Un problema sui condensatori piani

[sgrisolo]

Sto sbattendo la testa sulla prima parte di questo esercizio e non riesco a trovare una strategia risolutiva valida



Ho provato all'inizio a crearmi un contributo $dC$ e poi integrare,però mi sono ben presto accorto che non sarebbe funzionato poiché la costante relativa dipende da x e se provassi a creare una $dC=\epsilon_0\epsilon_r(d\Sigma)/d$ avrei nel $(d\Sigma)$ tutt'altro che x.
Ho provato allora a creare un $dC$ che avesse un $dx$ su cui integrarci ma nulla, non mi è venuta nessuna relazione in mente.

Allora ho poi provato a scrivermi $Cdx=\epsilon0\epsilon_rS/ddx$ e integrare però in tal modo mi troco un valore

$C=(\epsilon_0S2)/d$ palesemente errato.

Oltre a non vedere l'errore non capisco come fare

[mgrau]

Puoi pensare che:
->inserire un dielettrico di costante relativa $epsi_r$ equivale ad avvicinare le armature nel vuoto di un fattore $epsi_r$
->il sistema può essere visto come una sequenza di condensatori in serie ciascuno con distanza fra le armature $dx$
->una sequenza di condensatori in serie con le armature tutte uguali è equivalente ad uno solo con la distanza uguale alla somma delle distanze
Combinando le tre cose, ottieni una sequenza di condensatori le cui armature sono progressivamente più vicine, equivalenti ad uno solo in cui la distanza totale non è più $d$ ma l'integrale di $dx/epsi_r$

[sgrisolo]

In effetti mi mancava questa prima considerazione, nella teoria non l'ho vista

"mgrau":Puoi pensare che:
->inserire un dielettrico di costante relativa $epsi_r$ equivale ad avvicinare le armature nel vuoto di un fattore $epsi_r$

Potrei giustificarla così?
Considerando un condensatore isolato essendo

$C\DeltaV=Q$

$Q=(\epsilon_r\epsilon_0S)/d\DeltaV=(\epsilon_0S)/(d/\epsilon_r)\DeltaV$?

[sgrisolo]

Inoltre devi scusarmi ma non riesco a farmi saltar fuori quel log di 2 dall'integrale

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Per quanto riguarda la seconda parte (continuo prendendo per buona la distanza del risultato: $dlog2$

$U_IC_0=Q^2=2U_FC->U_F=(U_IC_0)/C$

quindi

$U_F-U_I=U_I(C_0/C-1)=U_I(1/k-1)$ essendo $C=C_0k$

a meno dei segni

$-(Uf-U_I)=-U_I(1/(1+(dlog2)/d)-1)=0.40U_I$

viene un po' sbaglaito ma potrebbe andare?

Grazie mgrau|

[mgrau]

Proverò a guardare... ma, se ho qualche idea buona suile strategie di soluzione, però sono deboluccio sui calcoli...

Allora, facendo i calcoli, pare che un condensatore in aria equivalente a questo abbia una distanza fra le armature data da $int_0^d dx/epsi_r = int_0^ddx/(1+x/d) = dln(2)$

Da qui poi dovrebbe seguire il resto.

[sgrisolo]

Purtroppo ho la brutta usanza di buttare via i fogli di brutta quindi non l'ho più sotto mano, ma rifaqcendolo ora mi torna. Temo di aver fatto una svista nella sostituzione e non aver cambiato gli estremi. Credo. Comunque grazie ora torna perfettamente