Urto tra due palline e pavimento

[NomeGiaInUso1]

Lasciando cadere una pallina di gomma sopra ad una pallina molto più grossa si può ottenere un rimbalzo più alto dell'altezza iniziale. Supponendo che gli urti siano elastici e trascurando le dimensioni delle palline, determinare l'altezza massima raggiungibile dalla pallina più piccola rispetto all'altezza iniziale $h$. [Soluzione: fino a $9h$]

Avevo pensato di ragionare in questo modo: sapendo che l'urto è elastico posso dire che l'energia deve conservarsi quindi l'energia potenziale iniziale [tex]U_0=(m_1+m_2)gh_0[/tex] sarà pari all'energia cinetica [tex]\frac{1}{2}(m_1+m_2)v^2[/tex] al momento dell'impatto col pavimento e, dopo l'urto elastico, avrò [tex]\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2[/tex]. L'altezza finale la ricaverò dall'energia potenziale della pallina più piccola, diciamo la 1, ovvero [tex]U_1=m_1gh_1[/tex]. Quindi:$$(m_1+m_2)gh_0=m_1gh_1 + \frac{1}{2}m_2v_2^2$$
Il problema è che non so come proseguire (ammesso che fino a qui sia corretto). Non credo di poter usare la conservazione della quantità di moto dato che il pavimento agisce come forza esterna. Ho provato anche approssimando [tex]m_1+m_2[/tex] con [tex]m_2[/tex], dato che la seconda è molto più grande della prima, ma non ne sono uscito. Qualche consiglio?

[anonymous_0b37e9]

Dovresti risolvere il problema considerando due urti:

Urto 1

Urto tra la pallina di massa $M$ e il piano.

Urto 2

Urto tra la pallina di massa $M$ in fase di ascesa e la pallina di massa $m$ in fase di discesa.

Quindi, per quanto riguarda il secondo urto:

Conservazione della quantità di moto

$Msqrt(2gh)-msqrt(2gh)=Msqrt(2gh_M)+msqrt(2gh_m)$

Conservazione dell'energia cinetica

$(M+m)gh=Mgh_M+mgh_m$

Soluzioni

$[h_M=...] ^^ [h_m=...] ^^ [m/M rarr 0] rarr [h_m rarr 9h]$

[NomeGiaInUso1]

Seguendo il tuo consiglio (ed anche la tua notazione che è molto più veloce da scrivere qui ) credo di aver raggiunto la soluzione, vorrei solo una conferma sulla correttezza del procedimento.

Per quanto riguarda il primo urto (palla grande e pavimento), essendo elastico semplicemente cambia il verso della velocità della palla passando quindi da $v$ a $-v$.

Il secondo urto è un urto elastico tra due palline quindi impongo il classico sistema che tiene conto della conservazione di energia e quantità di moto:
\[\left\{
\begin{array}{lr}
-Mv+mv=Mv_2+mv_1\\
v+v_1=-v+v_2
\end{array}
\right.
\]
da cui ricavo $v_1=v\cdot\frac{m-3M}{m+M}$. Da qui ho considerato $v=\sqrt{2gh}$ in quanto velocità finale di caduta dall'altezza $h$ ed ho ottenuto
$$\frac{1}{2}mv_1^2=mgh_1 \Rightarrow h_1=\frac{m}{2}\cdot\frac{2gh}{mg}\Big(\frac{m-3M}{m+M}\Big)^2 \Rightarrow h_1=h\Big(\frac{m-3M}{m+M}\Big)^2$$
Se considero $M$ molto maggiore di $m$ ottengo $ (\frac{m-3M}{m+M})^2\approx(\frac{-3M}{M})^2=9$, quindi $h_1=9h$.

Spero il procedimento sia corretto e grazie per la risposta.

[lauralex]

"NomeGiaInUso":
Il secondo urto è un urto elastico tra due palline quindi impongo il classico sistema che tiene conto della conservazione di energia e quantità di moto:
\[\left\{
\begin{array}{lr}
-Mv+mv=Mv_2+mv_1\\
v+v_1=-v+v_2
\end{array}
\right.
\]

La relazione v + v1 = -v + v2 da dove l'hai presa? Io so che vale solo nel sistema riferito al centro di massa.
Comunque bastava usare le formule canoniche delle velocità finali dell'urto elastico.

