Velocità angolare e velocità del centro di un disco.Dubbio.
Quello che non riesco a capire è quando dice che la velocità angolare del disco non è $-dot(theta) k$
Il testo dice che:
Infatti la velocità angolare è la derivata di un angolo assoluto che misura l'angolo di un raggio solidale al disco con una direzione fissa. Nel nostro caso ........
Insomma, il mio problema è capire il perchè non deve essere $-dot(theta) k$
In casi in cui si ha il segno meno che precede la derivata dell'angolo, significa che il senso di rotazione è orario e anche in questo caso lo vedo orario il senso di rotazione del disco, quindi perchè non dovrei dire che la formula corretta è $-dot(theta) k$ 
Risposte
Te lo spiega nella nota in fondo : $-dot\theta veck$ è la velocità angolare del disco relativa all'asta, che a quanto pare ruota anch'essa , pur se non è detto nel testo ma nello svolgimento.
Anche le velocità angolari si compongono. Quindi si deve trovare la velocità angolare assoluta del disco, data quella relativa e data la velocità angolare dell'asta.
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Anche le velocità angolari si compongono. Quindi si deve trovare la velocità angolare assoluta del disco, data quella relativa e data la velocità angolare dell'asta.
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"navigatore":
$-dot\theta veck$ è la velocità angolare del disco relativa all'asta, che a quanto pare ruota anch'essa...
Quello che non sto riuscendo ad immaginare è proprio quello che hai detto!
Puoi aiutarmi a capire per favore?
Il testo dell'esercizio dice, nella seconda riga, che l'asta è mobile ed è incernierata in $O$. Dunque ruota attorno ad $O$, con velocità angolare $dot\phi$ .
Ok, va benissimo, ma se l'asta ruota in senso antiorario, il disco circolare comincia a rotolare verso il basso e quindi verso $O$, quel $theta$ del disco non va considerato? E se rotola verso il basso, si ha un angolo con rotazione in senso antiorario e quindi positivo, dici che e' per questo fatto che non si deve scrivere il segno meno ? Hai detto che $-dot\theta veck$ è la velocità angolare del disco relativa all'asta, che a quanto pare ruota anch'essa ,...., ma non riesco a capire il perche non lo si vede considerare nei calcoli della soluzione?
Compare con una classica fornula quando viene scritto $dot(s) = Rdot(theta)$ , capisco cosa vuol dire e a cosa si riferisce, quindi penso che si deve considerare $theta $ solo in questo caso? Vero?
Compare con una classica fornula quando viene scritto $dot(s) = Rdot(theta)$ , capisco cosa vuol dire e a cosa si riferisce, quindi penso che si deve considerare $theta $ solo in questo caso? Vero?
Ho provato a leggere la soluzione proposta dal testo. Per me è abbastanza incomprensibile.
Per esempio, non riesco a vedere la differenza che fa tra i punti H ed H' . Poi, non è chiaro se il disco rotola "per i fatti suoi" rispetto all'asta, in senso orario come sembra di capire dal segno di $-dot\thetaveck$ e dal disegno stesso (dove $\theta$ sembra indicato in verso orario) , mentre l'asta ruota in senso antiorario come sembra di capire dal segno di $dot\phiveck$ . Io avrei pensato che il disco, lasciato fermo nella posizione iniziale data dal disegno, si mettesse a rotolare verso il basso mentre l'asta ruota in senso antiorario, e quindi entrambe le rotazioni sarebbero concordi.
Insomma, qui non mi sembrano chiare le condizioni iniziali del moto. Un testo più chiaro sarebbe stato meglio.
Vediamo se arrivano rinforzi….
