il piano, il momento della forza di attrito non dovrebbe essere nullo visto che il braccio è nullo?
3) L'accelerazione lungo l'orizzontale coincide con l'accelerazione del centro di massa giusto?
Modo 1. Se procedi prendendo come polo il punto di contatto della sfera con il piano orizzontale, sono sufficienti 2 equazioni:
$\{(7/5MR^2\alpha=kRx_G),(ddotx_G=-R\alpha):} rarr \{(\alpha=(5k)/(7MR)x_G),(ddotx_G=-(5k)/(7M)x_G):} rarr [ddotx_G+(5k)/(7M)x_G=0]$
Modo 2. Se procedi prendendo come polo il centro di massa della sfera, sono necessarie 3 equazioni:
$\{(-kx_G+F_a=Mddotx_G),(2/5MR^2\alpha=F_aR),(ddotx_G=-R\alpha):} rarr \{(F_a=kx_G+Mddotx_G),(\alpha=5/(2MR)(kx_G+Mddotx_G)),(ddotx_G=-5/(2M)(kx_G+Mddotx_G)):} rarr [ddotx_G+(5k)/(7M)x_G=0]$
Infatti, si tratta del modo 1.
$ddotx_G$ è l'accelerazione del centro di massa della sfera lungo l'orizzontale.
Intanto, immagino intendessi scrivere: $-kx_G+F_a=-M\ddot{x}_G$. Ad ogni modo, riprendendo l'equazione che ho scritto in precedenza:
$[-kx_G+F_a=Mddotx_G]$
se ti stai riferendo, per esempio, all'istante iniziale:
$[x_G gt 0] rarr [-kx_G lt 0]$
e, intuitivamente, dovrebbe essere $[ddotx_G lt 0]$. Insomma, non si comprende quale sia la contraddizione.
$\{(7/5MR^2\alpha=kRx_G),(ddotx_G=-R\alpha):} rarr \{(\alpha=(5k)/(7MR)x_G),(ddotx_G=-(5k)/(7M)x_G):} rarr [ddotx_G+(5k)/(7M)x_G=0]$
Modo 2. Se procedi prendendo come polo il centro di massa della sfera, sono necessarie 3 equazioni:
$\{(-kx_G+F_a=Mddotx_G),(2/5MR^2\alpha=F_aR),(ddotx_G=-R\alpha):} rarr \{(F_a=kx_G+Mddotx_G),(\alpha=5/(2MR)(kx_G+Mddotx_G)),(ddotx_G=-5/(2M)(kx_G+Mddotx_G)):} rarr [ddotx_G+(5k)/(7M)x_G=0]$
"mbistato":
2) Se il polo che hai scelto è il punto di contatto tra la sfera e il piano, il momento della forza di attrito non dovrebbe essere nullo visto che il braccio è nullo?
Infatti, si tratta del modo 1.
"mbistato":
3) L'accelerazione lungo l'orizzontale coincide con l'accelerazione del centro di massa giusto?
$ddotx_G$ è l'accelerazione del centro di massa della sfera lungo l'orizzontale.
"mbistato":
1) L'accelerazione $\ddot{x}_G$ è diretta verso sinistra, quindi non dovrebbe avere lo stesso segno della forza elastica?
Anche secondo i miei appunti e libri dovrebbe essere : $-k\ddot{x}_G+F_a=-M\ddot{x}_G$
Intanto, immagino intendessi scrivere: $-kx_G+F_a=-M\ddot{x}_G$. Ad ogni modo, riprendendo l'equazione che ho scritto in precedenza:
$[-kx_G+F_a=Mddotx_G]$
se ti stai riferendo, per esempio, all'istante iniziale:
$[x_G gt 0] rarr [-kx_G lt 0]$
e, intuitivamente, dovrebbe essere $[ddotx_G lt 0]$. Insomma, non si comprende quale sia la contraddizione.
Un metodo per non sbagliare è usare la conservazione dell'energia per determinare l'equazione di moto, infatti sono presenti solo termini al quadrato nell'energia in questo caso e il problema dei segni non si pone.
"Vulplasir":
Un metodo per non sbagliare è usare la conservazione dell'energia per determinare l'equazione di moto, infatti sono presenti solo termini al quadrato nell'energia in questo caso e il problema dei segni non si pone.
Applicando la conservazione dell'energia mi viene fuori questa:
$$\begin{eqnarray*}
\frac{1}{2}kx^2 &=& \frac{1}{2}I\omega^2+\frac{1}{2}Mv^2\\
kx^2 &=& \frac{7}{5}MR^2\omega^2\end{eqnarray*}$$
Quest'ultima, però, non è l'equazione del moto armonico...
Per conservazione dell'energia intendo $(dE)/(dt)=0$...una volta trovata l'energia $E$ del sistema come somma di cinetica e potenziale, imponendo che la derivata temporale sia nulla, si ottiene l'equazione di moto.
ok adesso è chiaro.
Ma resta ancora il problema di come trovare il tempo impiegato dalla sfera per raggiungere la velocità angolare massima.
Sò che la velocità angolare massima si ottiene quando la molla raggiunge la sua posizione di riposo ($x=0$), ma se sostituisco questa condizione nell'equazione del moto mi si annulla tutto e non trovo il tempo $t$. Quindi intuisco che l'equazione del moto mi è servita solo per trovare la velocità angolare massima
$$\omega=\sqrt{\frac{5k}{7M}}$$
siete d'accordo?
Ma resta ancora il problema di come trovare il tempo impiegato dalla sfera per raggiungere la velocità angolare massima.
Sò che la velocità angolare massima si ottiene quando la molla raggiunge la sua posizione di riposo ($x=0$), ma se sostituisco questa condizione nell'equazione del moto mi si annulla tutto e non trovo il tempo $t$. Quindi intuisco che l'equazione del moto mi è servita solo per trovare la velocità angolare massima
$$\omega=\sqrt{\frac{5k}{7M}}$$
siete d'accordo?
No. Quel $omega$ non c'entra nulla con la velocità angolare, è la pulsazione del moto armonico...
Nel tuo caso il sistema parte da fermo allungato di un certo $x_0$ rispetto alla posizione di equilibrio, la velocita massima si ha appunto nel punto di equilibrio...quanto ci metterà a raggiungere il punto di equilibrio partendo da $x_0$? È un moto armonico...quindi...
Nel tuo caso il sistema parte da fermo allungato di un certo $x_0$ rispetto alla posizione di equilibrio, la velocita massima si ha appunto nel punto di equilibrio...quanto ci metterà a raggiungere il punto di equilibrio partendo da $x_0$? È un moto armonico...quindi...
Posso utilizzare l'equazione del moto armonico:
$$x(t)=Rcos(\omega t+\phi)$$
con $\phi=0$ e $x(t)=0$.
$$x(t)=Rcos(\omega t+\phi)$$
con $\phi=0$ e $x(t)=0$.
A raggiungere la posizione di riposo ci impiegherà un quarto di periodo