Urto e corpo rigido in rotazione
Una sfera di massa M = 1 Kg e di raggio R = 0.1 m si trova su un piano orizzontale. Una particella di massa m = 0.01Kg si muove con velocità v = 10 m/s parallela alla superficie orizzontale e colpisce la sfera ad una altezza h = 0.06 m sopra il suo centro attaccandosi alla sfera. Trovare:
i) la velocità angolare della sfera appena dopo la collisione;
ii) la velocità della sfera dopo la collisione, se il moto è di puro rotolamento.
Avrei bisogno di aiuto per risolvere questo problema di un tema d'esame. Non ho chiaro il procedimento/ragionamento da utilizzare per risolvere problemi sui corpi rigidi, pur avendo letto e riletto la parte teorica. Per quanto riguarda il primo quesito so di dover tenere conto che l'urto è totalmente anelastico e quindi io partirei con la conservazione della quantità di moto. Però non ho idea di come ragionare per andare avanti.
Ringrazio chiunque possa aiutarmi.
i) la velocità angolare della sfera appena dopo la collisione;
ii) la velocità della sfera dopo la collisione, se il moto è di puro rotolamento.
Avrei bisogno di aiuto per risolvere questo problema di un tema d'esame. Non ho chiaro il procedimento/ragionamento da utilizzare per risolvere problemi sui corpi rigidi, pur avendo letto e riletto la parte teorica. Per quanto riguarda il primo quesito so di dover tenere conto che l'urto è totalmente anelastico e quindi io partirei con la conservazione della quantità di moto. Però non ho idea di come ragionare per andare avanti.
Ringrazio chiunque possa aiutarmi.
Risposte
Allora, cerco di spiegarti in generale. lascio perdere l'esercizio per un momento.
Supponi di avere un disco, posato di piatto su piano liscio e orizzontale, in modo che sia libero di ruotare e traslare attorno a un asse (qualsiasi, non metto limitazioni) ortognale al piano stesso.
Un proiettile viene lanciato parallelamente al piano, a distanza h dal centro del disco, originariamente fermo, e si conficca sul disco.
In questo caso, visto che non ci sono forze agenti parallelamente al piano, si conserva la quantita di moto $\vec{Q}$ e il momento della quantita' di moto (Momento angolare) $\vec{P}$.
Concentriamoci sul $P$.
P si puo 'scrivere come la somma di 2 termini $P_1+P_2$:
$P_1$ attiene al P del centro di massa, rispetto a un polo O qualsiasi, come se la massa fosse concentrata nel centro di massa stesso. In formule: $\vec{P_1}=\vec{OC}xxm\vec{v_c}$
$P_2$ e' il momento angolare dovuto alla rotazione intorno al centro di massa: $\vec{P_2}=I_c\omega_c$
Cosi:
$\vec{P}= \vec{r}xxm\vec{v_c}+\vec{P_2}=I_c\omega_c$
Se come polo scegli proprio il CdM, si dimostra $P_1=0$ e cioe' che $\vec{P}= \vec{P_2}=I_c\omega_c$
Fine della fiera.
Torniamo al disco (non alla tua sfera per adesso).
Scegliamo come sistema di riferimento un sistema di riferimento con origine nel centro del disco, la coordinata del centro di massa di m ed M e'
$y_c={mh}/{M+m}$ ed e' costante,prima dell'impatto (anche MOLTO prima dell'impatto) e IMMEDIATAMENTE dopo l'impatto
Prima dell'impatto, il momento angolare vale:
$P_i=mvh$
IMMEDIATAMENTE dopo l'impatto, per quanto scritto sopra,
$P_1=(M+m)*y_c*v_c=mhv_c$: questo e' il termine $P_1$ descritto sopra (momento angolare del centro di massa rispetto ad O)
$P_2=I_c\omega$.
