Urto elastico con molla
Un corpo di massa m si muove con velocità v, verso destra su una superficie senza attrito. Ad un certo istante di tempo t urta elasticamente contro un corpo di massa uguale m, a cui è attaccata una molla di costante elastica k e massa nulla, inizialmente a riposo.
La massima compressione raggiunta dalla molla è?
Allora ragazzi io per risolvere questo esercizio ho fatto in questo modo.
Ho utilizzato la conservazione dell'energia:
$ Ei = 1/2 m v^2 $
$ Ef = 1/2 k x^2 + 1/2 (2m) (v/2)^2 $
Questo perchè all'inizio c'è solo l'energia del corpo in movimento, mentre alla fine abbiamo sia l'energia elastica della molla compressa, sia l'energia cinetica delle due masse che si muovono assieme (velocità dimezzata e massa doppia).
$ Ef = Ei $
$ 1/2 m v^2 = 1/2 k x^2 + 1/2 (2m) (v/2)^2 $
Con qualche semplice passaggio algebrico troviamo che:
$ x = sqrt(m/(2k))*v $
Dal momento che sul mio libro tra le possibili soluzioni c'è anche quella con il due al numeratore, potreste dirmi gentilmente se i passaggi che ho postato sono corretti?
Grazie mille in anticipo.
La massima compressione raggiunta dalla molla è?
Allora ragazzi io per risolvere questo esercizio ho fatto in questo modo.
Ho utilizzato la conservazione dell'energia:
$ Ei = 1/2 m v^2 $
$ Ef = 1/2 k x^2 + 1/2 (2m) (v/2)^2 $
Questo perchè all'inizio c'è solo l'energia del corpo in movimento, mentre alla fine abbiamo sia l'energia elastica della molla compressa, sia l'energia cinetica delle due masse che si muovono assieme (velocità dimezzata e massa doppia).
$ Ef = Ei $
$ 1/2 m v^2 = 1/2 k x^2 + 1/2 (2m) (v/2)^2 $
Con qualche semplice passaggio algebrico troviamo che:
$ x = sqrt(m/(2k))*v $
Dal momento che sul mio libro tra le possibili soluzioni c'è anche quella con il due al numeratore, potreste dirmi gentilmente se i passaggi che ho postato sono corretti?
Grazie mille in anticipo.
Risposte
E' sbagliato quello che fai.
Se l'urto è elastico non è affatto detto che le velocità delle masse dopo l'urto siano uguali (anzi se le masse sono uguali quello che avviene è banale.... mai giocato a biliardo?
)
Ricorda che oltre l'energia in un urto si conserva la quantità di moto!
(Assumendo che l'urto avviene in un tempo brevissimo per cui la molla non esercita alcuna forza sulle masse durante l'urto.)
Se l'urto è elastico non è affatto detto che le velocità delle masse dopo l'urto siano uguali (anzi se le masse sono uguali quello che avviene è banale.... mai giocato a biliardo?
)Ricorda che oltre l'energia in un urto si conserva la quantità di moto!
(Assumendo che l'urto avviene in un tempo brevissimo per cui la molla non esercita alcuna forza sulle masse durante l'urto.)
Ho capito.
Mi sono confuso con l'urto anelastico.
Il problema è che non riesco ad unire la quantità di moto, con l'energia potenziale elastica.
Potresti darmi una dritta?
Il libro mi dà un suggerimento:
Quando la compressione della molla raggiunge il massimo valore i due blocchi si muovono come un sol blocco. Osservando che a questo punto la collisione è completamente anelastica troverete la velocità.
Sono confuso.
Mi sono confuso con l'urto anelastico.
Il problema è che non riesco ad unire la quantità di moto, con l'energia potenziale elastica.
Potresti darmi una dritta?
Il libro mi dà un suggerimento:
Quando la compressione della molla raggiunge il massimo valore i due blocchi si muovono come un sol blocco. Osservando che a questo punto la collisione è completamente anelastica troverete la velocità.
Sono confuso.
"Mirko909":
Ho capito.
Mi sono confuso con l'urto anelastico.
Il problema è che non riesco ad unire la quantità di moto, con l'energia potenziale elastica.
Potresti darmi una dritta?
Il libro mi dà un suggerimento:
Quando la compressione della molla raggiunge il massimo valore i due blocchi si muovono come un sol blocco. Osservando che a questo punto la collisione è completamente anelastica troverete la velocità.
Sono confuso.
Se il libro ti dice così allora l'urto è perfettamente anelastico altrimenti non è possibile che le masse procedano attaccate.
Se l'urto fosse elastico, come ti accennavo con l'esempio del biliardo, la massa che va ad impattare si fermerebbe e l'altra partirebbe alla stella velocità (basta applicare la conservazione della quantità di moto e dell'energia prima e dopo l'urto) quindi alla fine la compressione della molla si troverebbe eguagliando l'energia cinetica subito dopo l'urto (avremmo anche potuto usare quella prima dell'urto dato che era la stessa) con quella potenziale della molla compressa, con la formula
$1/2 m v^2 = 1/2 k * x^2$
da cui $x= v*sqrt (m/k)$
nel caso di urto anelastico invece la velocità subito dopo l'urto delle due masse che procedono unite si trova dalla conservazione della quantità di moto:
$m*v = 2*m*v'$
$v'=v/2$
per cui eguagliando l'energia cinetica delle due masse subito dopo l'urto con quella della molla compressa alla fine:
$1/2 2m v'^2= m v^2 /4 = 1/2 k x^2$
da cui
$x=sqrt(m/(2k))*v$
La molla rispetto al caso elastico si comprimerà di meno perché parte dell'energia si è dissipata durante l'urto, (normalmente l'energia va a deformare i due corpi).
Occhio che viene il tuo stesso risultato iniziale, ma è solo una coincidenza la tua equazione infatti:
$1/2mv^2=1/2kx^2+ 1/2 (2m)(v/2)^2$
non era corretta.
Infatti tu volevi eguagliare l'energia iniziale e finale ma l'energia cinetica finale a molla compressa dovrebbe essere nulla e non $ 1/2 (2m)(v/2)^2$..... quindi avresti dovuto scrivere:
$1/2mv^2=1/2kx^2$
....che però non va bene perché come abbiamo detto questo è il caso di urto elastico mentre in realtà l'energia cinetica non si conserva nell'urto anelastico in cui le due masse procedono unite.
Capito. E' tutto molto chiaro.
Non capivo in effetti il passaggio dell'urto anelastico, ma ora mi è tornato.
Grazie mille, sempre gentile.
Non capivo in effetti il passaggio dell'urto anelastico, ma ora mi è tornato.
Grazie mille, sempre gentile.
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