Urto relativistico anelastico
Salve,
volevo chiedervi se fosse corretto un ragionamento riguardante il seguente scenario:
un corpo di massa \( m_a \) urta centralmente anelasticamente un corpo in quiete di massa \( m_b=k*m_a \) .
Devo calcolare la funzione per la massa totale del corpo unico dopo l'urto e la sua velocità, so che si tratta di un urto relativistico.
Il mio problema riguarda il ragionamento, penso che l'impostazione sia corretta:
Considero il quadrivettore energia-impulso iniziale che risulta la somma dei quadrivettori del corpo a e b, quindi:
\( \vec{P}_i = \vec{P} _a+\vec{P} _b \)
Tralasciando la freccia per il vettore, ho:
\( P(m_a*c*\gamma (v_a)+n*m_a*c; m_a*v_a*\gamma (v_a)) \)
Questo perché, nel sistema di riferimento del laboratorio, \( v_b=0 \) e quindi l'energia risulta la somma tra energia totale di a ed energia a riposo di b; la quantità di moto coincide con la quantità di moto di a in quanto \( v_b=0 \) .
In seguito, volevo usare l'invarianza del modulo quadro del quadrivettore. Per questo ho pensato a un secondo sistema di riferimento che, dopo l'urto, risulta solidale col corpo e quindi, secondo il quel sistema di riferimento
\( P^I(M*c; 0) \)
Sfruttando l'invarianza ho pensato di impostare:
\( (m_a*c*(\gamma _a+n))^2-(m_a*v_a*\gamma_a)^2=(M*c)^2 \)
Fino a qui tutto corretto? Penso sia questo passaggio che mi da qualche perplessità logica, del resto con questi argomenti non si e' mai troppo sicuri.
Dalla equazione precedente ricavo poi:
\( M=m_a*\sqrt{n^2+2*n*\gamma_a+1} \)
Poi per calcolare V, uso le trasformazioni di lorentz e ottengo:
\( V=(v_a*\gamma_a)/(\gamma_a+n) \)
Gli ultimi passaggi sono principalmente algebrici, il mio problema penso riguardi piu' l'impostazione logica del problema. E' giusto come ho pensato si potesse procedere? Scegliere due sistemi di riferimento e usare l'invarianza del quadrivettore energia-impulso.
volevo chiedervi se fosse corretto un ragionamento riguardante il seguente scenario:
un corpo di massa \( m_a \) urta centralmente anelasticamente un corpo in quiete di massa \( m_b=k*m_a \) .
Devo calcolare la funzione per la massa totale del corpo unico dopo l'urto e la sua velocità, so che si tratta di un urto relativistico.
Il mio problema riguarda il ragionamento, penso che l'impostazione sia corretta:
Considero il quadrivettore energia-impulso iniziale che risulta la somma dei quadrivettori del corpo a e b, quindi:
\( \vec{P}_i = \vec{P} _a+\vec{P} _b \)
Tralasciando la freccia per il vettore, ho:
\( P(m_a*c*\gamma (v_a)+n*m_a*c; m_a*v_a*\gamma (v_a)) \)
Questo perché, nel sistema di riferimento del laboratorio, \( v_b=0 \) e quindi l'energia risulta la somma tra energia totale di a ed energia a riposo di b; la quantità di moto coincide con la quantità di moto di a in quanto \( v_b=0 \) .
In seguito, volevo usare l'invarianza del modulo quadro del quadrivettore. Per questo ho pensato a un secondo sistema di riferimento che, dopo l'urto, risulta solidale col corpo e quindi, secondo il quel sistema di riferimento
\( P^I(M*c; 0) \)
Sfruttando l'invarianza ho pensato di impostare:
\( (m_a*c*(\gamma _a+n))^2-(m_a*v_a*\gamma_a)^2=(M*c)^2 \)
Fino a qui tutto corretto? Penso sia questo passaggio che mi da qualche perplessità logica, del resto con questi argomenti non si e' mai troppo sicuri.
Dalla equazione precedente ricavo poi:
\( M=m_a*\sqrt{n^2+2*n*\gamma_a+1} \)
Poi per calcolare V, uso le trasformazioni di lorentz e ottengo:
\( V=(v_a*\gamma_a)/(\gamma_a+n) \)
Gli ultimi passaggi sono principalmente algebrici, il mio problema penso riguardi piu' l'impostazione logica del problema. E' giusto come ho pensato si potesse procedere? Scegliere due sistemi di riferimento e usare l'invarianza del quadrivettore energia-impulso.
Risposte
Ciao.
Che cosa rappresenta quel $n$ ? Non hai detto all’inizio che $m_b= km_a$ ?
Non occorre mettere l’asterisco per indicare la moltiplicazione, complichi solo la scrittura delle formule.
LA conservazione del 4-impulso è la via giusta. Guardati dapprima questo esercizio :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 53#p947559
in esso, la situazione b), dal momento in cui si considera la particella di destra in quiete , urtata da quella di sinistra, è identica alla tua. Trova la frase che inizia con :
Anziché chiamare le particelle $d$ ed $s$ , metti nomi che hai dato tu , $b$ ed $a$ .
Dopo che hai letto, se qualcosa non è chiaro scrivi pure. Hai ragione, in questa materia c’è sempre il rischio di sbagliare.
Che cosa rappresenta quel $n$ ? Non hai detto all’inizio che $m_b= km_a$ ?
Non occorre mettere l’asterisco per indicare la moltiplicazione, complichi solo la scrittura delle formule.
LA conservazione del 4-impulso è la via giusta. Guardati dapprima questo esercizio :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 53#p947559
in esso, la situazione b), dal momento in cui si considera la particella di destra in quiete , urtata da quella di sinistra, è identica alla tua. Trova la frase che inizia con :
Vediamo ora che succede nel riferimento di una delle particelle....
Anziché chiamare le particelle $d$ ed $s$ , metti nomi che hai dato tu , $b$ ed $a$ .
Dopo che hai letto, se qualcosa non è chiaro scrivi pure. Hai ragione, in questa materia c’è sempre il rischio di sbagliare.
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