Una identità trigonometrica in relatività
In un testo di elettromagnetismo (la fisica di Berkeley) trovo questa equazione
$cos \theta = \frac{cos \phi }{\sqrt{1 - \beta^2 sin^2\phi}}$
che, dice, si può scrivere in forma equivalente così
$tan \phi = \gamma tan \theta$
dove $\beta = \frac{v]{c}$ e $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}$
Non ce l'ho fatta a ricavare l'identità delle due espressioni.
Qualcuno mi può dare una mano?
$cos \theta = \frac{cos \phi }{\sqrt{1 - \beta^2 sin^2\phi}}$
che, dice, si può scrivere in forma equivalente così
$tan \phi = \gamma tan \theta$
dove $\beta = \frac{v]{c}$ e $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}$
Non ce l'ho fatta a ricavare l'identità delle due espressioni.
Qualcuno mi può dare una mano?
Risposte
Potresti precisare chi sono $\phi$ e $theta$ ?
Non credo si tratti di soli passaggi matematici, qui c'è in gioco una propagazione di qualcosa in un riferimento mobile $(t',x')$, il quale a sua volta è in moto rispetto a un riferimento $(t,x)$, e la propagazione avviene secondo un vettore $vecv$ , che forma un angolo $\phi$ con l'asse spaziale $y'$ . Infatti , esaminando il fattore :
$1/sqrt(1-\beta^2sin^2\phi)$
mi viene da dire che questo non è altro che un fattore $\gamma$ di Lorentz , calcolato per $v_x = vsen\phi$ : infatti risulterebbe $\beta = (vsen\phi)/c $ , da cui $\gamma =1/sqrt(1-\beta^2sin^2\phi)$ .
Inoltre , dico questo : se prendiamo un certo segmento $L'$ inclinato rispetto all'asse $x'$ di un angolo $\phi'$ , in moto con velocità $v$ rispetto a $x$ , la componente $L'_x$ del segmento si contrae diventando : $L_x = (L'_x)/\gamma$ , mentre la componente perpendicolare rimane invariata : $L_y = L'_y$ . Percio , mentre nel riferimento mobile si ha :
$tg\phi' = (L'_y)/(L'_x)$ , nel riferimento fisso si ha : $tg\phi = L_y/L_x = (L'_y*\gamma)/(L'_x) = \gamma tg \phi'$ , cioè il segmento appare meno inclinato nel riferimento fisso .
Quindi, secondo me, qui c'è un treno di onde piane parallele, con fronte d'onda inclinato di un certo angolo rispetto alla verticale , per cui la lunghezza d'onda $\lambda$ , perpendicolare alle creste , si comporta come l'asta che ti ho detto : nel riferimento fisso , la componente di $\lambda$ parallela a $y'$ non si contrae, quella parallela a $x'$ si contrae, e l'angolo rispetto all'asse $x$ del riferimento fisso risulta maggiore.
MA ci vorrebbe un disegno . E ci vorrebbe Friction , che è molto più bravo di me !
Per ora non so dirti altro .
Non credo si tratti di soli passaggi matematici, qui c'è in gioco una propagazione di qualcosa in un riferimento mobile $(t',x')$, il quale a sua volta è in moto rispetto a un riferimento $(t,x)$, e la propagazione avviene secondo un vettore $vecv$ , che forma un angolo $\phi$ con l'asse spaziale $y'$ . Infatti , esaminando il fattore :
$1/sqrt(1-\beta^2sin^2\phi)$
mi viene da dire che questo non è altro che un fattore $\gamma$ di Lorentz , calcolato per $v_x = vsen\phi$ : infatti risulterebbe $\beta = (vsen\phi)/c $ , da cui $\gamma =1/sqrt(1-\beta^2sin^2\phi)$ .
Inoltre , dico questo : se prendiamo un certo segmento $L'$ inclinato rispetto all'asse $x'$ di un angolo $\phi'$ , in moto con velocità $v$ rispetto a $x$ , la componente $L'_x$ del segmento si contrae diventando : $L_x = (L'_x)/\gamma$ , mentre la componente perpendicolare rimane invariata : $L_y = L'_y$ . Percio , mentre nel riferimento mobile si ha :
$tg\phi' = (L'_y)/(L'_x)$ , nel riferimento fisso si ha : $tg\phi = L_y/L_x = (L'_y*\gamma)/(L'_x) = \gamma tg \phi'$ , cioè il segmento appare meno inclinato nel riferimento fisso .
Quindi, secondo me, qui c'è un treno di onde piane parallele, con fronte d'onda inclinato di un certo angolo rispetto alla verticale , per cui la lunghezza d'onda $\lambda$ , perpendicolare alle creste , si comporta come l'asta che ti ho detto : nel riferimento fisso , la componente di $\lambda$ parallela a $y'$ non si contrae, quella parallela a $x'$ si contrae, e l'angolo rispetto all'asse $x$ del riferimento fisso risulta maggiore.
MA ci vorrebbe un disegno . E ci vorrebbe Friction , che è molto più bravo di me !
Per ora non so dirti altro .
La situazione fisica è la seguente:
c'è una particella carica in moto uniforme con velocità v che a un certo momento (t = 0 e x= 0) si ferma; si immagina una decelerazione molto rapida.
La notizia della nuova situazione si propaga in una sfera di raggio ct; entro questa sfera il campo elettrico è quello di una carica ferma, radiale e isotropo, con centro in x= 0. All'esterno della sfera il campo è quello di una carica in moto quindi radiale, con centro in vt e NON isotropo, più intenso nella fascia "equatoriale" e minore ai "poli" dove i "poli" sono definiti dalla direzione di moto.
