Velocità angolare
Ciao a tutti
ho una curiosità:
io so bene che un corpo in moto circolare ha una velocità angolare $\omega$ la quale è legata alla velocità tangenziale e al vettore posizione dalla formula
$vec(v_{t})=vec(\omega) \times vec(r) $
fin qui tutto ok, ma e mi fido che sia così, ma non ne ho trovato da nessuna parte la dimostrazione . qualcuno saprebbe spiegarmela o darmi un link in cui la trovo? Grazie
ho una curiosità:
io so bene che un corpo in moto circolare ha una velocità angolare $\omega$ la quale è legata alla velocità tangenziale e al vettore posizione dalla formula
$vec(v_{t})=vec(\omega) \times vec(r) $
fin qui tutto ok, ma e mi fido che sia così, ma non ne ho trovato da nessuna parte la dimostrazione . qualcuno saprebbe spiegarmela o darmi un link in cui la trovo? Grazie
Risposte
Ci provo.
Preso un punto P definito da un vettore posizione [tex]{\vec r}[/tex] originato nel punto origine O di un sistema di riferimento cartesiano, il punto si muove lungo una traiettoria generica, per la quale è possibile definire localmente un piano tangente alla traiettoria. E' allora possibile definire tre versori ortogonai situati sul punto P: il primo [tex]{{\vec u}_r}[/tex] parallelo al vettore [tex]{\vec r}[/tex]; il secondo [tex]{{\vec u}_\theta }[/tex] ortogonale a questo e gacente sul piano suddetto; il terzo [tex]{{\vec u}_n}[/tex] ortogonale a entrambi i precedenti versori (e quindi al piano sopra definito), tale per cui risulti [tex]{{\vec u}_n} = {{\vec u}_r} \times {{\vec u}_\theta }[/tex], ovvero [tex]{{\vec u}_\theta } = {{\vec u}_n} \times {{\vec u}_r}[/tex].
La velocità di questo punto P può essere così scritta:
[tex]\frac{{d\vec r}}{{dt}} = \frac{{d\left( {r{{\vec u}_r}} \right)}}{{dt}} = \underbrace {{{\vec u}_r}\frac{{dr}}{{dt}}}_{{{\vec v}_r}} + \underbrace {r\frac{{d{{\vec u}_r}}}{{dt}}}_{{{\vec v}_\theta }}[/tex]
Occupiamoci adesso della sola componente trasversale di questa velocità:
[tex]{{\vec v}_\theta } = r\frac{{d{{\vec u}_r}}}{{dt}}[/tex]
Il versore [tex]{{\vec u}_r}[/tex] dopo un tempo dt si trova situato lungo la nuova congiungente di P con O che è ruotata di un angolo che chiamiamo [tex]d\theta[/tex]. Poiché il versore mantiene inalterata la sua lunghezza unitaria, possiamo dire che [tex]d{{\vec u}_r} = d\theta {{\vec u}_\theta }[/tex].
Da cui:
[tex]{{\vec v}_\theta } = r\frac{{d\theta }}{{dt}}{{\vec u}_\theta } = r\dot \theta {{\vec u}_\theta } = r\dot \theta \left( {{{\vec u}_n} \times {{\vec u}_r}} \right) = \dot \theta {{\vec u}_n} \times r{{\vec u}_r} = \dot \theta {{\vec u}_n} \times \vec r = \vec \omega \times \vec r[/tex]
dove è stato possibile definire il nuovo vettore [tex]\vec \omega = \dot \theta {{\vec u}_n}[/tex] che chiamiamo velocità angolare.
Preso un punto P definito da un vettore posizione [tex]{\vec r}[/tex] originato nel punto origine O di un sistema di riferimento cartesiano, il punto si muove lungo una traiettoria generica, per la quale è possibile definire localmente un piano tangente alla traiettoria. E' allora possibile definire tre versori ortogonai situati sul punto P: il primo [tex]{{\vec u}_r}[/tex] parallelo al vettore [tex]{\vec r}[/tex]; il secondo [tex]{{\vec u}_\theta }[/tex] ortogonale a questo e gacente sul piano suddetto; il terzo [tex]{{\vec u}_n}[/tex] ortogonale a entrambi i precedenti versori (e quindi al piano sopra definito), tale per cui risulti [tex]{{\vec u}_n} = {{\vec u}_r} \times {{\vec u}_\theta }[/tex], ovvero [tex]{{\vec u}_\theta } = {{\vec u}_n} \times {{\vec u}_r}[/tex].
La velocità di questo punto P può essere così scritta:
[tex]\frac{{d\vec r}}{{dt}} = \frac{{d\left( {r{{\vec u}_r}} \right)}}{{dt}} = \underbrace {{{\vec u}_r}\frac{{dr}}{{dt}}}_{{{\vec v}_r}} + \underbrace {r\frac{{d{{\vec u}_r}}}{{dt}}}_{{{\vec v}_\theta }}[/tex]
Occupiamoci adesso della sola componente trasversale di questa velocità:
[tex]{{\vec v}_\theta } = r\frac{{d{{\vec u}_r}}}{{dt}}[/tex]
Il versore [tex]{{\vec u}_r}[/tex] dopo un tempo dt si trova situato lungo la nuova congiungente di P con O che è ruotata di un angolo che chiamiamo [tex]d\theta[/tex]. Poiché il versore mantiene inalterata la sua lunghezza unitaria, possiamo dire che [tex]d{{\vec u}_r} = d\theta {{\vec u}_\theta }[/tex].
Da cui:
[tex]{{\vec v}_\theta } = r\frac{{d\theta }}{{dt}}{{\vec u}_\theta } = r\dot \theta {{\vec u}_\theta } = r\dot \theta \left( {{{\vec u}_n} \times {{\vec u}_r}} \right) = \dot \theta {{\vec u}_n} \times r{{\vec u}_r} = \dot \theta {{\vec u}_n} \times \vec r = \vec \omega \times \vec r[/tex]
dove è stato possibile definire il nuovo vettore [tex]\vec \omega = \dot \theta {{\vec u}_n}[/tex] che chiamiamo velocità angolare.
Grazie mille
adesso è più chiaro
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