Per esempio, non riesco a vedere la differenza che fa tra i punti H ed H' . Poi, non è chiaro se il disco rotola "per i fatti suoi" rispetto all'asta, in senso orario come sembra di capire dal segno di $-dot\thetaveck$ e dal disegno stesso (dove $\theta$ sembra indicato in verso orario) , mentre l'asta ruota in senso antiorario come sembra di capire dal segno di $dot\phiveck$ . Io avrei pensato che il disco, lasciato fermo nella posizione iniziale data dal disegno, si mettesse a rotolare verso il basso mentre l'asta ruota in senso antiorario, e quindi entrambe le rotazioni sarebbero concordi.
Insomma, qui non mi sembrano chiare le condizioni iniziali del moto. Un testo più chiaro sarebbe stato meglio.
Vediamo se arrivano rinforzi….
Mi reca conforto il fatto che non sono l'unico a notare confusione nel testo!
Aspettiamo rinforzi!
Aspettiamo rinforzi!
E' un esercizio di cnematica, non di dinamica, le forze in gioco non c'entrano nulla.
Il punto e' che il calcolo della velocita' del disco puo' essere affrontanto partendo dal fatto che l'atto di moto del centro del disco e' la somma della velocita di un punto qualsiasi Piu' la rotazione attorno a questo punto (come Antonio ha gia' avuto modo di vedere almeno 3 o 4 volte in altri esercizi, quindi non mi aspetto che questa formula lo sturbi molto):
$\vec{v_c}=vec{v_H}+\omega_{disco}\vec{k}timesvec{HC}=vec{v_H}-\omega_{disco}R\vec{t}$.
H e' il punto a contatto con l'asta (un punto fisico, materiale). Siccome il disco non rotola ne' si stacca dall'asta, la sua velocita' e' uguale al punto corrispondente dell'asta. L'asta ruota intorno ad O (CIR dell'asta), per cui
$\vec{v_H}=\varphi\vec{k}times\vec{OH}=s\dot\varphi\vec{n}$
Eliminando $v_H$ da queste 2 equazioni, si ottiene:
$\vec{v_c}=s\dot\varphi\vec{n}-\omega_{disco}R\vec{t}$.
A questo punto calcola $v_c$ con la derivate del vettore $OC$, tenendo conto che$ \vec{OC}$ e' la somma della proiezione del vettore $OC$ sull'asta, quindi non puo' usare H, che e' un punto materiale appartenente all'asta.
Trovato $v_c$ (non rifaccio I conti, sono gia' li in soluzione, sostitisce e trova che:
$(\dots-R\dot\varphi)\vec{t}+s\dot\varphi\vec{n}=s\dot\varphi\vec{n}-\omega_{disco}R\vec{t}$
Da qui trova che $\omega_{disco}=\dot\varphi-{\dots}/{R}$.
A questo punto, per me l'esercizio sarebbe finito. Nel senso che abbiamo descritto la velocita' angolare del disco in funzione di 2 paramentri indipendenti $s$, e $\varphi$ o delle loro derivate (non dimentichiamo che il Sistema ha 2 gdl, quindi 2 parametri sono necessari e sufficienti a descrivere la cinematica del Sistema).
Quindi il testo doveva specificare "trovare la velocita angolare del disco in funzione delle coordinate $\theta$ e $\varphi$. Questo e' l'unico punto ambiguo. A un compito di Mecc. Razionale, mi sarei fermato qui e il professore non avrebbe potuto contestare la soluzione.
Se avesse scritto nel testo quanto sopra, bisogna trovare la relazione tra $s$ e $\theta$, cosa che infatti lui fa, notando che se il disco rotola senza strisciare, $s=R\theta$. Derivando si ottiene $\dots=R\dot\theta$ e sostituendo nell'ultima equazione $\omega_{disco}=\dot\varphi-\dot\theta$.