[anonymous_0b37e9]

Per quanto mi riguarda, ho risolto il sistema con le notazioni utilizzate:

$\{(Msqrt(2gh)-msqrt(2gh)=Msqrt(2gh_M)+msqrt(2gh_m)),((M+m)gh=Mgh_M+mgh_m):} rarr$

$rarr \{(h+x^2h-2xh=h_M+x^2h_m+2xsqrt(h_Mh_m)),(h_M=h+x(h-h_m)):} ^^ [M gt m] ^^ [m/M=x] rarr$

$rarr h+x^2h-2xh=h+x(h-h_m)+x^2h_m+2xsqrt([h+x(h-h_m)]h_m) rarr$

$rarr (x-3)h+(1-x)h_m=2sqrt([h+x(h-h_m)]h_m) rarr$

$rarr (x-3)^2h^2+(1-x)^2h_m^2+2(x-3)(1-x)hh_m=4(x+1)hh_m-4xh_m^2 rarr$

$rarr (x+1)^2h_m^2-2(x^2-2x+5)hh_m+(x-3)^2h^2=0 rarr$

$rarr h_m=(x^2-2x+5+-sqrt((x^2-2x+5)^2-(x^2-2x-3)^2))/(x+1)^2h rarr$

$rarr h_m=(x^2-2x+5+-4(x-1))/(x+1)^2h rarr$

$rarr [h_m=h] vv [h_m=(x+3)^2/(x+1)^2h] ^^ [lim_(x->0^+)(x+3)^2/(x+1)^2h=9h]$

[NomeGiaInUso1]

"lauralex":La relazione v + v1 = -v + v2 da dove l'hai presa? Io so che vale solo nel sistema riferito al centro di massa.

Che io sappia vale ogni volta che valgono la conservazione della quantità di moto e dell'energia. Dalla conservazione dell'energia si ha
$$\frac{1}{2}m_Av_{A0}^2+\frac{1}{2}m_Bv_{B0}^2=\frac{1}{2}m_Av_{A1}^2+\frac{1}{2}m_Bv_{B1}^2 \Rightarrow$$
$$\Rightarrow m_Av_{A0}^2-m_Av_{A1}^2=m_Bv_{B1}^2-m_Bv_{B0}^2\Rightarrow$$
$$\Rightarrow m_A(v_{A0}^2-v_{A1}^2)=m_B(v_{B1}^2-v_{B0}^2)$$
Sfruttando i prodotti notevoli la trasformo in
$$m_A(v_{A0}-v_{A1})(v_{A0}+v_{A1})=m_B(v_{B1}-v_{B0})(v_{B1}+v_{B0})$$
Se vale la conservazione della quantità di moto si ha $m_A(v_{A0}-v_{A1})=m_B(v_{B1}-v_{B0})$ quindi la precedente si semplifica in $v_{A0}+v_{A1}=v_{B1}+v_{B0}$.

[lauralex]

"NomeGiaInUso":[quote="lauralex"]La relazione v + v1 = -v + v2 da dove l'hai presa? Io so che vale solo nel sistema riferito al centro di massa.

Che io sappia vale ogni volta che valgono la conservazione della quantità di moto e dell'energia. Dalla conservazione dell'energia si ha
$$\frac{1}{2}m_Av_{A0}^2+\frac{1}{2}m_Bv_{B0}^2=\frac{1}{2}m_Av_{A1}^2+\frac{1}{2}m_Bv_{B1}^2 \Rightarrow$$
$$\Rightarrow m_Av_{A0}^2-m_Av_{A1}^2=m_Bv_{B1}^2-m_Bv_{B0}^2\Rightarrow$$
$$\Rightarrow m_A(v_{A0}^2-v_{A1}^2)=m_B(v_{B1}^2-v_{B0}^2)$$
Sfruttando i prodotti notevoli la trasformo in
$$m_A(v_{A0}-v_{A1})(v_{A0}+v_{A1})=m_B(v_{B1}-v_{B0})(v_{B1}+v_{B0})$$
Se vale la conservazione della quantità di moto si ha $m_A(v_{A0}-v_{A1})=m_B(v_{B1}-v_{B0})$ quindi la precedente si semplifica in $v_{A0}+v_{A1}=v_{B1}+v_{B0}$.[/quote]
Giusto, hai ragione.

[anonymous_0b37e9]

"NomeGiaInUso":

$v+v_1=-v+v_2$

Ok se hai orientato l'asse verticale verso il basso.

"NomeGiaInUso":

$-Mv+mv=Mv_2+mv_1$

Immagino che anche questa si ottenga manipolando le due equazioni di partenza.