$\theta$ e $\phi$ sono gli angoli formati da una linea del campo con la direzione di moto rispettivamente dentro e fuori dalla sfera di raggio ct.
L'espressione con la radice ha a che fare con la distribuzione angolare dell'intensità del campo della carica in moto.
Detto questo però continuo a credere che si tratti di una identità trigonometrica (ho verificato per un po' di valori degli angoli) e che non dipenda dal significato fisico delle variabili.
Ti ringrazio per il tuo contributo: effettivamente, nello stesso testo, poi si dice:
questa relazione fra $\theta$ e $\phi$ è la stessa di quella che intercorre fra i due angoli che una sbarretta rigida forma con la direzione del moto relativo nel suo sistema i quiete e in quello in movimento"
quindi più o meno quel che dici tu
c'è una particella carica in moto uniforme con velocità v che a un certo momento (t = 0 e x= 0) si ferma; si immagina una decelerazione molto rapida.
La notizia della nuova situazione si propaga in una sfera di raggio ct; entro questa sfera il campo elettrico è quello di una carica ferma, radiale e isotropo, con centro in x= 0. All'esterno della sfera il campo è quello di una carica in moto quindi radiale, con centro in vt e NON isotropo, più intenso nella fascia "equatoriale" e minore ai "poli" dove i "poli" sono definiti dalla direzione di moto.
$\theta$ e $\phi$ sono gli angoli formati da una linea del campo con la direzione di moto rispettivamente dentro e fuori dalla sfera di raggio ct.
L'espressione con la radice ha a che fare con la distribuzione angolare dell'intensità del campo della carica in moto.
Detto questo però continuo a credere che si tratti di una identità trigonometrica (ho verificato per un po' di valori degli angoli) e che non dipenda dal significato fisico delle variabili.
Ti ringrazio per il tuo contributo: effettivamente, nello stesso testo, poi si dice:
questa relazione fra $\theta$ e $\phi$ è la stessa di quella che intercorre fra i due angoli che una sbarretta rigida forma con la direzione del moto relativo nel suo sistema i quiete e in quello in movimento"
quindi più o meno quel che dici tu
D'accordo . Non ho capito granché della situazione fisica, ma la storia delle tangenti trigonometriche che, dal riferimento mobile a quello fisso, sono in rapporto uguale a $\gamma$ mi era chiara, come l'esempio della barretta che ti ho fatto, e il libro la conferma.
Sto provando a giostrare anche sulla identità trigonometrica, senza cavare un ragno dal buco . Nel frattempo vedo se trovo qualcosa relativamente a "campi e.m. frenati" , perchè qualcosa del genere c'è sicuramente in letteratura. Il campo è più intenso nella fascia equatoriale e meno ai poli , questo l'ho già visto .
Magari arriva Friction e ti risolve il problema in 4+4 = 8 .
Se ho novità , mi rifaccio vivo . Ciao.
Sto provando a giostrare anche sulla identità trigonometrica, senza cavare un ragno dal buco . Nel frattempo vedo se trovo qualcosa relativamente a "campi e.m. frenati" , perchè qualcosa del genere c'è sicuramente in letteratura. Il campo è più intenso nella fascia equatoriale e meno ai poli , questo l'ho già visto .
Magari arriva Friction e ti risolve il problema in 4+4 = 8 .
Se ho novità , mi rifaccio vivo . Ciao.
Con un aiuto esterno, ecco la soluzione.
1) $cos\theta = \frac{cos\phi}[\sqrt{1 - a sin^2\phi}}$
dove ho messo a al posto di $\beta^2$ e quindi $\gamma = \frac{1}{ \sqrt{1 - a}}$
2) eleviamo al quadrato
3) $sin^2\theta$ = 1 - $cos^2\theta = 1 - \frac{cos^2\phi}[1 - a sins^2\phi}$ = $frac{1 - cos^2\phi - a sin^2\phi}{1 - a sin^2\phi}$ = $\frac{sin^2\phi - a sin^2\phi}{1 - a sin^2\phi}$ = $\frac{sin^2\phi (1 - a)}{1 - a sin^2\phi}$
4) $sin\theta = \frac{sin\phi \sqrt{(1 - a)}}{\sqrt{1 - a sin^2\phi}}$
5) $tan\theta$ = $\frac{sin\theta}{cos\theta}$ = (sin da 4 e cos da 1) $\frac{sin\phi \sqrt{(1 -a)}}{cos\phi}$ = $\frac{ tan\phi}{\gamma}$
CVD
1) $cos\theta = \frac{cos\phi}[\sqrt{1 - a sin^2\phi}}$
dove ho messo a al posto di $\beta^2$ e quindi $\gamma = \frac{1}{ \sqrt{1 - a}}$
2) eleviamo al quadrato
3) $sin^2\theta$ = 1 - $cos^2\theta = 1 - \frac{cos^2\phi}[1 - a sins^2\phi}$ = $frac{1 - cos^2\phi - a sin^2\phi}{1 - a sin^2\phi}$ = $\frac{sin^2\phi - a sin^2\phi}{1 - a sin^2\phi}$ = $\frac{sin^2\phi (1 - a)}{1 - a sin^2\phi}$
4) $sin\theta = \frac{sin\phi \sqrt{(1 - a)}}{\sqrt{1 - a sin^2\phi}}$
5) $tan\theta$ = $\frac{sin\theta}{cos\theta}$ = (sin da 4 e cos da 1) $\frac{sin\phi \sqrt{(1 -a)}}{cos\phi}$ = $\frac{ tan\phi}{\gamma}$
CVD
Stavolta sono io che ringrazio te! 
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