Vale dunque, per la cons. del mom. ang. $P_i=P_f=P_1+P_2$, cioe'
$mvh=mhv_c+I_c\omega$
Si tratta di calcolare il momento di inerzia rispetto al centro di massa.
Il proiettile m, corpo puntiforme dista dal centro di massa ${Mh}/{M+m}$. Il suo Mom. d'Inerzia e' pertanto
$m({Mh}/{M+m})^2$
Il disco ha momento di inerzia, in accordo a Huygens-Steiner:
$M({mh}/{M+m})^2+{MR^2}/2$
Resta da individuare $v_c$, che per la conservazione della quantita' di moto (applicabile, in questo caso), vale:
$v_c={m}/{M+m}$.
Sostituiendo e risolvendo si trova:
$\omega={2mvh}/{2mh^2+(M+m)R^2}$
Per verifica, riapplichiamo il tutto al centro di massa. In questo caso scompare il termine in $v_c$.
Prima dell'urto, il proiettile viaggia a distanza da C pari a ${Mh}/{M+m}$ quindi:
${Mh}/{M+m}=I_c\omega$
Rifai i calcoli e trovi esattamente lo stesso risultato.
Torniamo alla sfera.
Nel tuo caso, non puoi sapere se le forze esterne parallele al piano sono nulle: infatti, non puo' essere esclusa una reazione vincolare dovuta all'attrito. Questa reazione e' di tipo impulsivo, e pertanto non puo' essere trascurata. Quindi, la quantita; di moto potrebbe NON conservarsi.
Ma se tu scegli come polo il punto di contatto sfera-piano, la forza d'attrito non da momento. Non essendoci altre forze, rispetto a quel polo si conserva di sicuro il momento angolare.
Si tratta allora di riscrivere le equazioni intorno al punto di contatto. C'e' il problema che pero' la $v_c$ in questo caso non la puoi calcolare (prima si, si conservava $Q$, e da li trovavi $v_c$).
Ma il problema ti dice che il disco rotola senza strisciare, quindi e' lecito imporre: $v_c=R\omega$.
Cosi facendo, hai tutto in funzione di $\omega$.
Supponi di avere un disco, posato di piatto su piano liscio e orizzontale, in modo che sia libero di ruotare e traslare attorno a un asse (qualsiasi, non metto limitazioni) ortognale al piano stesso.
Un proiettile viene lanciato parallelamente al piano, a distanza h dal centro del disco, originariamente fermo, e si conficca sul disco.
In questo caso, visto che non ci sono forze agenti parallelamente al piano, si conserva la quantita di moto $\vec{Q}$ e il momento della quantita' di moto (Momento angolare) $\vec{P}$.
Concentriamoci sul $P$.
P si puo 'scrivere come la somma di 2 termini $P_1+P_2$:
$P_1$ attiene al P del centro di massa, rispetto a un polo O qualsiasi, come se la massa fosse concentrata nel centro di massa stesso. In formule: $\vec{P_1}=\vec{OC}xxm\vec{v_c}$
$P_2$ e' il momento angolare dovuto alla rotazione intorno al centro di massa: $\vec{P_2}=I_c\omega_c$
Cosi:
$\vec{P}= \vec{r}xxm\vec{v_c}+\vec{P_2}=I_c\omega_c$
Se come polo scegli proprio il CdM, si dimostra $P_1=0$ e cioe' che $\vec{P}= \vec{P_2}=I_c\omega_c$
Fine della fiera.
Torniamo al disco (non alla tua sfera per adesso).
Scegliamo come sistema di riferimento un sistema di riferimento con origine nel centro del disco, la coordinata del centro di massa di m ed M e'
$y_c={mh}/{M+m}$ ed e' costante,prima dell'impatto (anche MOLTO prima dell'impatto) e IMMEDIATAMENTE dopo l'impatto
Prima dell'impatto, il momento angolare vale:
$P_i=mvh$
IMMEDIATAMENTE dopo l'impatto, per quanto scritto sopra,
$P_1=(M+m)*y_c*v_c=mhv_c$: questo e' il termine $P_1$ descritto sopra (momento angolare del centro di massa rispetto ad O)
$P_2=I_c\omega$.
