Un Problema di Meccanica Quantistica
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Qualche giorno fa un prof. dell'università mi aveva spedito il presente problema per e-mail, credo di averlo risolto e volevo avere qualche conferma da voi.
Problema: Determinare le funzioni d'onda dell'elettrone in un campo magnetico omogeneo in stati in cui esso possiede valori determinati della quantità di moto e del momento angolare lungo la direzione del campo.
Soluzione: Utilizzando le coordinate cilindriche con l'asse $z$ orientato lungo la direzione del campo, il potenziale vettore ha le componenti $A_{\phi} = \frac{H \rho}{2}$, $A_{z} = A_{\rho} = 0$. Così la santa equazione di Schrodinger è:
$-\frac{h}{2M} \[\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho} \( \rho \frac{\partial\psi}{\partial\rho} \) + \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} + \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial \phi^2} \] -\frac{ih \omega_H}{2} \frac{\partial \psi}{\partial \phi} + \frac{M \omega_H^2}{8} \rho^2 \psi = E \psi$
qui ho cercato la soluzione nella forma
$\psi = \frac{e^{im \phi}}{\sqrt{2 \pi}} e^{ip} z^{z/h} R (\rho)$
per la funzione radiale ottenendo l'equazione
$\frac{h}{2M} (R'' + 1/\rho R' - m^2/\rho^2 R) + [ E - \frac{p_z^2}{2M} - \frac{M \omega_H^2}{8} \rho^2 - \frac{h \omega_Hm}{2} ] R = 0$
poi ho riscritto l'equazione introducendo la variabile indipendente $\xi = (\frac{M \omega H}{2h}) \rho^2$, ottenendo
$\xi R'' + R' + (- \xi/4 + \beta - \frac{m^2}{4 \xi} ) R = 0$ , $\beta = \frac{1}{h \omega_H} (E - \frac{p_z^2}{2M} ) - m/2$
per $\xi \to \infty$ la funzione si comporta come $e^{-\xi/2}$, mentre per $\xi \to 0$ come $\frac{\xi | m |}{2}$. Quindi bosognava cercare la soluzione nella forma $R (\xi) = e^{-\xi/2} \xi^{|m|/2} \omega (\xi)$, e per $w (\xi)$ si ottiene l'equazione della funzione ipergeometrica degenere
$w = F { - ( \beta - \frac{|m| + 1}{2} ) , |m| + 1 , \xi }$
Ora perché la funzione d'onda sia dappertutto finita, la grandezza $\beta - (|m| + 1) /2$ deve essere un numero intero non negativo $n_\rho$. Quindi la formula per i livelli energetici è la seguente
$E = h \omega_H ( n_\rho + \frac{|m| + m + 1}{2} ) + \frac{p_z^2}{2M}$
Ed ecco finalmente le funzioni d'onda radiali corrispondenti a questi livelli, che sono:
$R_{n_\rho m} (\rho) = \frac{1}{a_H^{1 + |m|}} [ \frac{(|m| + n_\rho) !}{2^{|m|} n_\rho ! |m| !} ]^{1/2} exp (-\frac{\rho^2}{2a_H^2}) \rho^{|m|} F (-n_\rho , |m| + 1 , \frac{\rho^2}{2a_H^2} )$
dove $a_H = \sqrt{h/(M \omega_H)$.
nota: la funzione è normalizzata con la condizione $\int_0^\infty R^2 \rho$ $d\rho = 1$.
Penso che sia corretta, ma meglio non essere troppo sicuri, se qualcuno trova qualche cosa che non va lo faccia presente. Grazie!
Problema: Determinare le funzioni d'onda dell'elettrone in un campo magnetico omogeneo in stati in cui esso possiede valori determinati della quantità di moto e del momento angolare lungo la direzione del campo.
