Un problemino di QM

[elgiovo]

Consideriamo uno spazio di ket e una base costituita dagli autoket ${|a' rangle}$ di un operatore
hermitiano $A$, supponendo che non vi sia degenerazione. Valutare l'effetto di $prod_(a'' ne a') (A-a'')/(a'-a'')$.

[GIOVANNI IL CHIMICO]

Viene dal sakurai?
Prova ad applicare l'operatore ad un generico ket, espresso come combinazione lineare dei medesimi autokets, basta osservare l'effetto...

[elgiovo]

Si, Sakurai. Io l'ho già risolto, è un problema per tutti.

[GIOVANNI IL CHIMICO]

E' un libro davvero bello, in my opinion...

[Eredir]

Ne approfitto per chiedere ad elgiovo (e a chi volesse) come affrontare questo tipo di esercizi.
In particolare partendo da quello precendente che chiede di verificare che $\prod_(a') (A-a')$ è l'operatore nullo.

Se applico questo operatore ad un ket non posso portare quest'ultimo dentro la produttoria, quindi credo che le semplificazioni debbano essere fatte direttamente sull'operatore.
Ho provato ad utilizzare la relazione di completezza $\sum_(a')|a' \rangle \langle a'| = 1$, ma non sono riuscito ad ottenere grandi semplificazioni.

[Cmax1]

Forse è più semplice con indici numerici $prod_(i)(A-a_i)$ $|a_k\rangle$$=\prod_(i)(a_k-a_i)$$|a_k\rangle$, in quanto gli operatori in prodotto agiscono in cascata. Poichè la produttoria è estesa a tutti gli $i$, almeno uno sarà $k$, e quindi contiene un fattore nullo.
Analogamente ricavi $\prod_(i\nem)\frac{A-a_i}{a_m-a_i}$$|a_k\rangle=$$\prod_(i\nem)\frac{a_k-a_i}{a_m-a_i}$$|a_k\rangle$.
Se $k=m$, il prodotto dei valori è 1, altrimenti, per il motivo precedente, si annulla, quindi $\prod_(i\nem)\frac{A-a_i}{a_m-a_i}$$|a_k\rangle=\delta_{km}|a_k\rangle$.
***Edit. Dimenticavo: l'ipotesi di non degenerazione garantisce che nessun fattore del tipo $(a_j-a_i)$ si annulli, al numeratore o al denominatore, per $i\nej$.

[Eredir]

Grazie per l'intervento, Cmax.
Mi stavo perdendo in un bicchier d'acqua, per qualche motivo stavo cercando di trattare la produttoria come una sommatoria.

[elgiovo]

Ok, ci siamo quasi. Manca l'ultimo step, ovvero valutare l'effetto dell'operatore.

[Eredir]

Ci provo.

$\prod_(i!=m)\frac{A-a_i}{a_m-a_i}$ $|\psi\rangle$$=\sum_(k)c_(k) \prod_(i!=m)\frac{A-a_i}{a_m-a_i}$ $|a_k\rangle$$=\sum_(k)c_(k) \delta_(k m)$ $|a_k\rangle$$=c_(m) $ $|a_m\rangle$

Quindi direi che si tratta dell'operatore di proiezione sul ket di base $|a_m\rangle$.

[elgiovo]

Ok! Occhio però agli indici: sono sicuro che volevi scrivere $sum_(k) c_k prod_(j ne m)(A-a_j)/(a_m-a_j)$$|a_k rangle=ldots$

[Eredir]

"elgiovo":Ok! Occhio però agli indici: sono sicuro che volevi scrivere $sum_(k) c_k prod_(j ne m)(A-a_j)/(a_m-a_j)$$|a_k rangle=ldots$

Hai ragione, ho corretto.