Vale dunque, per la cons. del mom. ang. $P_i=P_f=P_1+P_2$, cioe'
$mvh=mhv_c+I_c\omega$
Si tratta di calcolare il momento di inerzia rispetto al centro di massa.
Il proiettile m, corpo puntiforme dista dal centro di massa ${Mh}/{M+m}$. Il suo Mom. d'Inerzia e' pertanto
$m({Mh}/{M+m})^2$
Il disco ha momento di inerzia, in accordo a Huygens-Steiner:
$M({mh}/{M+m})^2+{MR^2}/2$
Resta da individuare $v_c$, che per la conservazione della quantita' di moto (applicabile, in questo caso), vale:
$v_c={m}/{M+m}$.
Sostituiendo e risolvendo si trova:
$\omega={2mvh}/{2mh^2+(M+m)R^2}$
Per verifica, riapplichiamo il tutto al centro di massa. In questo caso scompare il termine in $v_c$.
Prima dell'urto, il proiettile viaggia a distanza da C pari a ${Mh}/{M+m}$ quindi:
${Mh}/{M+m}=I_c\omega$
Rifai i calcoli e trovi esattamente lo stesso risultato.
Torniamo alla sfera.
Nel tuo caso, non puoi sapere se le forze esterne parallele al piano sono nulle: infatti, non puo' essere esclusa una reazione vincolare dovuta all'attrito. Questa reazione e' di tipo impulsivo, e pertanto non puo' essere trascurata. Quindi, la quantita; di moto potrebbe NON conservarsi.
Ma se tu scegli come polo il punto di contatto sfera-piano, la forza d'attrito non da momento. Non essendoci altre forze, rispetto a quel polo si conserva di sicuro il momento angolare.
Si tratta allora di riscrivere le equazioni intorno al punto di contatto. C'e' il problema che pero' la $v_c$ in questo caso non la puoi calcolare (prima si, si conservava $Q$, e da li trovavi $v_c$).
Ma il problema ti dice che il disco rotola senza strisciare, quindi e' lecito imporre: $v_c=R\omega$.
Cosi facendo, hai tutto in funzione di $\omega$.
Grazie mille professorkappa, ho solo un problema.. fino al momento d'inerzia del proiettile è tutto chiaro ma dal mom. d'inerzia secondo Huygens-Steiner del disco non riesco a leggere più nulla. Però io ora sono da cellulare, riproverò da pc. Ti ringrazio ancora per aver chiarito molti dubbi, ora proverò a risolverlo 
No, credo di aver dimenticato un segno di $.
Ho corretto, ora dovrebbe essere leggibile
Ho corretto, ora dovrebbe essere leggibile
Ok grazie ora è tutto leggibile.
Ho solo un dubbio.. cosa hai sostituito esattamente nella relazione tra momento angolare prima e dopo l'impatto per trovare ω?
Ho solo un dubbio.. cosa hai sostituito esattamente nella relazione tra momento angolare prima e dopo l'impatto per trovare ω?
Dove, me lo mostri?
In questa parte:
Sostituiendo e risolvendo si trova:
$ ω=(2mvh)/ [2mh^2+(M+m)R^2] $
Inoltre mi è abbastanza chiara la differenza tra la situazione del disco e quella della mia sfera e ho capito il perché della non conservazione della quantità di moto e la necessità di cambiare polo rispetto al centro di massa/origine. Tuttavia non capisco che scrittura utilizzare per il momento angolare in un polo differente.
Sostituiendo e risolvendo si trova:
$ ω=(2mvh)/ [2mh^2+(M+m)R^2] $
Inoltre mi è abbastanza chiara la differenza tra la situazione del disco e quella della mia sfera e ho capito il perché della non conservazione della quantità di moto e la necessità di cambiare polo rispetto al centro di massa/origine. Tuttavia non capisco che scrittura utilizzare per il momento angolare in un polo differente.
