Un'auto percorre una curva inclinata Velocità di slittamento
il risultato del libro è:
$V_min=sqrt(((Rg)(tantheta-mu_s))/(1+mu_s*tantheta)$
e
$V_max=sqrt(((Rg)(tantheta+mu_s))/(1-mu_s*tantheta)$
io impostando il problema sono arrivato a trovare
$V_min=sqrt(Rg(tantheta-mu_s)$
non capisco dove tira fuori il denominatore!!!! e sinceramente mi trovo che riesco a capire come dire la velocità per farlo scivolare in basso e quella per farlo scivolare in alto... ma come imposto quella per farlo andare dritto senza scivolare??
Risposte
Dovresti imporre che la somma delle forze sia nulla. Conviene considerare le direzioni evidenziate.
Oppure mi sembra che si possa ragionare anche così, scomponendo lungo la verticale e l'orizzontale....
(a)
1) Se la macchina tende a scivolare verso il basso del piano inclinato, la forza d'attrito è parallela al piano e diretta verso l'alto del piano stesso.
Il sistema che si può scrivere è il seguente:
$\{(N * cos(theta) + F_a * sen(theta) = mg),(F_a = mu_s * N),(N * sen(theta) - F_a * cos(theta) = (m * v_(min)^2)/R):}$
Sostituendo $F_a = mu_s * N$, preso dalla seconda, e raccogliendo $N$ nella prima e nella terza si ottiene:
$\{(N * [cos(theta) + mu_s * sen(theta)] = mg),(N * [sen(theta) - mu_s * cos(theta)] = (m*v_(min)^2)/R):}$.
Dividendo membro a membro la seconda per la prima si arriva a:
$[sen(theta) - mu_s * cos(theta)]/[cos(theta) + mu_s * sen(theta)] = (v_(min)^2)/(R*g)$
e infine a
$v_(min)=sqrt(R*g * [sen(theta) - mu_s * cos(theta)]/[cos(theta) + mu_s * sen(theta)])$.
Oppure, dividendo numeratore e denominatore per $cos(theta)$, a
$v_(min)=sqrt(R*g * [tan(theta) - mu_s]/[1 + mu_s * tan(theta)])$.
2) Se invece la macchina tende a slittare verso l'alto del piano inclinato, la forza d'attrito è parallela al piano e diretta verso il basso del piano stesso.
Il sistema che si può scrivere è simile al precedente ed è:
$\{(N * cos(theta) - F_a * sen(theta) = mg),(F_a = mu_s * N),(N * sen(theta) + F_a * cos(theta) = (m * v_(Max)^2)/R):}$
Con passaggi identici a quelli di prima di arriva a
$v_(Max)=sqrt(R*g * [tan(theta) + mu_s]/[1 - mu_s * tan(theta)])$.
(b)
$v_(min)=sqrt(R*g * [tan(theta) - mu_s]/[1 + mu_s * tan(theta)])= 0$ se $tan(theta) - mu_s = 0$ e $mu_s = tan(theta)$.
(c)
$v_(min) = 8.6 text( m/s)$,
$v_(Max) = 16.6 text( m/s)$.
(a)
1) Se la macchina tende a scivolare verso il basso del piano inclinato, la forza d'attrito è parallela al piano e diretta verso l'alto del piano stesso.
Il sistema che si può scrivere è il seguente:
$\{(N * cos(theta) + F_a * sen(theta) = mg),(F_a = mu_s * N),(N * sen(theta) - F_a * cos(theta) = (m * v_(min)^2)/R):}$
Sostituendo $F_a = mu_s * N$, preso dalla seconda, e raccogliendo $N$ nella prima e nella terza si ottiene:
$\{(N * [cos(theta) + mu_s * sen(theta)] = mg),(N * [sen(theta) - mu_s * cos(theta)] = (m*v_(min)^2)/R):}$.
Dividendo membro a membro la seconda per la prima si arriva a:
$[sen(theta) - mu_s * cos(theta)]/[cos(theta) + mu_s * sen(theta)] = (v_(min)^2)/(R*g)$
e infine a
$v_(min)=sqrt(R*g * [sen(theta) - mu_s * cos(theta)]/[cos(theta) + mu_s * sen(theta)])$.
Oppure, dividendo numeratore e denominatore per $cos(theta)$, a
$v_(min)=sqrt(R*g * [tan(theta) - mu_s]/[1 + mu_s * tan(theta)])$.
2) Se invece la macchina tende a slittare verso l'alto del piano inclinato, la forza d'attrito è parallela al piano e diretta verso il basso del piano stesso.
