Urto elastico in guida semi-circolare

[feddy]

Un corpo puntiforme di massa $m = 4 kg$ si muove nel piano verticale lungo una guida semi-circolare di raggio $R = 0.8 m$, senza mai staccarsi da essa. La guida è per metà scabra (prima parte) e per metà liscia (seconda parte), ed è appoggiata al piano orizzontale.
Il corpo parte da fermo dal punto A posto alla sommità della guida e raggiunge il punto C, posto al fondo di essa, con velocità $v_0 =3.2 m/s$ .
Lì urta centralmente un corpo puntiforme di massa $M = 12 kg$, inizialmente in quiete. L’urto tra i due corpi è perfettamente elastico. Determinare in un sistema di riferimento opportuno, con origine nel punto O, centro del profilo semi-circolare:

a) il lavoro totale delle forze agenti sul corpo di massa m in corrispondenza allo spostamento
tra la posizione iniziale e il fondo del profilo, prima dell’urto con il corpo di massa M;
b) il lavoro della forza di attrito in corrispondenza di tale spostamento del corpo;
c) la reazione $N_p$ della guida semicircolare immediatamente prima dell'urto;
d) le velocità $V_m$ e $V_M$ dei due corpi subito dopo l'urto;
e) l’energia cinetica interna $E_{K,INT}$ del sistema subito dopo l'urto.
f) l'altezza massima raggiunta dal corpo di massa M dopo l'urto, rispetto al piano orizzontale;
g) la forza che la guida circolare applica al corpo di massa M nel punto di arresto;
h) l’accelerazione angolare $\vec{\alpha}$ del corpo di massa M nel punto di arresto.

Il pedice $d$, tipo $E_{K,INT,d}$ indice l'istante "successivo".

a) Poiché agiscono forze dissipative, non vale la conservazione dell'energia meccanica. Vale però che $W_{A,C}=\Delta E_{K}$.

Perciò il lavoro $W_{A,C}=\frac{1}{2} m v_0^2$.

b) Il lavoro delle forze non conservative è dato dalla variazione di energia meccanica, perciò $W_{\text{attr}}=\frac{1}{2} m v_0^2 - mgR$.

c) Immediatamente prima dell'urto si ha che sulla massa m vale, fissato un sistema di coordine $u_N, u_{T}$:

$N - mg=m \frac{v_0^2}{R}$

, da cui

$N=m(frac{v_{0}^{2}}{R} + g) \mathbf{u_N}$

d) In un urto elastico, si ha la conservazione dell'energia cinetica interna e della quantità di moto durante l'urto. Perciò, mettendo a sistema queste due condizioni, si ricava che

$V_{m,d}=\frac{(m-M)v_0}{M+m} \mathbf{u_{T}}$, velocità di m dopo l'urto. E' negativa, perciò, com'era lecito aspettarsi, si muove in verso opposto a M.

$V_{M,d}=\frac{2m v_0}{M+m} \mathbf{u_{T}}$.

e) Si ha la conservazione dell'energia cinetica interna, che è $E_{K,INT,d}=\frac{1}{2} m V_{m}^{2} + \frac{1}{2} M V_{M}^{2}$.

Facendo i conti è effettivamente uguale all'energia cinetica interna prima dell'urto $E_{K,INT,p}=\frac{1}{2} m v_{0}^{2}$

f) Poiché la seconda parte della guida è liscia, ora vale la conservazione dell'energia e pertanto

$\frac{1}{2} M V_{M}^{2} = Mg H_{\text{max}}$

da cui

$H_{\text{max}}=\frac{V_{M}^{2}}{2g}$

In questi due ultimi punti, in particolare, mi trovo in difficoltà.
g)

Con punto d'arresto in questo caso si intende il punto in cui arrivo all'altezza massima?

In tal caso si avrebbe

$N- mg \sin(\theta) = m \frac{v_{\text{max}}^2}{R}$

Ma poiché $v_{\text{max}}=0$, allora $N=mg \sin(\theta) \mathbf{u_{N}}$. C'è qualche possibilità di ricavare pure $\theta$?

h) Per l'accelerazione angolare non saprei proprio come fare. $\vec{\alpha}= \frac{\Delta_w}{Delta t}$, ma non credo sia la strada corretta.