Rileggi a fondo.
Ti ho scritto che vale la relazione $mhv=mhv_c+I_c\omega$
Da qui ricavi $\omega={mhv-mhv_c}/I_c$, dove $I_c$ e $v_c$ sono esplicitate in seguito.
Ho fatto i 2 casi cambiando polo, proprio per farti capire come si scrive la relazione quando scegli un polo qualsiasi. Prova almeno a scriverla, casomai si la rivediamo.
Ti ho scritto che vale la relazione $mhv=mhv_c+I_c\omega$
Da qui ricavi $\omega={mhv-mhv_c}/I_c$, dove $I_c$ e $v_c$ sono esplicitate in seguito.
Ho fatto i 2 casi cambiando polo, proprio per farti capire come si scrive la relazione quando scegli un polo qualsiasi. Prova almeno a scriverla, casomai si la rivediamo.
Ok ho provato a sviluppare il problema tenendo conto che:
i) il momento angolare si conserva;
ii) il polo non è il centro di massa ma è il punto di contatto tra sfera e piano.
Ho calcolato il momento angolare $Li$ prima dell'impatto: $Li = mv(h+R)$ , con $(h+R)$ distanza del proiettile m dal polo.
Ho calcolato il momento angolare $Lf$ dopo l'impatto: $Lf = L1 +L2 = [(m+M)(h+R)Vc] + [Iω]$.
Ho eguagliato $Li$ e $Lf$: $mv(h+R) = (m+M)(h+R)Vc + Iω$.
Ho calcolato il momento d'inerzia del proiettile m rispetto al polo: $Ip = m[M(h+R)/(m+M)]^2$.
Ho calcolato il momento d'inerzia della sfera M rispetto al polo: $Is = {M[m(h+R)/(m+M)]^2} + {2/5M(h+R)^2}$.
Ho inserito poi tutto all'interno dell'espressione della conservazione del momento angolare (ho sommato i due momenti d'inerzia, è giusto?), tenendo conto che $Vc = Rω$. Ho risolto rispetto a $ω$ e poi ho ricavato $Vc$.
i) il momento angolare si conserva;
ii) il polo non è il centro di massa ma è il punto di contatto tra sfera e piano.
Ho calcolato il momento angolare $Li$ prima dell'impatto: $Li = mv(h+R)$ , con $(h+R)$ distanza del proiettile m dal polo.
Ho calcolato il momento angolare $Lf$ dopo l'impatto: $Lf = L1 +L2 = [(m+M)(h+R)Vc] + [Iω]$.
Ho eguagliato $Li$ e $Lf$: $mv(h+R) = (m+M)(h+R)Vc + Iω$.
Ho calcolato il momento d'inerzia del proiettile m rispetto al polo: $Ip = m[M(h+R)/(m+M)]^2$.
Ho calcolato il momento d'inerzia della sfera M rispetto al polo: $Is = {M[m(h+R)/(m+M)]^2} + {2/5M(h+R)^2}$.
Ho inserito poi tutto all'interno dell'espressione della conservazione del momento angolare (ho sommato i due momenti d'inerzia, è giusto?), tenendo conto che $Vc = Rω$. Ho risolto rispetto a $ω$ e poi ho ricavato $Vc$.
I momenti di inerzia sono sbagliati.
Il proiettile e' a distanza dal polo $R+h$, dunque $I=m(R+h)^2$
Quello della sfera e' dato dal momento di inerzia attorno al baricentro piu $Md^2$, dove $d$ e' la distanza del cdm dal polo, che in questo caso vale R. Dunque $I={2}/{5}MR^2+MR^2$
Il proiettile e' a distanza dal polo $R+h$, dunque $I=m(R+h)^2$
Quello della sfera e' dato dal momento di inerzia attorno al baricentro piu $Md^2$, dove $d$ e' la distanza del cdm dal polo, che in questo caso vale R. Dunque $I={2}/{5}MR^2+MR^2$
È vero, ho fatto confusione con l'esempio del disco. Grazie mille per l'aiuto, mi hai chiarito molti dubbi!