Il sistema che si può scrivere è simile al precedente ed è:
$\{(N * cos(theta) - F_a * sen(theta) = mg),(F_a = mu_s * N),(N * sen(theta) + F_a * cos(theta) = (m * v_(Max)^2)/R):}$
Con passaggi identici a quelli di prima di arriva a
$v_(Max)=sqrt(R*g * [tan(theta) + mu_s]/[1 - mu_s * tan(theta)])$.
(b)
$v_(min)=sqrt(R*g * [tan(theta) - mu_s]/[1 + mu_s * tan(theta)])= 0$ se $tan(theta) - mu_s = 0$ e $mu_s = tan(theta)$.
(c)
$v_(min) = 8.6 text( m/s)$,
$v_(Max) = 16.6 text( m/s)$.
Il miglior sistema di riferimento sarebbe quello avente gli assi nella direzione del maggior numero di forze. Per questo motivo, non potendone avere più di due, vanno più che bene entrambi.
"chiaraotta":
Oppure mi sembra che si possa ragionare anche così, scomponendo lungo la verticale e l'orizzontale....
(a)
1) Se la macchina tende a scivolare verso il basso del piano inclinato, la forza d'attrito è parallela al piano e diretta verso l'alto del piano stesso.
Il sistema che si può scrivere è il seguente:
$\{(N * cos(theta) + F_a * sen(theta) = mg),(F_a = mu_s * N),(N * sen(theta) - F_a * cos(theta) = (m * v_(min)^2)/R):}$
Sostituendo $F_a = mu_s * N$, preso dalla seconda, e raccogliendo $N$ nella prima e nella terza si ottiene:
$\{(N * [cos(theta) + mu_s * sen(theta)] = mg),(N * [sen(theta) - mu_s * cos(theta)] = (m*v_(min)^2)/R):}$.
Dividendo membro a membro la seconda per la prima si arriva a:
$[sen(theta) - mu_s * cos(theta)]/[cos(theta) + mu_s * sen(theta)] = (v_(min)^2)/(R*g)$
e infine a
$v_(min)=sqrt(R*g * [sen(theta) - mu_s * cos(theta)]/[cos(theta) + mu_s * sen(theta)])$.
Oppure, dividendo numeratore e denominatore per $cos(theta)$, a
$v_(min)=sqrt(R*g * [tan(theta) - mu_s]/[1 + mu_s * tan(theta)])$.
2) Se invece la macchina tende a slittare verso l'alto del piano inclinato, la forza d'attrito è parallela al piano e diretta verso il basso del piano stesso.
Il sistema che si può scrivere è simile al precedente ed è:
$\{(N * cos(theta) - F_a * sen(theta) = mg),(F_a = mu_s * N),(N * sen(theta) + F_a * cos(theta) = (m * v_(Max)^2)/R):}$
Con passaggi identici a quelli di prima di arriva a
$v_(Max)=sqrt(R*g * [tan(theta) + mu_s]/[1 - mu_s * tan(theta)])$.
(b)
$v_(min)=sqrt(R*g * [tan(theta) - mu_s]/[1 + mu_s * tan(theta)])= 0$ se $tan(theta) - mu_s$ e $mu_s = tan(theta)$.
(c)
$v_(min) = 8.6 text( m/s)$,
$v_(Max) = 16.6 text( m/s)$.
ok, solo un chiarimento...
ma perché dividi la prima per la seconda?? probabilmente io ho dimenticato qualche forza allora nell'espressione.. o meglio io non ho fatto un sistema bensì un'unica riga...
come faccio a capire quando conviene dividere una per l'altra?? è un passaggio un po' oscuro quello per me... io di solito in un sistema ne esplicito una e la vado a sostituire...
Ho diviso la seconda per la prima, perché mi sono accorta che facendo così semplificavo $N$ e $m$ e mi restava l'incognita $v_(min)$ o $v_(Max)$ a numeratore. Così, in un solo altro passo (moltiplicare per $R*g$ ed estrarre la radice quadrata), riuscivo poi a chiudere.
nonostante i risultati che trovi combacino perfettamente con il libro continuo a non capire come mai l'hai impostata in quel modo l'equazione (non la divisione ma proprio il ragionamento)
io l'ho impostata in modo diverso! ma proprio le scomposizioni!!!
io ho che
$F_g*costheta=N$ (vettore normale)
$F_p=F_g*sintheta$ (forza peso lungo il piano inclinato)
poi ho
$F_a= mu_s*N$ (Forza di Attrito parallela al piano)
dunque
$F_a=mu_s*F_g*costheta$ => $F_a=mu_s*m*g*costheta$
Forza Centrifuga= $m*a_c$ => $F_c=m*(v^2)/r$ e qui ho solo il dubbio se essa sia parallela al piano inclinato o parallela all'orizzontale... in qual caso dovrei scomporla...
