Un problema di fisica

[Sk_Anonymous]

Una sfera ,non conduttrice e di raggio R,è riempita
uniformemente con una carica totale -Ze; al centro
della sfera risiede la carica +Ze.Un elettrone
incide a 45 gradi sulla sfera con energia Eo.Qual è la minima
distanza di esso dal centro della sfera ?
(e=carica assoluta dell'elettrone.Lo schema precedente
riproduce,approssimativamente,l'atomo di Rutheford )

[goblyn]

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Mi accorgo ora di aver risolto il problema come se la particella incidesse ortogonalmente... beh la traccia può comunque essere utile a chi abbia voglia di rifare il problema!
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La densità di carica nella sfera (escluso il centro) è:

d = -3Ze / (4*pi*R^3)

con R raggio della sfera.

La carica contenuta in una sfera di raggio r (r
Q(r) = Ze + d*(4/3)*pi*r^3 =

= Ze * [ 1 - (r/R)^3 ]

Il teorema di Gauss apllicato ad una superficie sferica di raggio r dice:

E*4*pi*r^2 = Ze * [ 1 - (r/R)^3 ] / epsilon

da cui

E(r) = Ze/(epsilon*4*pi) * [ 1 - (r/R)^3 ] / (r^2)

L'elettrone sentirà quindi una forza:

F(r) = -e*E(r) = -Z(e^2)/(epsilon*4*pi) * [ 1 - (r/R)^3 ] / (r^2)

L'energia potenziale a cui a sogetto l'elettrone è l'integrale della forza cambiato di segno:

U(r) = Z(e^2)/(epsilon*4*pi) *[ -1/r - (r^2)/(2R^3) ] + K

K è una costante arbitraria.

Quando incide (r=R) l'elettrone ha un'energia totale:

E(R) = U(R) + E0

Alla distanza x in cui la particella si ferma avremo:

E(x) = U(x) + 0 = U(x)

Per la conservazione dell'energia (il campo è conservativo):

E(R) = E(x)

da cui

U(R) + E0 = U(x)

-1/x - (x^2)/(2R^3) = -3/(2R) + Z(e^2)E0/(4*pi*epsilon)

brutta equazione... ma risolvibile! qualcuno armato di pazienza...



Modificato da - goblyn il 19/11/2003 18:54:59