Urto di un proiettile contro una sbarra
Un proiettile di massa m=18g viene sparato verticalmente dal basso verso l'alto attraverso un meccanismo a molla. La molla di costante elastica k=4200N/m è inizialmente compressa di 4 cm. Ad una quota h=7.5m al di sopra della posizione a riposo della molla, si trova una asta rigida omogenea di massa M=1.2 kg e di lunghezza L=1.5m disposta parallelamente al pavimento e libera di ruotare senza attrito intorno ad un asse orizzontale passante per il suo centro. Assumendo che il proiettile urti in modo completamente anelastico l'asta, colpendolo ad una distanza d=35 cm dal suo centro. Determina:
a) la velocità di impatto del proiettile e la angolare del sistema dopo l'urto;
b) l'energia dissipata nell'urto;
c) l'angolo massimo di rotazione del sistema.
Non sono sicura di aver svolto bene l'esercizio.
Allora, ho ricavato la velocità di impatto del proiettile imponendo la conservazione della quantità di moto: $v_(imp)$=$[mv_0][/m+M]$ e ricavando $v_0$ dalla conservazione dell'energia. La velocità angolare invece l'ho ottenuta dalla conservazione del momento angolare. Ho fatto bene a calcolare il momento di inerzia come $[Ml^2][/12]+md^2$?
Ho calcolato poi l'energia dissipata come $[1][/2]Iw_f^2+[1][/2](m+M)v_f^2-[1][/2]mv_0^2$, è giusto (?)
Per ricavare l'angolo massimo di oscillazione qual è la conservazione dell'energia che devo imporre?
a) la velocità di impatto del proiettile e la angolare del sistema dopo l'urto;
b) l'energia dissipata nell'urto;
c) l'angolo massimo di rotazione del sistema.
Non sono sicura di aver svolto bene l'esercizio.
Allora, ho ricavato la velocità di impatto del proiettile imponendo la conservazione della quantità di moto: $v_(imp)$=$[mv_0][/m+M]$ e ricavando $v_0$ dalla conservazione dell'energia. La velocità angolare invece l'ho ottenuta dalla conservazione del momento angolare. Ho fatto bene a calcolare il momento di inerzia come $[Ml^2][/12]+md^2$?
Ho calcolato poi l'energia dissipata come $[1][/2]Iw_f^2+[1][/2](m+M)v_f^2-[1][/2]mv_0^2$, è giusto (?)
Per ricavare l'angolo massimo di oscillazione qual è la conservazione dell'energia che devo imporre?
Risposte
Domanda a
La velocità di impatto è $v_0$ ricavabile dalla conservazione dell'energia come hai giustamente scritto.
Non c'è moto traslatorio perchè l'asta è solo libera di ruotare e quindi niente qdm. Va bene invece la conservazione del momento angolare. Il momento di inerzia è corretto.
Domanda b
Tieni conto che c'è solo moto rotatorio
Domanda c
Ruotando il sistema l'asta+proiettile alzerà il proprio baricentro acquisendo energia potenziale a spese dell'energia cinetica. Quindi ...
La velocità di impatto è $v_0$ ricavabile dalla conservazione dell'energia come hai giustamente scritto.
Non c'è moto traslatorio perchè l'asta è solo libera di ruotare e quindi niente qdm. Va bene invece la conservazione del momento angolare. Il momento di inerzia è corretto.
Domanda b
Tieni conto che c'è solo moto rotatorio
Domanda c
Ruotando il sistema l'asta+proiettile alzerà il proprio baricentro acquisendo energia potenziale a spese dell'energia cinetica. Quindi ...
"ingres":
Domanda a
La velocità di impatto è $v_0$ ricavabile dalla conservazione dell'energia come hai giustamente scritto.
Non c'è moto traslatorio perchè l'asta è solo libera di ruotare e quindi niente qdm. Va bene invece la conservazione del momento angolare. Il momento di inerzia è corretto.
Domanda b
Tieni conto che c'è solo moto rotatorio
Domanda c
Ruotando il sistema l'asta+proiettile alzerà il proprio baricentro acquisendo energia potenziale a spese dell'energia cinetica. Quindi ...
Chiaro! Grazie. Una curiosità, se l'asta ruotava con una velocità angolare $\omega_0$ il momento angolare potevo scriverlo comunque come $mv_0=I\omega_1$? O dovevo sommare entrambe le componenti? O tenere conto solo della rotazione iniziale?
"m.e._liberti":
se l'asta ruotava con una velocità angolare ω0 il momento angolare potevo scriverlo comunque come $mv_0=Iω_1$ O dovevo sommare entrambe le componenti? O tenere conto solo della rotazione iniziale?
Nella relazione di cui sopra (manca un termine "d" nel termine di sinistra ovvero è $mdv_0=Iω_1$), in caso di asta che ruotava già con velocità angolare $omega_0$ prima di essere colpita dal proiettile, si dovrà sommare un termine a sinistra pari a $ pm I_0 omega_0$ di momento angolare iniziale dell'asta dove la scelta del segno dipende dal senso di rotazione iniziale e dove $I_0 = (M*L^2)/12$ è il momento d'inerzia della sola asta.
Grazie mille! 
"ingres":
Domanda a
La velocità di impatto è $v_0$ ricavabile dalla conservazione dell'energia come hai giustamente scritto.
Non c'è moto traslatorio perchè l'asta è solo libera di ruotare e quindi niente qdm. Va bene invece la conservazione del momento angolare. Il momento di inerzia è corretto.
Domanda b
Tieni conto che c'è solo moto rotatorio
Domanda c
Ruotando il sistema l'asta+proiettile alzerà il proprio baricentro acquisendo energia potenziale a spese dell'energia cinetica. Quindi ...
Ciao, vorrei chiederti un'altra cosa. Qual è l'espressione dell'energia potenziale? Potresti scrivermela?
L'asta è vincolata nel suo centro per cui non ha variazione di energia potenziale, ma il proiettile conficcato quando l'asta ruota di un angolo $theta$ si alza ad una quota $y=d*sin(theta)$ per cui l'energia potenziale varrà $U=m*g*y = m*g*d*sin(theta)$.
In alternativa si poteva calcolare il baricentro assumendo come origine degli assi x,y il centro dell'asta. Il baricentro si troverà ad una distanza $d*m/(m+M)$ dal centro dell'asta. Quindi ruotando si alzerà alla quota $y_(CM) = d*m/(m+M)*sin(theta)$ e quindi l'energia potenziale varrà
$U=(m+M)*g*y_(CM) = m*g*d*sin(theta)$ identica alla precedente
A questo punto imponendo l'uguaglianza con l'energia cinetica si determina l'angolo massimo.
In alternativa si poteva calcolare il baricentro assumendo come origine degli assi x,y il centro dell'asta. Il baricentro si troverà ad una distanza $d*m/(m+M)$ dal centro dell'asta. Quindi ruotando si alzerà alla quota $y_(CM) = d*m/(m+M)*sin(theta)$ e quindi l'energia potenziale varrà
$U=(m+M)*g*y_(CM) = m*g*d*sin(theta)$ identica alla precedente
A questo punto imponendo l'uguaglianza con l'energia cinetica si determina l'angolo massimo.
Perfetto, gentilissima ❤️
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