Urto elastico in guida semi-circolare
Un corpo puntiforme di massa $m = 4 kg$ si muove nel piano verticale lungo una guida semi-circolare di raggio $R = 0.8 m$, senza mai staccarsi da essa. La guida è per metà scabra (prima parte) e per metà liscia (seconda parte), ed è appoggiata al piano orizzontale.
Il corpo parte da fermo dal punto A posto alla sommità della guida e raggiunge il punto C, posto al fondo di essa, con velocità $v_0 =3.2 m/s$ .
Lì urta centralmente un corpo puntiforme di massa $M = 12 kg$, inizialmente in quiete. L’urto tra i due corpi è perfettamente elastico. Determinare in un sistema di riferimento opportuno, con origine nel punto O, centro del profilo semi-circolare:
a) il lavoro totale delle forze agenti sul corpo di massa m in corrispondenza allo spostamento
tra la posizione iniziale e il fondo del profilo, prima dell’urto con il corpo di massa M;
b) il lavoro della forza di attrito in corrispondenza di tale spostamento del corpo;
c) la reazione $N_p$ della guida semicircolare immediatamente prima dell'urto;
d) le velocità $V_m$ e $V_M$ dei due corpi subito dopo l'urto;
e) l’energia cinetica interna $E_{K,INT}$ del sistema subito dopo l'urto.
f) l'altezza massima raggiunta dal corpo di massa M dopo l'urto, rispetto al piano orizzontale;
g) la forza che la guida circolare applica al corpo di massa M nel punto di arresto;
h) l’accelerazione angolare $\vec{\alpha}$ del corpo di massa M nel punto di arresto.
Il pedice $d$, tipo $E_{K,INT,d}$ indice l'istante "successivo".
a) Poiché agiscono forze dissipative, non vale la conservazione dell'energia meccanica. Vale però che $W_{A,C}=\Delta E_{K}$.
Perciò il lavoro $W_{A,C}=\frac{1}{2} m v_0^2$.
b) Il lavoro delle forze non conservative è dato dalla variazione di energia meccanica, perciò $W_{\text{attr}}=\frac{1}{2} m v_0^2 - mgR$.
c) Immediatamente prima dell'urto si ha che sulla massa m vale, fissato un sistema di coordine $u_N, u_{T}$:
$N - mg=m \frac{v_0^2}{R}$
, da cui $N=m(frac{v_{0}^{2}}{R} + g) \mathbf{u_N}$
d) In un urto elastico, si ha la conservazione dell'energia cinetica interna e della quantità di moto durante l'urto. Perciò, mettendo a sistema queste due condizioni, si ricava che
$V_{m,d}=\frac{(m-M)v_0}{M+m} \mathbf{u_{T}}$, velocità di m dopo l'urto. E' negativa, perciò, com'era lecito aspettarsi, si muove in verso opposto a M.
$V_{M,d}=\frac{2m v_0}{M+m} \mathbf{u_{T}}$.
e) Si ha la conservazione dell'energia cinetica interna, che è $E_{K,INT,d}=\frac{1}{2} m V_{m}^{2} + \frac{1}{2} M V_{M}^{2}$.
Facendo i conti è effettivamente uguale all'energia cinetica interna prima dell'urto $E_{K,INT,p}=\frac{1}{2} m v_{0}^{2}$
f) Poiché la seconda parte della guida è liscia, ora vale la conservazione dell'energia e pertanto
$\frac{1}{2} M V_{M}^{2} = Mg H_{\text{max}}$
da cui
$H_{\text{max}}=\frac{V_{M}^{2}}{2g}$
In questi due ultimi punti, in particolare, mi trovo in difficoltà.
g)
Con punto d'arresto in questo caso si intende il punto in cui arrivo all'altezza massima?
In tal caso si avrebbe
$N- mg \sin(\theta) = m \frac{v_{\text{max}}^2}{R}$
Ma poiché $v_{\text{max}}=0$, allora $N=mg \sin(\theta) \mathbf{u_{N}}$. C'è qualche possibilità di ricavare pure $\theta$?
h) Per l'accelerazione angolare non saprei proprio come fare. $\vec{\alpha}= \frac{\Delta_w}{Delta t}$, ma non credo sia la strada corretta.
Qualche idea?
Risposte
up!
a) il lavoro totale delle forze agenti sul corpo di massa m in corrispondenza allo spostamento
tra la posizione iniziale e il fondo del profilo, prima dell’urto con il corpo di massa M;
b) il lavoro della forza di attrito in corrispondenza di tale spostamento del corpo;
Usa l'equazione dell'energia meccanica, come se non ci fosse attrito e calcola l'energia cinetica "prevista" senza attrito.
Poi calcola quella "reale". La differenza fra le due è l'energia cinetica/potenziale trasformata in calore dall'attrito.
E potrai anche rispondere alle prime due domande.
c) la reazione $N_p$ della guida semicircolare immediatamente prima dell'urto;
Visto dove si troverà il corpo, la forza normale è esattamente quella di reazione ad un oggetto di massa M a riposo posto su un piano...
d) le velocità $V_m$ e $V_M$ dei due corpi subito dopo l'urto;
Dovresti conoscere l'equazione di conservazione del momento (quantità di moto) in un urto elastico, no?