Di niente, spero che tornino i risultati.
Salve, se risolvessi questo esercizio nel seguente modo, sarebbe sbagliato?
Impongo la conservazione del momento angolare prima dell'urto e immediatamente dopo l'urto rispetto al punto di contatto sfera-piano
mv(R+h)=Iω
dove I è la somma del momenti d'inerzia della massa m e della sfera M rispetto al punto di contatto sfera-piano
I(massa)=m(R+h)²
I(sfera)=(2/5)MR²+MR²=(7/5)MR²
allora la velocità angolare della sfera subito dopo l'urto è ω=[mv(R+h)]/[m(R+h)²+(7/5)MR²]
Impongo la conservazione del momento angolare prima dell'urto e immediatamente dopo l'urto rispetto al punto di contatto sfera-piano
mv(R+h)=Iω
dove I è la somma del momenti d'inerzia della massa m e della sfera M rispetto al punto di contatto sfera-piano
I(massa)=m(R+h)²
I(sfera)=(2/5)MR²+MR²=(7/5)MR²
allora la velocità angolare della sfera subito dopo l'urto è ω=[mv(R+h)]/[m(R+h)²+(7/5)MR²]
Non va bene. Rileggi il thread per favore.
Ho riletto ma.. non capisco questo termine [(m+M)(h+R)Vc] contenuto in questa espressione Lf=L1+L2=[(m+M)(h+R)Vc]+[Iω]
E; nella prima risposta che do all'altro allievo.
Il momento angolare e' formato da 2 termini: uno relativo al momento angolare rispetto al polo di tutta la massa concentrata nel baricentro. L'altro dovuto alla rotazione attorno all'asse baricentrale.
Il primo termine lo annulli solo se scegli il polo nel baricentro, o in un moto rettilineo, se la velocita del baricentro "passa" per il polo.
In questo caso, il polo non ha questi requisiti, quindi devi aggiungere il termine $(M+m)(vecOC xx vecv_c)$ con O punto di contatto sfera piano, C posizione del baricentro e $v_c$ velocita' di C
Il momento angolare e' formato da 2 termini: uno relativo al momento angolare rispetto al polo di tutta la massa concentrata nel baricentro. L'altro dovuto alla rotazione attorno all'asse baricentrale.
Il primo termine lo annulli solo se scegli il polo nel baricentro, o in un moto rettilineo, se la velocita del baricentro "passa" per il polo.
In questo caso, il polo non ha questi requisiti, quindi devi aggiungere il termine $(M+m)(vecOC xx vecv_c)$ con O punto di contatto sfera piano, C posizione del baricentro e $v_c$ velocita' di C
Scusi, rileggendo la teoria ho notato che, in realtà, durante un urto l'eventuale presenza di forze esterne quali, ad esempio, l'attrito, è trascurabile. Questo perchè l'urto è definito come "un’interazione fra più corpi che avviene in tempi così brevi che le forze esterne al Sistema hanno effetti trascurabili [...] urto è contraddistinto da avere un tempo di azione t molto piccolo e ciò fa sì che l’effetto delle forze esterne possa essere trascurato. In pratica, un urto è un’interazione fra particelle dove agiscono solo forze interne." Andando avanti nella spiegazione, il testo fa anche riferimento ad un caso in cui la quantità di moto cambia, dimostrando che "solo l’1% del cambiamento di velocità da noi osservato è dovuto alle forze esterne (in questo caso all’attrito): per il 99% esso è dovuto alle forze interne. Se le palline si fossero scontrate con maggior velocità il contributo delle forze esterne sarebbe stato ancora più piccolo."
