Urto elastico e molla
Salve a tutti, avrei dei dubbi sul seguente esercizio. Potreste dirmi dove sbaglio(se sbaglio)?
Si consideri un elastico di costante elastica k teso fra due blocchi fissi posti a distanza $2L$, pari alla lunghezza a riposo dell'elastico. Esattamente al centro dell'elastico viene messo un blocchetto di massa m. Un'altra massa identica si muove sullo stesso piano con velocità $v$ perpendicolare al segmento individuato dall'elastico e urta elasticamente e centralmente la massa m in mezzo all'elastico.
(1) Calcolare lo spostamento Ymax fatto dal blocchetto attaccato all'elastico a causa dell'urto considerando che Ymax << L.
(2) Scrivere(senza risolverla) l'equazione differenziale soddisfatta della posizione della massa fissata all'elastico nel caso limite discusso in (1) e dire perchè non è un semplice moto armonico.
(3) Si riconsideri il tutto ponendo la lunghezza a riposo pari a 2tL con $0
SVOLGIMENTO
Mi ricavo la velocità $V$ del secondo blocchetto attaccato all'elastico dopo l'urto sfruttando la conservazione della quantità di moto e dell'energia cinetica. Dato che l'urto è elastico e le masse sono uguali i due blocchi si scambiano le velocità, usando i moduli avrò $v=V$.
Dopo l'urto, non essendoci forze dissipative, si deve avere $dE/dt = 0$. Considerando come istante iniziale quello immediatamente dopo l'urto e come istante finale quello nel quale il blocco è sceso di Ymax, si deve avere:
$E(i) = V + K = mgh + 1/2k4L^2 + 1/2mV^2 = mgYmax + 1/2k4L^2 + 1/2mV^2$
$E(f) = V + K = 1/2kl^2$ dove l è l'eleongazione subita dalla molla.
Uguagliandole trovo:
$Ymax = (kl^2-k4L^2-mV^2)/(2mg)$
Quello che non mi quadra è il fatto che l non lo conosco e non so come trovare l'elongazione della molla.
Una volta fatto questo punto per gli altri due non dovrei avere problemi, basta usare il secondo principio.
Grazie per l'aiuto.
Si consideri un elastico di costante elastica k teso fra due blocchi fissi posti a distanza $2L$, pari alla lunghezza a riposo dell'elastico. Esattamente al centro dell'elastico viene messo un blocchetto di massa m. Un'altra massa identica si muove sullo stesso piano con velocità $v$ perpendicolare al segmento individuato dall'elastico e urta elasticamente e centralmente la massa m in mezzo all'elastico.
(1) Calcolare lo spostamento Ymax fatto dal blocchetto attaccato all'elastico a causa dell'urto considerando che Ymax << L.
(2) Scrivere(senza risolverla) l'equazione differenziale soddisfatta della posizione della massa fissata all'elastico nel caso limite discusso in (1) e dire perchè non è un semplice moto armonico.
(3) Si riconsideri il tutto ponendo la lunghezza a riposo pari a 2tL con $0
SVOLGIMENTO
Mi ricavo la velocità $V$ del secondo blocchetto attaccato all'elastico dopo l'urto sfruttando la conservazione della quantità di moto e dell'energia cinetica. Dato che l'urto è elastico e le masse sono uguali i due blocchi si scambiano le velocità, usando i moduli avrò $v=V$.
Dopo l'urto, non essendoci forze dissipative, si deve avere $dE/dt = 0$. Considerando come istante iniziale quello immediatamente dopo l'urto e come istante finale quello nel quale il blocco è sceso di Ymax, si deve avere:
$E(i) = V + K = mgh + 1/2k4L^2 + 1/2mV^2 = mgYmax + 1/2k4L^2 + 1/2mV^2$
$E(f) = V + K = 1/2kl^2$ dove l è l'eleongazione subita dalla molla.
Uguagliandole trovo:
$Ymax = (kl^2-k4L^2-mV^2)/(2mg)$
Quello che non mi quadra è il fatto che l non lo conosco e non so come trovare l'elongazione della molla.
Una volta fatto questo punto per gli altri due non dovrei avere problemi, basta usare il secondo principio.
Grazie per l'aiuto.
Risposte
La (semi) lunghezza della molla è data da $sqrt(x^2 + L^2)$ dove $x$ è lo spostamento del blocchetto centrale. Da qui, con un po' di sviluppi in serie (di $sqrt(1+x) = 1 + x/2 + ....$), mi pare che si trovi che $DeltaL = x/2$
Ah ok perfett, grazie mille
Avrei ancora un dubbio, in $E(i)$ è giusto metterci il contributo $1/2k4L^2$ anche se la molla è a riposo in quel momento?
Certo che no. $2L$ è la lunghezza, non l'allungamento
Quindi il risutato sarebbe $Ymax = (kl^2-mV^2)/(2mg)$ con $l=sqrt(x^2+L^2)$ che va sviluppato in serie giusto?
"Ale112":
Quindi il risutato sarebbe $Ymax = (kl^2-mV^2)/(2mg)$ con $l=sqrt(x^2+L^2)$ che va sviluppato in serie giusto?
Se $l$ e' l'allungamento, vale $sqrt(x^2+L^2) - L$
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