E ricavi anche le due velocità.
e) l’energia cinetica interna $E_{K,INT}$ del sistema subito dopo l'urto.
Banale, segue dalla precedente risposta usando la formula dell'energia cinetica su entrambi i corpi e sommandola.
f) l'altezza massima raggiunta dal corpo di massa M dopo l'urto, rispetto al piano orizzontale;
Di nuovo applichi l'eq dell'energia meccanica... e stavolta non c'è attrito.
g) la forza che la guida circolare applica al corpo di massa M nel punto di arresto;
Questa è estremamente pedante e noiosa come domanda. Dovrai trovare la posizione in base all'altezza ricavata dal punto f)
Tracci il raggio collegandolo alla posizione e pure la tangente su quel punto (due segmenti perpendicolari insomma) e poi dovrai scomporre la forza di gravità in base a quell'angolo.
h) l’accelerazione angolare $\vec{\alpha}$ del corpo di massa M nel punto di arresto.
Beh, a questo punto avrai la forza di gravità che agisce anche lungo la tangente di cui sopra...l'accelerazione tangenziale.
Dovrai solo convertirla in accelerazione angolare usando la formula che dovresti conoscere
tra la posizione iniziale e il fondo del profilo, prima dell’urto con il corpo di massa M;
b) il lavoro della forza di attrito in corrispondenza di tale spostamento del corpo;
Usa l'equazione dell'energia meccanica, come se non ci fosse attrito e calcola l'energia cinetica "prevista" senza attrito.
Poi calcola quella "reale". La differenza fra le due è l'energia cinetica/potenziale trasformata in calore dall'attrito.
E potrai anche rispondere alle prime due domande.
c) la reazione $N_p$ della guida semicircolare immediatamente prima dell'urto;
Visto dove si troverà il corpo, la forza normale è esattamente quella di reazione ad un oggetto di massa M a riposo posto su un piano...
d) le velocità $V_m$ e $V_M$ dei due corpi subito dopo l'urto;
Dovresti conoscere l'equazione di conservazione del momento (quantità di moto) in un urto elastico, no?
E ricavi anche le due velocità.
e) l’energia cinetica interna $E_{K,INT}$ del sistema subito dopo l'urto.
Banale, segue dalla precedente risposta usando la formula dell'energia cinetica su entrambi i corpi e sommandola.
f) l'altezza massima raggiunta dal corpo di massa M dopo l'urto, rispetto al piano orizzontale;
Di nuovo applichi l'eq dell'energia meccanica... e stavolta non c'è attrito.
g) la forza che la guida circolare applica al corpo di massa M nel punto di arresto;
Questa è estremamente pedante e noiosa come domanda. Dovrai trovare la posizione in base all'altezza ricavata dal punto f)
Tracci il raggio collegandolo alla posizione e pure la tangente su quel punto (due segmenti perpendicolari insomma) e poi dovrai scomporre la forza di gravità in base a quell'angolo.
h) l’accelerazione angolare $\vec{\alpha}$ del corpo di massa M nel punto di arresto.
Beh, a questo punto avrai la forza di gravità che agisce anche lungo la tangente di cui sopra...l'accelerazione tangenziale.
Dovrai solo convertirla in accelerazione angolare usando la formula che dovresti conoscere
Ciao Bokonon, grazie per la risposta.
Mi sembra che i miei procedimenti rispecchino ciò che hai detto...però negli ultimi due punti sinceramente non riesco a capire se ho svolto correttamente le cose oppure no. Inoltre l'ultimo punto mi rimane ancora oscuro. Non capisco come passare all'accelerazione angolare.
Mi sembra che i miei procedimenti rispecchino ciò che hai detto...però negli ultimi due punti sinceramente non riesco a capire se ho svolto correttamente le cose oppure no. Inoltre l'ultimo punto mi rimane ancora oscuro. Non capisco come passare all'accelerazione angolare.
"feddy":
Ciao Bokonon, grazie per la risposta.
Mi sembra che i miei procedimenti rispecchino ciò che hai detto...però negli ultimi due punti sinceramente non riesco a capire se ho svolto correttamente le cose oppure no. Inoltre l'ultimo punto mi rimane ancora oscuro. Non capisco come passare all'accelerazione angolare.
Quando vai scomporre la forza di gravità rispetto al sistema di riferimento ortogonale direzione raggio e direzione tangente, troverai che la componente della forza di gravità lungo la tangente sarà del tipo:
$F=-mgsin(vartheta)$ quindi $-mgsin(vartheta)=ma$ quindi $a=-gsin(vartheta)$
Dato che $ a=alpha r $ implica che $alpha=a/r =(-gsin(vartheta))/r$
L'accelerazione angolare è negativa perchè la direzione è oraria
Ti ringrazio @Bokonon, mi è chiaro
Quindi mi pare che per punto di arresto si intenda il punto di altezza massima o sbaglio?
