Urto tra corpo rigido e punto materiale
"Un disco di massa M = 15kg e raggio R = 40cm, è imperniato su un asse verticale che passa per il suo centro di massa ed inizialmente si muove senza attriti, su un piano orizzontale, con velocità angolare $ omega_0 = 3 rad/s $. All'istante t=0 viene applicato un momento motore parallelo all'asse e di modulo $ tau = 1 Nm $ . Il momento motore viene staccato al tempo t1 = 2 s, quando il disco ha velocità angolare $ omega_1 $. Contemporaneamente, una particella di massa m = 2 kg viene lasciata cadere sul disco da un'altezza h = 1m; essa lo colpisce ad una distana d dal centro e vi rimane attaccata. Si determini, in assenza di attriti:
(a) la velocità angolare $ omega_1 $ del disco al tempo t1.
(b) a che distanza dal centro deve attaccarsi la massa affinché la velocità angolare del disco risulti $ omega_2 = 4 rad/s $
(c) l'energia dissipata nell'urto
(d) l'impulso ceduto dalla particella al disco durante l'urto
Possibile soluzione:
Io conosco la velocità angolare iniziale $ omega_0 $ del disco.
Conosco anche che da t = 0 fino a t = t1 agisce un momento motore di modulo tau.
$ Ialpha = tau => alpha = tau/I => omega = tau/It $
Quindi: $ omega(t) = omega_0 + tau/It $
Risposta (a):
$ omega(t_1) = omega_1 = omega_0 + tau/It_1 = 3 + 1/(1.2)2 = 4.67 (rad)/s $
Risposta (b):
Urto completamente anelastico. Si conserva il solo momento angolare perché il disco è impernierato, quindi c'è una risposta impulsiva durante l'urto (quindi la quantità di moto non si conserva).
Allora:
$ L_1 = mvd + Iomega_1 $ QUESTO MOMENTO ANGOLARE INIZIALE TOTALE E' GUSTO??
$ L_2 = Iomega_2 + md^2omega_2 $
v è la velocità che ha la pallina poco prima dell'urto, che quindi è uguale a: $ v = -sqrt(2gh) = -4.43 m/s $
Quindi: L1 = L2
$ md^2omega_2 - mvd +I(omega_2 - omega_1) = 0$
$ d = (mv + sqrt((mv)^2 - 4momega_2I(omega_2 - omega_1)))/(momega_2) = (-8.86 + 10.21)/8 = 0.17 m $
Risposta (c):
Devo calcolare l'energia dissipata durante l'urto: $ DeltaE_{d i s s} = E_i - E_f $
$ E_i = 1/2mv^2 + 1/2Iomega_1^2 $
$ E_f = 1/2Iomega_2^2 + 1/2md^2omega_2^2 $
$ DeltaE_{d i s s} = 1/2m(v^2 - d^2omega_2^2) + 1/2I(omega_1^2 - omega_2^2) = 22.65 J $
Risposta (d): non so come si calcola l'impulso.
Secondo voi è giusto?? Grazie mille.
(a) la velocità angolare $ omega_1 $ del disco al tempo t1.
(b) a che distanza dal centro deve attaccarsi la massa affinché la velocità angolare del disco risulti $ omega_2 = 4 rad/s $
(c) l'energia dissipata nell'urto
(d) l'impulso ceduto dalla particella al disco durante l'urto
Possibile soluzione:
Io conosco la velocità angolare iniziale $ omega_0 $ del disco.
Conosco anche che da t = 0 fino a t = t1 agisce un momento motore di modulo tau.
$ Ialpha = tau => alpha = tau/I => omega = tau/It $
Quindi: $ omega(t) = omega_0 + tau/It $
Risposta (a):
$ omega(t_1) = omega_1 = omega_0 + tau/It_1 = 3 + 1/(1.2)2 = 4.67 (rad)/s $
Risposta (b):
Urto completamente anelastico. Si conserva il solo momento angolare perché il disco è impernierato, quindi c'è una risposta impulsiva durante l'urto (quindi la quantità di moto non si conserva).
Allora:
$ L_1 = mvd + Iomega_1 $ QUESTO MOMENTO ANGOLARE INIZIALE TOTALE E' GUSTO??
$ L_2 = Iomega_2 + md^2omega_2 $
v è la velocità che ha la pallina poco prima dell'urto, che quindi è uguale a: $ v = -sqrt(2gh) = -4.43 m/s $
Quindi: L1 = L2
$ md^2omega_2 - mvd +I(omega_2 - omega_1) = 0$
$ d = (mv + sqrt((mv)^2 - 4momega_2I(omega_2 - omega_1)))/(momega_2) = (-8.86 + 10.21)/8 = 0.17 m $
Risposta (c):
Devo calcolare l'energia dissipata durante l'urto: $ DeltaE_{d i s s} = E_i - E_f $
$ E_i = 1/2mv^2 + 1/2Iomega_1^2 $
$ E_f = 1/2Iomega_2^2 + 1/2md^2omega_2^2 $
$ DeltaE_{d i s s} = 1/2m(v^2 - d^2omega_2^2) + 1/2I(omega_1^2 - omega_2^2) = 22.65 J $
Risposta (d): non so come si calcola l'impulso.
Secondo voi è giusto?? Grazie mille.
Risposte
Il momento angolare iniziale è sbagliato. Il momento angolare iniziale è $vec(L)_1=Ivec(omega)_1+vec(r) xx mvec(v)$, ciò che si conserva in questo caso è la componente parallela all'asse di rotazione del momento angolare, ma il momento angolare della pallina prima dell'urto, ossia $vec(r)xxmvec(v)$ è perpendicolare all'asse di rotazione, pertanto la sua componente parallela è nulla e il momento angolare iniziale è semplicemente $L_1=Iomega_1$
Ok, grazie. Quindi applicando questa modifica al momento angolare iniziale ho:
$ md^2omega_2 = I(omega_1 - omega_2) => d = sqrt(I/(momega_2)(omega_1 - omega_2)) = 0.26 m$
La risposta a e la risposta c sono giuste secondo te??
$ md^2omega_2 = I(omega_1 - omega_2) => d = sqrt(I/(momega_2)(omega_1 - omega_2)) = 0.26 m$
La risposta a e la risposta c sono giuste secondo te??
Mi sembrano giuste
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