Qualche idea?

[Bokonon]

"feddy":
Ma nella tua prima risposta al topic hai detto tu stesso [quote="Bokonon"]Dovresti conoscere l'equazione di conservazione del momento (quantità di moto) in un urto elastico, no?
E ricavi anche le due velocità.

[/quote]
Infatti ho corretto il post precedente per specificare che stiamo parlando dell'intero sistema (cosa che davo per scontata ma poi ho pensato che non lo fosse).
Nell'esercizio abbiamo assunto la conservazione del momento solo nell'istante dell'urto per determinare la velocità della massa 2. Poi ce ne siamo fregati di cosa accade al momento generale del sistema immediatamente dopo l'urto e abbiamo usato il principio della conservazione dell'energia per analizzare la seconda parte del problema (sulla superficie liscia). Applicando la conservazione del momento non saremmo andati da nessuna parte infatti.
Ma ripeto, se guardi al sistema in generale non vi è conservazione del momento immediatamente dopo l'urto.
E non vi è conservazione dell'energia nel sistema generale.

E se invece volevi complicare solo le cose e analizzare il problema aggiungendo un ulteriore urto anelastico, allora ancora una volta non avresti concluso nulla senza avere dettagliate info aggiuntive...e il centro di massa ti faccio presente che NON è mai (in entrambi i casi) esattamente nel punto dell'urto. Insomma è un problema infelice per ragionare anche di urti anelastici. Ma soprattutto non puoi mai scrivere che il momento si conserva in presenza di attrito (perchè non è vero).

Forse il problema nasce dal fatto che hai pensato che il principio della quantità di moto sia stato applicato al sistema in generale e non specificatamente all'urto elastico. Sbaglio?

[feddy]

Scusami, ma vorrei ribadire che non ho voluto complicare le cose, è semplicemente una variante dello stesso esercizio che ho trovato, non che mi sono inventato
Il testo è esattamente quello postato nel primo esercizio, sostituendo l'urto elastico con urto completamente anelastico. Quindi, sempre dal testo, si legge che la velocità con cui $m$ urta $M$ è $v_0$. Se durante l'urto quindi non si conserva la qdm, allora come si fa a trovare la velocità con cui si muove la massa $m+M$ dopo l'urto? Non saprei veramente come fare

[Bokonon]

"feddy":Scusami, ma vorrei ribadire che non ho voluto complicare le cose, è semplicemente una variante dello stesso esercizio che ho trovato, non che mi sono inventato
Il testo è esattamente quello postato nel primo esercizio, sostituendo l'urto elastico con urto completamente anelastico. Quindi, sempre dal testo, si legge che la velocità con cui $m$ urta $M$ è $v_0$. Se durante l'urto quindi non si conserva la qdm, allora come si fa a trovare la velocità con cui si muove la massa $m+M$ dopo l'urto? Non saprei veramente come fare

Prima di tutto mi scuso perchè nella mia testa pensavo ad un urto superelastico (non so perchè nella mia testa era diventato superelastico).
Comunque sia cambia poco. Il momento totale del sistema non viene conservato dopo l'urto (anche se la M+m andrà nella medesima direzione e non c'è attrito...c'è sempre la guida + la forza di gravità che intervengono) ma puoi sempre analizzare l'urto "in se" come prima.
Nell'urto anelastico le due masse si "uniscono", quindi è solo una variante del problema.
Puoi considerare il centro di massa come il punto di urto visto che le due masse non differiscono di tanto (commettendo un errore molto piccolo) e quindi puoi assumere che il momento totale sia zero (come in tutti gli urti anelastici).
Una volta ottenuta la velocità della massa M+m ($V_(cm)=(mv)/(m+M)$) applichi l'eq dell'energia meccanica come abbiamo già fatto in precedenza.

[feddy]

Grazie Bokonon per la pazienza, è come pensavo quindi Sì certo, poi l'altezza massima sarà $H= \frac{v_{CM}^{2}}{2g}$, e gli altri punti si fanno analogamente. Grazie