comunque con questa impostazione ho fatto il sistema ragionando sulle forze e mi veniva l'equazione he vi dicevo senza il denominatore...
ora non cpaisco dove io stia sbagliando... faccio fatica a cpaire la giustezza del sistema impostato da te.. la cosa che non capisco è l'N che non mi torna proprio e come mai aggiungi un'equazione e la poni uguale alla forza peso $m*g$
ho risolto altri problemi simili su auto che percorrevano curve e ho guardato anche i porblemi svolti (pochi) del libro come esempi... e fatto vari altri problemi sull'attirto.... e in nessuno impostava quella equazione considerando mg.. cioè si la consideravano ma nei calcoli di $F_a$ e il vettore normale che però impostavano come lo impostavo io!
mi potete illuminare???
io l'ho impostata in modo diverso! ma proprio le scomposizioni!!!
io ho che
$F_g*costheta=N$ (vettore normale)
$F_p=F_g*sintheta$ (forza peso lungo il piano inclinato)
poi ho
$F_a= mu_s*N$ (Forza di Attrito parallela al piano)
dunque
$F_a=mu_s*F_g*costheta$ => $F_a=mu_s*m*g*costheta$
Forza Centrifuga= $m*a_c$ => $F_c=m*(v^2)/r$ e qui ho solo il dubbio se essa sia parallela al piano inclinato o parallela all'orizzontale... in qual caso dovrei scomporla...
comunque con questa impostazione ho fatto il sistema ragionando sulle forze e mi veniva l'equazione he vi dicevo senza il denominatore...
ora non cpaisco dove io stia sbagliando... faccio fatica a cpaire la giustezza del sistema impostato da te.. la cosa che non capisco è l'N che non mi torna proprio e come mai aggiungi un'equazione e la poni uguale alla forza peso $m*g$
ho risolto altri problemi simili su auto che percorrevano curve e ho guardato anche i porblemi svolti (pochi) del libro come esempi... e fatto vari altri problemi sull'attirto.... e in nessuno impostava quella equazione considerando mg.. cioè si la consideravano ma nei calcoli di $F_a$ e il vettore normale che però impostavano come lo impostavo io!
mi potete illuminare???
Avevo fatto una figura.
"speculor":
Avevo fatto una figura.
sisi l'avevo vista! ^_^ quindi è parallela all'orizzontale??? perché mi smebrava strano, cioè se sono su una curva e l'accelerazione centirpeta è rivolta verso il centro....
bè l'angolo che forma però con il piano inclinato è sempre $theta$ dunque la scompongo facendo
$F_cp=F_c*costheta$ (forza centrifuga sul piano inclinato)
mentre quella in y non mi serve a niente???
Sta supponendo che l'auto percorra una circonferenza i cui punti sono alla stessa quota.
capito.. quindi la scompongo con l'angolo $theta$ nella componente parallela al piano inclinato.. mentre quella normale al piano inclinato non mi serve a nulla giusto???
Devi utilizzare entrambe le direzioni, la componente che sostieni inutile, concorre a determinare la reazione e, quindi, la forza di attrito.
ah quindi la forza di attrito è uguale a $mu_s*n$ MENO la ocmponente in y???
questo problema si sta rivelando più complicato di quel che pensassi...
questo problema si sta rivelando più complicato di quel che pensassi...
A questo punto, mi sembra che tu faccia confusione con la forza di attrito.
scusa ma un po' l'ora un po' il resto...ti chiedo di delucidarmi un attimo ora e poi giuro che non chiederò altro...
mi spieghi quindi come utilizzare la componente in y della forza centrifuga? perché questo problema generalmente lo sto capendo però ci sono piccoli particolare che mi sfuggono e che quindi mi fanno sbagliare....
mi spieghi quindi come utilizzare la componente in y della forza centrifuga? perché questo problema generalmente lo sto capendo però ci sono piccoli particolare che mi sfuggono e che quindi mi fanno sbagliare....
Mi sembra che chiaraotta abbia fatto un ottimo lavoro, prova ad analizzare attentamente la sua risoluzione.
eh l'ho analizzata.. solo che come ho scritto sopra alcune cose non mi tornavano... mi sembra che lei abbia usato un sistema di riferimento diverso dal mio... in quel caso allora forse tornerebbe tutto
Aiutati anche con la figura, devi semplicemente imporre che la somma di quelle forze sia nulla. Inoltre, puoi utilizzare entrambi i sistemi di riferimento precedentemente proposti.
domattina ci provo! (ora è controproducente! =) ) ti ringrazio, ultima cosa che non c'entra... come hai fatto a fare quel disegno??? potrebbe tornarmi utile quando posterò altre domande! XD così mostro come le scompongo io! =)
Paint di Windows.
Grazie! XD io che mi immaginavo chissà quale software XD
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