Dal che si deduce che come per le velocita' lineari, anche per le velocita' angolari vale la formula $\omega=\omega_r+\omega_t$ (assoluta=trascinamento+relativa)
Il punto e' che il calcolo della velocita' del disco puo' essere affrontanto partendo dal fatto che l'atto di moto del centro del disco e' la somma della velocita di un punto qualsiasi Piu' la rotazione attorno a questo punto (come Antonio ha gia' avuto modo di vedere almeno 3 o 4 volte in altri esercizi, quindi non mi aspetto che questa formula lo sturbi molto):
$\vec{v_c}=vec{v_H}+\omega_{disco}\vec{k}timesvec{HC}=vec{v_H}-\omega_{disco}R\vec{t}$.
H e' il punto a contatto con l'asta (un punto fisico, materiale). Siccome il disco non rotola ne' si stacca dall'asta, la sua velocita' e' uguale al punto corrispondente dell'asta. L'asta ruota intorno ad O (CIR dell'asta), per cui
$\vec{v_H}=\varphi\vec{k}times\vec{OH}=s\dot\varphi\vec{n}$
Eliminando $v_H$ da queste 2 equazioni, si ottiene:
$\vec{v_c}=s\dot\varphi\vec{n}-\omega_{disco}R\vec{t}$.
A questo punto calcola $v_c$ con la derivate del vettore $OC$, tenendo conto che$ \vec{OC}$ e' la somma della proiezione del vettore $OC$ sull'asta, quindi non puo' usare H, che e' un punto materiale appartenente all'asta.
Trovato $v_c$ (non rifaccio I conti, sono gia' li in soluzione, sostitisce e trova che:
$(\dots-R\dot\varphi)\vec{t}+s\dot\varphi\vec{n}=s\dot\varphi\vec{n}-\omega_{disco}R\vec{t}$
Da qui trova che $\omega_{disco}=\dot\varphi-{\dots}/{R}$.
A questo punto, per me l'esercizio sarebbe finito. Nel senso che abbiamo descritto la velocita' angolare del disco in funzione di 2 paramentri indipendenti $s$, e $\varphi$ o delle loro derivate (non dimentichiamo che il Sistema ha 2 gdl, quindi 2 parametri sono necessari e sufficienti a descrivere la cinematica del Sistema).
Quindi il testo doveva specificare "trovare la velocita angolare del disco in funzione delle coordinate $\theta$ e $\varphi$. Questo e' l'unico punto ambiguo. A un compito di Mecc. Razionale, mi sarei fermato qui e il professore non avrebbe potuto contestare la soluzione.
Se avesse scritto nel testo quanto sopra, bisogna trovare la relazione tra $s$ e $\theta$, cosa che infatti lui fa, notando che se il disco rotola senza strisciare, $s=R\theta$. Derivando si ottiene $\dots=R\dot\theta$ e sostituendo nell'ultima equazione $\omega_{disco}=\dot\varphi-\dot\theta$.
Dal che si deduce che come per le velocita' lineari, anche per le velocita' angolari vale la formula $\omega=\omega_r+\omega_t$ (assoluta=trascinamento+relativa)
Si, è un esercizio di cinematica. Però il testo è carente, per esempio non dice : "il disco rotola in verso orario con velocità angolare…, mentre l'asta ruota in senso antiorario con velocità angolare…." , e la gravità non c'entra.
Poi, è chiaro che le velocità angolari si compongono.
Poi, è chiaro che le velocità angolari si compongono.
No, quello non lo deve dire. Ti da 3 coordinate lagrangiane, orientate come decide lui ($s, $\theta$ e $\varphi$). Fin qui tutto lecito.
Quello in cui e' carente e' che non ti dice per quali dei 2 parametri devi trovale la vel. ang. del disco.
La gravita' non c'entra nulla. Anche se ci fosse, le relazioni che trova valgono comunque. E' quando passi alle derivate seconde dei parametri lagrangiani che ti entrano in gioco le forze.
Quello in cui e' carente e' che non ti dice per quali dei 2 parametri devi trovale la vel. ang. del disco.
La gravita' non c'entra nulla. Anche se ci fosse, le relazioni che trova valgono comunque. E' quando passi alle derivate seconde dei parametri lagrangiani che ti entrano in gioco le forze.
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