"feddy":
Quindi mi pare che per punto di arresto si intenda il punto di altezza massima o sbaglio?
Certo
Ottimo. Grazie ancora
la reazione Np della guida semicircolare immediatamente prima dell'urto;
Visto dove si troverà il corpo, la forza normale è esattamente quella di reazione ad un oggetto di massa M a riposo posto su un piano...
No...la guida è circolare, la reazione del piano contiene anche la forza centripeta.
@feddy Comunque, NON usare termini come energia cinetica interna e momento angolare intrinseco, sono termini senza senso che usi solo tu e chi ha scritto il testo da cui studi e/o il tuo professore.
D'accordo Vulplasir. Li chiamerò "energia cinetica rispetto al centro di massa" e "momento angolare rispetto al centro di massa"
"Vulplasir":
No...la guida è circolare, la reazione del piano contiene anche la forza centripeta.
Verissimo.
Chiedeva nell'istante immediatamente prima dell'urto non nell'istante in cui si urtano.
Colpa mia
E' la stessa cosa
"Vulplasir":
E' la stessa cosa
No
Nell'istante in cui si urtano la velocita del corpo di massa m è zero....altrimenti come fa ad invertirsi in $v'=(-1/2)v$?
Niente velocità, niente forza centripeta...
Scusate se riesumo questo post, ma vorrei chiedere una cosa: nel caso in cui l'urto fosse stato completamente anelastico, allora vale la conservazione della quantità di moto e $(m+M)v_{CM}=m v_0$, nonostante la guida nel punto di aggancio sia scabra?
"feddy":
Scusate se riesumo questo post, ma vorrei chiedere una cosa: nel caso in cui l'urto fosse stato completamente anelastico, allora vale la conservazione della quantità di moto e $(m+M)v_{CM}=m v_0$, nonostante la guida nel punto di aggancio sia scabra?
Un urto anelastico equivarrebbe a piazzare una carica di C2 sul secondo blocco in modo tale che quando viene colpito la carica esplode.
In generale la quantità di moto viene conservata in qualsiasi tipo di urto solo e solo se il sistema di riferimento ha come origine il centro di massa.
mmm perdonami ma la prima frase non l'ho capita. Ad ogni modo, nel caso in esame, varrebbe o no la conservazione? Perché dalla tua risposta non mi è chiaro se sì o no.
Prendi un attimo di tempo per riflettere Feddy. Ci ho messo più tempo a scrivere il post che tu a rispondere!
Ti ho dato tutti gli elementi per trarre una conclusione...
Ti ho dato tutti gli elementi per trarre una conclusione...
Sinceramente ho riflettuto eh Tu dici che la qmd si conserva se il sistema di riferimento (quale? massa M + m? ) ha come origine il centro di massa, che in questo caso mi pare possa essere vero. Quindi direi che si conserva, nonostante la presenza dell'attrito.
Tu dici che la qmd si conserva se il sistema di riferimento (quale? massa M + m? ) ha come origine il centro di massa, che in questo caso mi pare possa essere vero. Quindi direi che si conserva, nonostante la presenza dell'attrito.
"feddy":
Quindi direi che si conserva, nonostante la presenza dell'attrito.
Come fa a conservarsi in presenza di attrito? Anche nell'esercizio stesso e col solo urto elastico non potevi applicare la conservazione del momento (al sistema in generale)
Il primo passo sarà quello di modificare il problema (niente attrito su tutta la guida) , perchè l'attrito non è una forza conservativa per definizione
Inoltre sul sistema agiscono altre forze esterne, quindi devi chiederti se in quel caso il momento dell'intero sistema si conserva o meno?
Potrei sbagliarmi ma non solo non ti sono chiari i diversi tipi di urti ma nemmeno il principio di conservazione del momento.
Non è che lo confondi con quello dell'energia meccanica?
Il fatto stesso che tu abbia preso questo specifico problema e tu l'abbia complicato (con un urto aggiuntivo anelastico) segnala che tu non abbia chiaro in testa quando è applicabile il principio di conservazione del momento.
Torna alle basi. Se non vi sono forze esterne o se la loro somma è zero, allora...?
"Bokonon":
Potrei sbagliarmi ma non solo non ti sono chiari i diversi tipi di urti ma nemmeno il principio di conservazione del momento.
Non è che lo confondi con quello dell'energia meccanica?
Il fatto stesso che tu abbia preso questo specifico problema e tu l'abbia complicato (con un urto aggiuntivo anelastico) segnala che tu non abbia chiaro in testa quando è applicabile il principio di conservazione del momento.
A dire il vero era un esercizio che ho trovato, non è una mia invenzione. Perciò l'attrito lo considero sulla prima metà, come era il testo del problema originale
Poi non sono d'accordo su questo:
"Bokonon":
Anche nell'esercizio stesso e col solo urto elastico non potevi applicare la conservazione del momento.
Ma nella tua prima risposta al topic hai detto tu stesso
"Bokonon":
Dovresti conoscere l'equazione di conservazione del momento (quantità di moto) in un urto elastico, no?
E ricavi anche le due velocità.
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