Indagando in altri post nel forum, inoltre, leggo "Nel caso di urto in cui in cui sia presente attrito (per esempio nel caso di due corpi lanciati uno contro l'altro su un piano in presenza di attrito e che vanno a urtarsi), l'attrito non è una forza impulsiva, quello che si può dire è che l'attrito può essere trascurato durante l'urto visto che l'urto dura un tempo brevissimo per cui in quel lasso di tempo la forza di attrito agente è trascurabile rispetto alla forza, molto grande, che i due corpi si scambiano"
Lei invece ha affermato che "Nel tuo caso, non puoi sapere se le forze esterne parallele al piano sono nulle: infatti, non puo' essere esclusa una reazione vincolare dovuta all'attrito. Questa reazione e' di tipo impulsivo, e pertanto non puo' essere trascurata. Quindi, la quantita; di moto potrebbe NON conservarsi."
Sono un pò confusa, qual è l'interpretazione giusta?
Indagando in altri post nel forum, inoltre, leggo "Nel caso di urto in cui in cui sia presente attrito (per esempio nel caso di due corpi lanciati uno contro l'altro su un piano in presenza di attrito e che vanno a urtarsi), l'attrito non è una forza impulsiva, quello che si può dire è che l'attrito può essere trascurato durante l'urto visto che l'urto dura un tempo brevissimo per cui in quel lasso di tempo la forza di attrito agente è trascurabile rispetto alla forza, molto grande, che i due corpi si scambiano"
Lei invece ha affermato che "Nel tuo caso, non puoi sapere se le forze esterne parallele al piano sono nulle: infatti, non puo' essere esclusa una reazione vincolare dovuta all'attrito. Questa reazione e' di tipo impulsivo, e pertanto non puo' essere trascurata. Quindi, la quantita; di moto potrebbe NON conservarsi."
Sono un pò confusa, qual è l'interpretazione giusta?
La valutazione del $Deltat$ dell'urto e' la parte piu' difficile in un urto, soprttutto se l'urto e' anelastico, un caso in cui i tempi si dilatano.
E' vero che gli impulsi delle forze di attrito sono trascurabili rispetto a quelle interne dovute all'urto. Ma resta il fatto che le puoi trascurare in prima approssimazione.
Se pero' scegli un polo qualsiasi per il quale il momento della forza di attrito, per quanto piccolo e trascurabile, sia nullo, ecco che hai eliminato l\approssimazione alla radice e non ti occorre fare ulteriori ragionamenti.
Questo polo e' uno qualsiasi degli infiniti poli a "livello" del punto di contatto sfera-piano.
Che pero', non essendo un polo baricentrico del sistema, ti impone di aggiungere un termine: il momento angolare della massa del sistema, rispetto a quel polo, immaginando la massa stessa concentrata nel baricentro.
Sarebbe interessante se tu riuscissi, sulla scorta di queste informazioni, a stimare quanto sarebbe l'errore commesso se scegliessi come polo l'asse baricentrale e trascurassi la forza di attrito.
E' vero che gli impulsi delle forze di attrito sono trascurabili rispetto a quelle interne dovute all'urto. Ma resta il fatto che le puoi trascurare in prima approssimazione.
Se pero' scegli un polo qualsiasi per il quale il momento della forza di attrito, per quanto piccolo e trascurabile, sia nullo, ecco che hai eliminato l\approssimazione alla radice e non ti occorre fare ulteriori ragionamenti.
Questo polo e' uno qualsiasi degli infiniti poli a "livello" del punto di contatto sfera-piano.
Che pero', non essendo un polo baricentrico del sistema, ti impone di aggiungere un termine: il momento angolare della massa del sistema, rispetto a quel polo, immaginando la massa stessa concentrata nel baricentro.
Sarebbe interessante se tu riuscissi, sulla scorta di queste informazioni, a stimare quanto sarebbe l'errore commesso se scegliessi come polo l'asse baricentrale e trascurassi la forza di attrito.
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