Urto relativistico elastico

[cooper1]

Esercizio
una particella di massa m si muove di velocità $v_1 = v$ rispetto al sistema di riferimento del laboratorio ed urta contro una particella di egual massa, con velocità lungo la stessa direzione ma di verso opposto e di modulo $v_2 = v/2$. si determinino le velocità di entrambe le particelle dopo l'urto.
Svolgimento
trovo il sistema di riferimento del centro di massa, che si muoverà di velocità $u$ lungo la direzione comune delle due particelle. il quadri-impulso totale ha componenti nel sistema di riferimento del laboratorio:
$(P^(mu))_(TOT) = (mv (gamma(v)-1/2gamma(v/2),0,0,mc(gamma(v)+gamma(v/2)))$
siccome le componenti del quadri-impulso si trasformano come quelle di un quadri_vettore, si deduce che la componente spaziale di $(P^(mu))_(TOT)$ lungo la direzione del moto vale, nel sist del CM,
$m gamma(u)((gamma(v)-1/2gamma(v/2))v-u(gamma(v)+gamma(v/2)))=0$
che invertita restituisce $u$.
Nel sistema del CM allora la velocità $v_0$ della prima particella sarà:
$v_0=(v-u)/(1-(uv)/c^2)$
dopo l'urto per ipotesi gli impulsi cambiano segno in CM e così fanno anche le velocità quindi tornando al sist del laboratorio ho
$tilde(v_2)=(v_0+u)/(1+(uv)/c^2)=v rArr tilde(v_1)=-v/2$
la tilde si riferisce alle quantità dopo l'urto.
Dubbi
1. quando dice "le componenti del quadri-impulso si trasformano come quelle di un quadri_vettore" intende dire che per il quadri-impulso vale ancora la formula $x' = gamma(x-v/c t)$ ?
2. perchè eguaglia a zero la trasformazione del punto 1?
3. perchè nel calcolo di $v_0$ considera $-u$? è perchè dopo l'urto la massa sta tornando indietro dopo essere stata "respinta"?
4. nel calcolo di $tilde(v_2)$ invece prende $+u$ perchè cambia verso l'impulso e quindi fa $-(-u)$?
5. perchè alla fine ritorna nel sistema del laboratorio?
6. come fa a stabilire che $tilde(v_1)=-v/2$?
grazie a chi risponderà

[Studente Anonimo]

"cooper":
Si determinino le velocità di entrambe le particelle dopo l'urto.

Se non è altrimenti detto, si intendono le due velocità nel sistema di riferimento del laboratorio. Ad ogni modo, trattandosi di un urto elastico unidimensionale tra due particelle aventi la stessa massa, per determinare le due velocità finali è sufficiente invertire le due velocità iniziali, ossia, attribuire alla prima particella una velocità finale uguale alla velocità iniziale della seconda e viceversa, attribuire alla seconda particella una velocità finale uguale alla velocità iniziale della prima. A questo punto, devo presumere che la soluzione proposta sia volutamente macchinosa solo per fare esercizio. Per esempio, nel sistema di riferimento del centro di massa, dove l'impulso totale è nullo per intenderci, le velocità delle due particelle, avendo la stessa massa, hanno lo stesso modulo e versi opposti, prima e dopo l'urto. Inoltre, poiché l'urto è elastico, il modulo comune prima dell'urto è uguale al modulo comune dopo l'urto.

[cooper1]

intanto grazie per la risposta

"anonymous_0b37e9":Se non è altrimenti detto, si intendono le due velocità nel sistema di riferimento del laboratorio.

ah ok perfetto!

"anonymous_0b37e9":Ad ogni modo, trattandosi di un urto elastico unidimensionale tra due particelle aventi la stessa massa, per determinare le due velocità finali è sufficiente invertire le due velocità iniziali, ossia, attribuire alla prima particella una velocità finale uguale alla velocità iniziale della seconda e viceversa, attribuire alla seconda particella una velocità finale uguale alla velocità iniziale della prima. A questo punto, devo presumere che la soluzione proposta sia volutamente macchinosa solo per fare esercizio.

questo non lo sapevo e mi lascia anche molto pensare dato che capita anche ogni tanto agli esami. forse vuole il procedimento anche come una sorta di dimostrazione del fatto che "basta" scambiare le due velocità.
ad ogni modo anche se svolgessi il procedimento con questo criterio ho una verifica delle soluzioni.

[Shackle]

LA risposta al tuo dubbio n.1 e' la seguente. Passando da un riferimento di quiete $(t,x)$ ad un riferimento in moto $(t',x')$ , le componenti del 4-vettore energia-impulso:
$P = (E/c,p)$

si trasformano alla stessa maniera delle coordinate; cioe', date le TL :

$ct' = gamma (ct-betax)$
$x' = gamma(x- beta ct) $

la componente temporale del 4-impulso s trasforma come il tempo :

$(E')/c = \gamma(E/c - \betap)$

e la componente spaziale si trasforma come lo spazio :

$p' = \gamma(p - \betaE/c)$

Naturalmente queste regole di trasformazione si dimostrano .

[cooper1]

ringrazio anche te per il chiarimento. avevo avevo intuito che il meccanismo fosse così ma avevo completamente mischiato la nomenclatura sbagliando di fatto formula.
tra l'altro le tue trasformazioni di Lorentz mi hanno fatto venire in mente che non ho specificato che per me nella formula del dubbio 1 la t è in realtà un $ct$ ($t -= ct$)

[Studente Anonimo]

"cooper":
... dopo l'urto per ipotesi gli impulsi cambiano segno in CM e così fanno anche le velocità ...

Ho l'impressione che, servendosi della legge di trasformazione delle velocità:

$[v_1=(v_2+V)/(1+(v_2V)/c^2)]$ (V è la velocità del sistema di riferimento 2 rispetto al sistema di riferimento 1)

voglia determinare le velocità nel laboratorio dopo l'urto partendo dalla sola ipotesi che, nel centro di massa, le 4 velocità abbiano lo stesso modulo e che le velocità dopo l'urto siano opposte rispetto a quelle prima dell'urto. Infatti:

Prima dell'urto

$[v=(v_0+u)/(1+(uv_0)/c^2)] ^^ [-v/2=(-v_0+u)/(1-(uv_0)/c^2)]$

Dopo l'urto

$[v_1=(-v_0+u)/(1-(uv_0)/c^2)] ^^ [v_2=(v_0+u)/(1+(uv_0)/c^2)] rarr [v_1=-v/2] ^^ [v_2=v]$

Solo se ti limiti ad applicare sempre e coerentemente:

$[v_1=(v_2+V)/(1+(v_2V)/c^2)]$

puoi cogliere il significato della dimostrazione, in particolare, l'irrilevanza di determinare esplicitamente $v_0$ e $u$.

[cooper1]

adesso si che ha una qualche coerenza! grazie mille per aver sciolto anche i dubbi 3,4,6