Soluzione: Utilizzando le coordinate cilindriche con l'asse $z$ orientato lungo la direzione del campo, il potenziale vettore ha le componenti $A_{\phi} = \frac{H \rho}{2}$, $A_{z} = A_{\rho} = 0$. Così la santa equazione di Schrodinger è:
$-\frac{h}{2M} \[\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho} \( \rho \frac{\partial\psi}{\partial\rho} \) + \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} + \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial \phi^2} \] -\frac{ih \omega_H}{2} \frac{\partial \psi}{\partial \phi} + \frac{M \omega_H^2}{8} \rho^2 \psi = E \psi$
qui ho cercato la soluzione nella forma
$\psi = \frac{e^{im \phi}}{\sqrt{2 \pi}} e^{ip} z^{z/h} R (\rho)$
per la funzione radiale ottenendo l'equazione
$\frac{h}{2M} (R'' + 1/\rho R' - m^2/\rho^2 R) + [ E - \frac{p_z^2}{2M} - \frac{M \omega_H^2}{8} \rho^2 - \frac{h \omega_Hm}{2} ] R = 0$
poi ho riscritto l'equazione introducendo la variabile indipendente $\xi = (\frac{M \omega H}{2h}) \rho^2$, ottenendo
$\xi R'' + R' + (- \xi/4 + \beta - \frac{m^2}{4 \xi} ) R = 0$ , $\beta = \frac{1}{h \omega_H} (E - \frac{p_z^2}{2M} ) - m/2$
per $\xi \to \infty$ la funzione si comporta come $e^{-\xi/2}$, mentre per $\xi \to 0$ come $\frac{\xi | m |}{2}$. Quindi bosognava cercare la soluzione nella forma $R (\xi) = e^{-\xi/2} \xi^{|m|/2} \omega (\xi)$, e per $w (\xi)$ si ottiene l'equazione della funzione ipergeometrica degenere
$w = F { - ( \beta - \frac{|m| + 1}{2} ) , |m| + 1 , \xi }$
Ora perché la funzione d'onda sia dappertutto finita, la grandezza $\beta - (|m| + 1) /2$ deve essere un numero intero non negativo $n_\rho$. Quindi la formula per i livelli energetici è la seguente
$E = h \omega_H ( n_\rho + \frac{|m| + m + 1}{2} ) + \frac{p_z^2}{2M}$
Ed ecco finalmente le funzioni d'onda radiali corrispondenti a questi livelli, che sono:
$R_{n_\rho m} (\rho) = \frac{1}{a_H^{1 + |m|}} [ \frac{(|m| + n_\rho) !}{2^{|m|} n_\rho ! |m| !} ]^{1/2} exp (-\frac{\rho^2}{2a_H^2}) \rho^{|m|} F (-n_\rho , |m| + 1 , \frac{\rho^2}{2a_H^2} )$
dove $a_H = \sqrt{h/(M \omega_H)$.
nota: la funzione è normalizzata con la condizione $\int_0^\infty R^2 \rho$ $d\rho = 1$.
Penso che sia corretta, ma meglio non essere troppo sicuri, se qualcuno trova qualche cosa che non va lo faccia presente. Grazie!
Risposte
In linea di principio mi sembra di sì, ma per avere una riprova basta che tu provi a derivarla e a vedere se soddisfa l'equazione di Schroedinger e ovviamente se soddisf le condizioni di normalizzazione...
ciao Riddick (non so rispondere al tuo problema, sono al primo anno 
)
cosa studi?
ciao
)cosa studi?
ciao
"GIOVANNI IL CHIMICO":
In linea di principio mi sembra di sì, ma per avere una riprova basta che tu provi a derivarla e a vedere se soddisfa l'equazione di Schroedinger e ovviamente se soddisf le condizioni di normalizzazione...
Si, ovviamente...ma la mia domanda si riferiva al procedimento adottato.
"wedge":
ciao Riddick (non so rispondere al tuo problema, sono al primo anno Very Happy )
cosa studi? [...]
Fisica e Astrofisica, ma studio meccanica quantistica e relatività generale per fatti miei...
Ciao Riddick, scusa se non concerne il discorso tenuto in precedenza, ma volevo chiederti informazioni in riguardo alla facoltà che tu frequenti. Se volessi essere così cortese da fornirmi i dati per potrerti contattare via e.mail te ne sarei molto grato. La mia casella e.mail è : hokanoei@msn.com spero di avere presto tue notizie. Ciao.
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