Una sfera che inizialmente si muove di moto di puro rotolamento e poi sale su un piano inclinato senza attrito

[annadisperso]

Ragazzi ho un problema con questo esercizio, soprattutto con le ultime due richieste.

Una sfera di massa 1 kg si muove su un piano orizzontale e scabro rotolando senza strisciare. Il centro di massa della sfera ha una velocità di modulo 10 m/s ad un certo punto incontra un piano inclinato scabro lungo 2 m e avente un angolo di 30° rispetto all'orizzontale su cui si inerpica sempre rotolando senza strisciare. La sfera raggiunge la sommità del piano inclinato e prosegue di slancio fino a cadere al suolo. Calcolare:
1) l'energia cinetica della sfera alla base e alla sommità del piano inclinato
2) A che distanza dalla fine del piano inclinato la sfera tocca il suolo
3) Qual è la lunghezza minima del piano inclinato per evitare che la sfera cada
4) se il piano inclinato fosse liscio e senza attrito quali sarebbe la nuova distanza a cui la sfera tocca il suolo
5) in quest'ultimo caso quale sarebbe la lunghezza minima del piano inclinato per evitare che la sfera cada?

[mgrau]

Mi viene da pensare che, se il piano è scabro la velocità angolare della sfera rimane legata alla velocità di spostamento, per cui mentre la sfera sale entrambe le volocità diminuiscono. Il rapporto fra energia cinetica di traslazione e di rotazione resta costante.
Se il piano è liscio, invece, la rotazione della sfera non viene influenzata dalla salita, resta costante, mentre la velocità di spostamento diminuisce. L'energia cinetica di rotazione non viene convertita in energia potenziale. Solo la velocità di traslazione contribuisce alla salita, per cui mi aspetto che la sfera salga ad una altezza minore. La sfera arriva a fermarsi ad una certa altezza, ma continuando a girare.

[annadisperso]

Scusami non mi è chiaro perché nel caso di non attrito la velocità angolare dovrebbe conservarsi: la componente tangenziale della forza peso non genera un momento esterno rispetto al punto di contatto al piano? Ma supponendo che come hai detto la velocità angolare sia costante durante l'ascesa, per ricavare la velocità finale alla sommità del piano, supponendo che la sfera continui a muoversi, posso usare la conservazione dell'energia meccanica applicandola alla base e alla sommità? Quindi innanzitutto calcolerei l'energia meccanica alla base del cuneo ed è pari all'energia cinetica dunque 7/10mv² poi isolerei dalla velocità iniziale la velocità angolare che hai detto rimane costante dunque farei w = v/r da cui ottengo che l'energia meccanica è uguale all'energia cinetica ½mv*² dovuta alla traslazione con v* che è la velocità finale e il contributo rotazionale pari a 2/5mr²(v/r)². Imponendo l'uguaglianza ottengo la velocità finale nel secondo caso?

[mgrau]

"AldRobbie":Scusami non mi è chiaro perché nel caso di non attrito la velocità angolare dovrebbe conservarsi: la componente tangenziale della forza peso non genera un momento esterno rispetto al punto di contatto al piano?

In effetti, potrebbe essere così, però non so che dire. A me sembra che una sfera su un piano liscio scenda senza rotolare, ma posso sbagliarmi.
Quanto al resto, ammesso che ecc., direi che basta separare l'energia cinetica rotazionale e quella di traslazione. Questa si converte in energia potenziale, e l'altra no.

[Noodles1]

"AldRobbie":
... non mi è chiaro perché, nel caso di non attrito, la velocità angolare dovrebbe conservarsi ...

Si può dimostrare che la dipendenza temporale della velocità angolare è determinata dal momento delle forze esterne rispetto al centro di massa, non rispetto al punto di contatto.